定积分,不定积分…微积分的区别

1、定积分，不定积分微积分的区别不定积分设F(x)为函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C (C为 任意常数)叫做函数f(x)的不定积分。记作 /(x)dx。其中J叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式， C 叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。由定义可知：求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可 知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数 C,就得到函数f(x)的 不定积分。也可以表述成 ,积分是微分的逆运算 ,即知道了导函数 ,求原函数 .定积分众所周知，

2、微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是求一函数的导数， 而积分是已知一函数的导数，求这一函数。所以，微分与积分互为逆运算。实际上，积分还可以分为两部分。第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求 原函数，而若F(x)的导数是f(x)，那么F(x)+C (C是常数)的导数也是f(x)，也 就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)，C是无 穷无尽的常数，所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的，我们一律用F(x)+C 代替，这就称为不定积分。而相对于不定积分，就是定积分。所谓定积分，其形式为Kx) dx (上限a写在上面，下限b写在下面)。之所以 称其为定

3、积分， 是因为它积分后得出的值是确定的， 是一个数，而不是一个函数。定积分的正式名称是黎曼积分， 详见黎曼积分。 用自己的话来说， 就是把直角 坐标系上的函数的图象用平行于 y轴的直线和x轴把其分割成无数个矩形，然后 把某个区间 a,b 上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间 a,b 的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a、b。我们可以看到， 定积分的本质是把图象无限细分， 再累加起来， 而积分的本质 是求一个函数的原函数。 它们看起来没有任何的联系， 那么为什么定积分写成积 分的形式呢？定积分与积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑， 使得它们有了

4、本质的密切关系。 把一个图形无限细分再累加， 这似乎是不可能的 事情，但是由于这个理论， 可以转化为计算积分。 这个重要理论就是大名鼎鼎的 牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：若 F'(x)=f(x)那么 f(x) dx (上限 a 下限 b)=F(a)-F(b)但是这里 x 出现了两种意义， 一是表示积分上限， 二是表示被积函数的自变量， 但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。虽然这种写法是可以的， 但习惯上常把被积函数的自变量改成别的字母如 t ，这样意义就非常清楚了：(x)= x(上限)启(下限)f(t)dt牛顿-莱布尼兹公式用文字表述，就是说一个定积分式的值，就是上限在原

5、函 数的值与下限在原函数的值的差。正这个理论揭示了积分与黎曼积分本质的联系， 可见其在微积分学乃至整个高 等数学上的重要地位，因此，牛顿 -莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。微积分积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，积分 作用不仅如此， 它被大量应用于求和， 通俗的说是求曲边三角形的面积， 这巧妙 的求解方法是积分特殊的性质决定的。一个函数的不定积分 (亦称原函数) 指另一族函数， 这一族函数的导函数恰为 前一函数。其中： F(x) + C' = f(x)一个实变函数在区间 a,b 上的定积分，是一个实数。它等于该函数的一个原函 数在 b 的值减去在 a

6、的值。积分 integral 从不同的问题抽象出来的两个数学概念。定积分和不定积分的 统称。不定积分是为解决求导和微分的逆运算而提出的。 例如： 已知定义在区间 I上的函数f (x)，求一条曲线y= F (x), x I，使得它在每一点的切线斜率为 F' (x)= f (x)。函数f (x)的不定积分是f (x)的全体原函数(见原函数)， 记作。如果F(x)是f(x)的一个原函数，贝U ，其中C为任意常数。例如， 定积 分是以平面图形的面积问题引出的。y = f (x)为定义在a，b上的函数，为求由x = a, x= b , y = 0和y = f (x)所围图形的面积S,采用古希腊人的穷竭法， 先在小范围内以直代曲，求出 S的近似值，再取极限得到所求面积 S,为此，先 将a, b 丨分成 n 等分：a = x0 v x1 v v xn = b，取 Z i xi-1 , xi，记 xi =xi xi-1，则pn为S的近似值，当n + 时，pn的极限应可作为面积S。 把这一类问题的思想方法抽象出来，便得定积分的概念：对于定义在a，b丨上的函数 y = f (x)，作分划 a = x0 v xi vv xn = b，若存在一个与分划及Z i xi-1 ，xi的取法都无关的常数I，使得，其中则称I为f (x)在a，b丨上 的定积分，表为即