2021年天津卷理科数学高考真题(完整版)

1、2021年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）2021年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)本试卷分为第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，共 150分，考试用时120分钟。第I卷至2页，第n卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、 准考号填写在答题卡上， 并在规定位置粘贴考试用条形码。 答卷时, 考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1 .每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2 .本卷共8小题，每小题5

2、分，共40分。参考公式： 如果事件 A、B互斥，那么P(AUB) P(A) P(B). 如果事件 A、B相互独立，那么 P(AB) P(A)P(B).,圆柱的体积公式 V Sh ,其中S表小圆柱的底面面积， h表小圆柱的tWj.1 棱锥的体积公式 V -Sh,其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高.3、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 A 1,1,2,3,5, B 2,3,4, C x R |1 x 3,则（aAC）UbA. 2B. 2,3C.1,2,3D. 1,2,3,4x y 2 0,2.设变量x, y满足约束条件x y 2 0,则目标函数z 4x

3、y的最大值为x 1,y 1,A. 2B. 3C. 5D. 623.设 x R ,则 “ x 5x0” 是 “ |x 1| 1” 的A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为A. 5B. 8C. 24D. 29225 .已知抛物线y2 4x的焦点为F ,准线为l ,若l与双曲线事 当 1 (a 0,b 0)的两条渐近线分 a b别交于点A和点B,且|AB| 4|OF | (O为原点)，则双曲线的离心率为A. .2B. .3C. 2D.50 26 .已知 a log5 2 , b log0.5 0.2, c 0

4、.5 ,则 a,b, c 的大小关系为A.acbb. a b cC. bca d. cab7 .已知函数f(x) Asin( x )(A 0,0,| | )是奇函数，将y f x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g x .若g x的最小正周期为 2%，且g 一72,则 f -48A.2B.2C.、2D, 28.已知a R,设函数f(x) x 2ax 2a, x 1,若关于x的不等式f(x) 0在R上恒成立，则a的 x aln x, x 1.取值范围为A. 0,1B. 0,2C. 0,eD. 1,e2021年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理

5、工类）注意事项：1 .用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2 .本卷共12小题，共110分。二.填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.9 . i是虚数单位，则 5的值为.110 . 2x 二 的展开式中的常数项为 .8x311 .已知四棱锥的底面是边长为J2的正方形，侧棱长均为 J5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 .x 2 2cos ,y 1 2sin13.设 x 0, y 0, x2y5 ,则（X1型1）的最小值为12 .设a R ,直线ax y 2 0和圆.（为参数）相切，则 a的值为14 .在四边形

6、ABCD中，AD / BC, AB 23, AD 5, A 30 ,点E在线段CB的延长线上, 且AE BE,则而AE .三.解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15 .（本小题满分13分）在 ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b c 2a , 3csin B 4asin C .(I)求cosB的值;(n)求 sin 2b的值.16 .（本小题满分13分）2设甲、乙两位同学上学期间，每天 7: 30之前到校的I率均为 2 .假定甲、乙两位同学到校情况互不3影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（I ）用X表示甲同学上学期间的三天中7:

7、 30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（n）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7: 30之前到校的天数比乙同学在7: 30之前到校的天数恰好多2”，求事件 M发生的概率.17 .（本小题满分13分）如图，AE 平面 ABCD , CF / AE, AD / BC , AD AB, AB AD 1, AE BC 2.（I）求证：BF /平面ADE ；（n）求直线 CE与平面BDE所成角的正弦值;（出）若二面角 E BDF的余弦值为 工，求线段CF的长.318.（本小题满分13分）22设椭圆yz yr 1(aa2 b20）的左焦点为F ,上顶点为B,已知椭圆的短轴长为4,离心率

8、为 5（I）求椭圆的方程;（n）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上.若|ON | |OF | （O为原点），且 OP MN ,求直线PB的斜率.19 .（本小题满分14分）设an是等差数列，bn是等比数列.已知a14,bi6,d2a22,b32a34.(I)求an和bn的通项公式;kk(n)设数列cn1, 2 n 2满足G 1,Cnkbk,n 2 ,(i)求数列a2nC2n1的通项公式;2n(ii)求aicii 120 .(本小题满分14分)设函数 f(x) excosx, g(x)为 fx的导函数.(n)当 x(I )求f x的单调区间;

9、g(x) 一 x2(出)设xn为函数u(x) f(x)1在区间2n一,2 n一42内的零点，其中n2n - xn22nesinx0 cosx02021年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)参考解答.选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题满分40分.1. D 2, C 3. B 4. B 5. D6. A7. C 8.二.填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题满分30分.9. .1310. 2812.13. 47314. 1三.解答题15.本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力，满

