双曲线知识点总结例题

1、二）双曲线 知识点及巩固复习1. 双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数 （小于两定点 间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数， 常数的绝对值小于两定点间的 距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2为两定点， P为一动点， （1）若|PF 1|-|PF 2|=2a 0<2a<|F1F2| 则动点 P 的轨迹是 2a=|F1F2| 则动点 P 的轨迹是 2a=0则动点 P 的轨迹是（2） 若|P F1|-|PF 2|=2a 0<2a<|F1F2| 则动点 P 的轨迹是 2a=|F1F2| 则动点 P 的轨迹

2、是 2a=0则动点 P 的轨迹是2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质（1）焦点在 x 轴上的双曲线标准方程x,y 的范围顶点 焦点 对称轴 对称中心实半轴的长 虚半轴的长 焦距离心率 e= 范围e越大双曲线的开口越e 越小双曲线的开口越准线 渐近线 焦半径公式 |PF1|= |PF2|=（F1，F2分别为双曲线的左右两焦点， P 为椭圆上的一点 ）（1） 焦点在 y 轴上的双曲线标准方程x,y 的范围顶点 焦点 对称轴 对称中心 实半轴的长 虚半轴的长 焦距离心率 e= 范围e越大双曲线的开口越e 越小双曲线的开口越准 线渐 近 线焦 半 径 公 式 |PF1|=|PF2|=（F1，F2 分别

3、为双曲线的下上两焦点， P 为椭圆上的一点 ）1. 等轴双曲线： 特点实轴与虚轴长相等渐近线互相垂直离心率为2. 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线 的共轭双曲线特点有共同的渐近线四焦点共圆双曲线的共轭双曲线是6.双曲线系1） 共焦点的双曲线的方程为（0<k<c2,c为半焦距 ）2） 共渐近线的双曲线的方程为 例题在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件 “差的绝对值 ”，弄清是指整 条双曲线，还是双曲线的哪一支考点 1、双曲线定义例 1、已知动圆 M 与圆 C1：（x4）2y2 2 外切，与圆 C2：（x 4）2 y22 内 切，求动圆圆心 M

4、 的轨迹方程例 2】若椭圆与双曲线有相同的焦点 F1，F2， P是两条曲线的一个交点，则 |PF1| ·|PF2| 的值是（ ）A.D.【例 3】已知双曲线 最小，则 P 点的坐标为与点 M（5，3），F 为右焦点，若双曲线上有一点P，使考点 2、求双曲线的方程 求双曲线标准方程的方法 1定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a、b、c 即可求得方程2待定系数法（2）待定系数法求双曲线方程的常用方法 与双曲线 xa22 yb221 有共同渐近线的双曲线方程可表示为 xa22by22t（t 0）； 若双曲线的渐近线方程是 y±bax，则双曲线的方程可表示为 ax22yb

5、22t （t 0）； 与双曲线 ax22 yb221 共焦点的方程可表示为 a2x2 kb2y2 k 1（b2<k<a2）； 过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为 xm2yn2 1（mn< 0）； 与椭圆 xa22by221（a>b>0）有共同焦点的双曲线方程可表示为 a2x2 b2y2 1（b2<< a2）例 4 、求下列条件下的双曲线的标准方程（1）与双曲线 x921y621 有共同的渐近线，且过点 （ 3， 2）；（2）与双曲线 x126y421 有公共焦点，且过点 （3，2）1.在双曲线的标准方程中， 若 x2 的系数是正的， 那么焦点在 x

6、 轴上；如果 y2 的系数是正的， 那么焦点在 y 轴上，且对于双曲线， a 不一定大于 b.2若不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：mx2ny21（mn< 0），以避免分类讨论考点 3、双曲线的几何性质双曲线的几何性质与代数中的方程、 平面几何的知识联系密切， 解题时要深刻理解确定双曲 线的形状、大小的几个主要特征量，如a、b、 c、e 的几何意义及它们的相互关系，充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程例 5、（12分）双曲线 C：xa22by221（a>0，b>0）的右顶点为 A，x 轴上有一点 Q（2a,0），AP PQ若 C 上存在一点 P，使 A

7、P·PQ0，求此双曲线离心率的取值范围例 6、【活学活用】 3.（2012 北京期末检测 ）若双曲线 xa22yb22 1（a>0，b>0）的两个焦点分别为 F1、F2，P为双曲线上一点，且 |PF1| 3| PF2| ，则该双曲线的 离心率 e 的取值范围是 例 7】直线 过双曲线的右焦点，斜率 k=2.若 与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e 的范围是> <e< <e< >【例 8】 设为双曲线上的一点， 是该双曲线的两个焦点，若 ，则 的面积为（）ABC.D【评注 】解题中发现 PF1F2是直角三角形，是事前 不

