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文档简介

1、Ch5、常微分方程的数值解法§1、基本概念与Euler公式1、数值解法的必要性 不能给出解的解析表达式； 求封闭形式的解计算量太大。例如 2、数值解法的基本思想离散化对初值问题求出解在节点上值的近似值，其中。3、Euler公式将在上积分，得，用数值积分法求。 （矩形公式），得 Euler公式 （矩形公式），得 后退的Euler公式 （梯形公式）得 梯形公式（隐形）4、改进的Euler公式Euler公式计算简便，但精度差，梯形公式为隐式，计算较复杂，但精度较高，可将两者结合。称为改进的Euler公式，上式也可写为 例1、求解初值问题 ()解：Euler公式 改进的Euler公式 x0.

2、10.20.30.40.50.60.70.80.91.0Euler1.1001.1921.2771.3581.4351.5091.5801.6501.7171.785Euler改1.0961.1841.2661.3431.4161.4861.5531.6161.6781.738准确1.0951.1831.2651.3421.4141.4831.5491.6121.6731.732§2、Runge-Kutta方法1、Taylor级数方法与阶对，有Taylor级数将此级数截断，并用代替，得阶Taylor公式 显然截断误差为定义：若某方法的截断误差为，则称此方法精度为阶。2、Runge-K

3、utta方法基本思想， 平均斜率取，即为Euler公式；取，即为后退的Euler公式；取，即为梯形公式。借用Taylor级数法的思想，将中的(平均斜率)表示为在若干点处值的线性组合，通过选择组合系数使公式达到一定的阶。3、二阶Runge-Kutta方法选为在某两点处值的线性组合，即，其中，待定。将代入得将上式与二阶Taylor公式对比得（*）。根据Euler公式， ，代入得，其中满足（*）式，称之为二阶Runge-Kutta公式。特别地，当时， 改进的Euler公式4、四阶Runge-Kutta方法三阶Runge-Kutta方法较少使用，仿二阶Runge-Kutta方法，可得四阶Runge-K

4、utta公式，经典的四阶Runge-Kutta公式为特点：单步、自开始；精度高，误差为，四阶；数值稳定；要计算四次函数值；对解的光滑性要求高。§3、单步法的收敛性与稳定性1、收敛性定义：若某数值解法对固定的，当时（此时），则称此方法收敛。例2、对典型方程考察Euler方法的收敛性。解：Euler公式为，而，即， 故收敛。定理：若数值方法中的关于满足Lipschitz条件，则该方法收敛。2、稳定性定义：若某方法在节点值上有大小为的摄动，而其后各节点上的误差无效不超过，则称此方法是稳定的。例3、对方程，考察Euler公式和后退的Euler公式的稳定性。解：对应的Euler公式为，若在上有摄动值，而它使产

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