10、分 13分.(I)解：在 ABC中，由正弦定理sin BsinC,得 bsin C csin B ,又由 3csin B 4asinC得 3bsinC4asinC ,即3b 4a .又因为2，人、一 一一a.由余弦定理可得3cosB22c b2ac4 2 16 2 a a992 o 2 a2 a a3)可得sin B1 cos2 B154sin 2B2sin BcosB158 ，cos2Bsin 2B 6sin2Bcos cos2Bsin 一,15 .38 23.57616.本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单

11、实际问题的能力.满分13分.(I)解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天27: 30之刖到校的概率均为 一3一2k故X B 3看，从而P(X k) C3所以，随机变量X的分布列为X0123P1248279927 2随机变量X的数学期望E(X) 3 - 2 .3)解：设乙同学上学期间的三天中7: 30之前到校的天数为Y,2，则 Y B 3,2 ，且3X 3,Y1UX 2,Y 0.由题意知事件 X 3,Y 1与X2,Y 0互斥，且事件P(M) P(XP(X1 ,事件X 2与Y 03,Y 1UX 2,Y 0)3)P(Y 1) P(X 2)P(Y均相互独立，从而由(I)P(X 3,Y1

12、)P(X2,Y0)小 820)27 91272024317.本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立227,cos B sin B 一，故 8体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.依题意，可以建立以A为原点，分别以 AB , AD , AE的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)A(0,0,0),B(1,0,0), C(1,2,0),D(0,1,0) , E(0,0,2) .设 CF h (h 0),则 F 1,2, h(I)证明:依题意,AB (1,0,0)是平面ADE的法向量，又 BF (0

13、,2, h),可得BF AB 0,又因为直线BF 平面ADE ,所以BF /平面ADE .(n)解：依题意，BD ( 1,1,0), BE ( 1,0,2), CE(1,2,2).设n (x, y,z)为平面BDE的法向量，则 n BD n BE0,即0,y2z0,不妨令z 0,1,可得 n (2,2,1).因此有 cosfCE,n)-CE n|CE|n|_ 、_,4所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 49(m)解：设m (x, y, z)为平面BDF的法向量,BDBF0,即 x v0, 2y hz0,0,不妨令y由题意，有cos m, n|m n|m|n I3:：2h21-8一,解得

14、h -.经检验，符合题意.37所以，线段CF的长为18.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分 13分.(I)解：设椭圆的半焦距为c,依题意，2b 4,c Y5,又a2a 5b2c2,可得 a V5,b 2, c 1 .22所以，椭圆的方程为 1.54(n )解：由题意，设 P xP, yP xp0 , M Xm ,0 .设直线PB的斜率为k k 0 ,又B 0,2 ,则直线PB的方程为ykx 2 ,与椭圆方程联立y kx 2,x2 y2 整理得 4 5k2 x2 20kx 0,可得1

15、7 1,Xp20k 2，代入y kx 2得yP 8 10k2 ,进而直线OP的斜率2P4 5k4 5kxpp4 5k210kkx 2中，令y 0,得Xm-.由题意得N 0, 1 k,所以直线MN的斜率为k.由 OP MN ,得2位K 1,化简得k2空从而k旭. 10k255所以，直线PB的斜率为2娅或52v305n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想19.本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前和数列求和的基本方法以及运算求解能力.满分14分.(I)解：设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为6q 6 2d,q .依题意得2解得6q2 12 4d,3做a 2,n 4 (n 1)

16、 3 3n 1,bn所以,的通项公式为an3n 1,bn的通项公式为bn 32n.(n)(i)解：a2n c2n1a2n bn2n 1 3 2n 19 4nl.所以，数列a2n c2n1的通项公式为a2nc2n194nl.2n(ii)解：aici 12naiai g 1i 1ai i 1na2i c2i1i 12n 42n 2n 1 3n9 4i1i 13 22n 15 2n 14 1 4n9 - n27 22n 15 2n 1*n 12 n N20.本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决

17、问题的能力.满分14分.(I)解：由已知，有 f' (x) ex (cosx sinx).因此，当x2k-,2k 47(kZ)时,有sin xcosx ,得f'(x) 0,则fx单调递减；当x2k4 (kZ)时，有sin xcosx,得f'(x) 0 ,则f x单调递增.的单调递增一、一.3区间为 2k ,2 k 44(kZ), f (x)的单调递减区间为2k,2 k4(n)证明：记h(x)f(x)g(x) - x .依题意及(i),有 g(x) ex(cosx sinx),从而 2g'(x)2ex sinx .当 x 一4时，g'(x) 0,故 2h'(x)f'(x) g'(x) 2 xg(x)( 1) g'(x) 2 x因此,在区间-,- 上单