8、曾想到的吧可是，这一美妙的结果不是每个考生都能 临场发现的 .将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维 能力，这正是命题人的高明之处 .渐近线双曲线与直线相约天涯 对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有 . 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开 . 双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了 双曲线的范围 .由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中例 9 】过点（ 1， 3）且渐近线为的双曲线方程是评注 】在双曲线令即为其渐近线 .根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为 ，而无须考虑其实、虚轴的位置共轭双曲线 虚、

9、实易位的孪生弟兄将双曲线 的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：共轭的双曲线 .它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一 样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用 .例 10 】两共轭双曲线的离心率分别为，证明：设而不求与借舟弃舟同理减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例：例 11】双曲线的一弦中点为（ 2， 1），则此弦所在的直线方程为A.B.C.D.“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以 用虚设代替而不必真地去求它 .但是，“设而不求”的手段应当慎用 .不问条件是否成熟就滥用，也会出漏

10、子 .请看：【例 12】在双曲线上，是否存在被点 M（ 1，1）平分的弦如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由 .如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：练习1（2011 安徽高考 ）双曲线 2x2y28 的实轴长是 （ ）A2B2C 4D42（2011 山东高考 ）已知双曲线 xa22by221（a> 0，b>0）的两条渐近线均和圆 C：x2y26x50 相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为 （ ）x2 y2 y2 y2 y2A.5 4 19（x2）,4） 5 19（x2）,3） 6 1 9（x2）,6） 3 13.（2012嘉兴测试 ）

11、如图， P是双曲线 4y21 右支（在第一象限内 ）上的任意一点， A1，A2 分别是左、右顶点， O 是坐标原点，直线 PA1，PO，PA2的斜率分别为 k1，k2，k3，则斜率 之积 k1k2k3 的取值范围是 （ ）A(0,1)1B(0，8)11 C(0，4)D (0， 2)4 （金榜预测 ）在平面直角坐标系xOy 中，已知 ABC 的顶点 A（ 5,0）和 C（5,0），顶点 B在双曲线 x126y921 上，则 |sin Asin Bsin C| 为 ( )3A.29(2),3)9(5),4)9(4),5)x2 y25P 为双曲线 9 161 的右支上一点，M、N 分别是圆 （x 5

12、）2y24 和（x5）2y21上的点，则 | PM| | PN|的最大值为 （ ）A6B7C8D 96（2012 南宁模拟 ）已知点 F1，F2 分别是双曲线的两个焦点，P 为该曲线上一点，若 PF1F2 为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为 （ ）A.1B.1C 2D 2x2 y27方程 2 m|m| 3 1 表示双曲线那么 m 的取值范围是 8（2012大连测试 ）在双曲线 4x2y21的两条渐近线上分别取点 A和 B，使得 | OA| ·| OB|15，其中 O 为双曲线的中心，则 AB中点的轨迹方程是 x2 y2 b2 19双曲线 a2b21（a>0，b> 0）

13、的离心率是 2，则 3a 的最小值是 10（2012 肇庆模拟 ）已知中心在原点的双曲线 C的一个焦点是 F1（ 3,0），一条渐近线的方 程是 x2y 0.（1）求双曲线 C 的方程；（2）若以 k（k 0）为斜率的直线 l 与双曲线 C相交于两个不同的点 M，N，且线段 MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为2 ，求 k 的取值范围11(文用 )已知中心在原点的双曲线 C的右焦点为 (2,0)，右顶点为 (，0)(1)求双曲线 C 的方程；(2)若直线： ykxm(k0，m0)与双曲线 C 交于不同的两点 M 、N，且线段 MN 的垂 直平分线过点 A(0， 1)，求实数 m 的

14、取值范围12已知中心在原点， 顶点A1、A2在x轴上，离心率 e= 的双曲线过点 P(6，6) (1)求双曲线方程(2)动直线 l 经过 A1PA2的重心 G，与双曲线交于不同的两点 M 、N，问 是否存在直线 l,使 G平分线段 MN， 证明你的结论13已知双曲线,问过点 A（1，1）能否作直线 ,使 与双曲线交于 P、Q两点，并且 A 为线 段 PQ 的中点若存在，求出直线 的方程，若不存在，说明理由14 已知点 N（1， 2），过点 N 的直线交双曲线于 A、 B 两点，且（1）求直线 AB的方程；（ 2）若过 N的直线 l 交双曲线于 C、D两点，且，那么 A、B、C、D四点是否共圆为

15、什么(二)双曲线 知识点及巩固复习1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数 (小于两定点 间的距离)，那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数， 常数的绝对值小于两定点间的 距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2为两定点， P为一动点， (1)若|PF 1|-|PF 2|=2a 0<2a<|F1F2| 则动点 P 的轨迹是 2a=|F1F2| 则动点 P 的轨迹是 2a=0则动点 P 的轨迹是(2) 若|P F1|-|PF 2|=2a 0<2a<|F1F2| 则动点 P 的轨迹是 2a=|F1F2| 则动点 P 的

16、轨迹是 2a=0则动点 P 的轨迹是2. 双曲线的标准方程3. 双曲线的性质（1）焦点在 x 轴上的双曲线标准方程x,y 的范围顶点 焦点 对称轴 对称中心实半轴的长 虚半轴的长 焦距离心率 e= 范围e越大双曲线的开口越e 越小双曲线的开口越渐近线焦半径公式 |PF1|=|PF2|=（F1，F2分别为双曲线的左右两焦点， P 为椭圆上的一点 ）2） 焦点在 y 轴上的双曲线标准方程x,y 的范围顶点 焦点 对称轴 对称中心 实半轴的长 虚半轴的长 焦距离心率 e= 范围e越大双曲线的开口越e 越小双曲线的开口越准 线渐 近 线焦 半 径 公 式 |PF1|=|PF2|=（F1，F2 分别为双

17、曲线的下上两焦点， P 为椭圆上的一点 ）3. 等轴双曲线： 特点实轴与虚轴长相等渐近线互相垂直 离心率为4. 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线 的共轭双曲线特点有共同的渐近线四焦点共圆双曲线 的共轭双曲线是6.双曲线系3）共焦点的双曲线的方程为（0<k<c2,c为半焦距 ）4）共渐近线的双曲线的方程为考点 1。双曲线的定义及应用在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件 “差的绝对值 ”，弄清是指整 条双曲线，还是双曲线的哪一支考点 1、双曲线定义例 1、已知动圆 M 与圆 C1：（x4）2y2 2 外切，与圆 C2：（x 4）2 y22 内

18、切，求动圆圆心 M 的轨迹方程【自主解答】 设动圆 M 的半径为 r，则由已知| MC1| r， | MC2| r，| MC1| |MC2| 又 C1(4,0)， C2(4,0)，| C1C2|8，2<| C1C2|.根据双曲线定义知，点 M的轨迹是以 C1( 4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右例 1】若椭圆与双曲线有相同的焦点 F1，支a，c4，b2c2a214，点M的轨迹方程是： x221y421(x)F2， P是两条曲线的一个交点，则 |PF1| ·|PF2| 的值是A.B.C.D.解析】椭圆的长半轴为双曲线的实半轴为，故选 A.与点 M( 5，评注】严格区分椭圆

19、与双曲线的第一定义，是破解本题的关键【例 2】已知双曲线3)，F为右焦点，若双曲线上有一点 P，使最小，则 P 点的坐标为分析】待求式中的 是什么是双曲线离心率的倒数 .由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.【解析】双曲线的右焦点 F（ 6，0），离心率右准线为.作于 N，交双曲线右支于P，.此时连 FP，则为最小 .中，令，得.所求 P 点的坐标为.a、b、c 即可求得方程考点 2、求双曲线的方程 求双曲线标准方程的方法 1定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应 2待定系数法（2）待定系数法求双曲线方程的常用方法 与双曲线 xa22 b221 有共同渐近线的双曲线方程可表示为 xa22

20、by22t（t0）； 若双曲线的渐近线方程是 y±bax，则双曲线的方程可表示为 ax22yb22t（t 0）； 与双曲线 ax22 yb221 共焦点的方程可表示为 a2x2 kb2y2 k 1（b2<k<a2）； 过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为 m n 1（mn<0）；x2 y2 x2 y2 与椭圆 a2b21(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可表示为 a2 b2 1(b2<<a2)例 2 、求下列条件下的双曲线的标准方程(1)与双曲线 x921y621 有共同的渐近线，且过点 ( 3， 2)；(2)与双曲线 x126y421

21、有公共焦点，且过点 (3，2)【自主解答】 (1)解法一：经检验知双曲线焦点在 x轴上，故设双曲线的方程为 a2b2 1，由题意，得 1， 解得 a24，b2 4，所以双曲线的方程为y29(2)解法一：设双曲线方程为 xa22yb22 1，由题意易求 c2，又双曲线过点 (3， 2 4 x2 y22)，a22b421.又a2b2(2)2，a212，b28. 1x22 y821.解法二：设所求双曲线方程为 916(0)，将点 ( 3,2)代入得 4. 所以双曲线方程为 x921y6214，即49y42 1.x2 y2解法二：设双曲线方程为 16x2 k4y2k1，且 16k>0,4k>

22、;0.将点 (3，2)代入得 k4，且满足上面的不等式，所以双曲线方程为 x122y821.1.在双曲线的标准方程中， 若 x2 的系数是正的， 那么焦点在 x 轴上；如果 y2 的系数是正的， 那么焦点在 y 轴上，且对于双曲线， a 不一定大于 b.2若不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：mx2ny21(mn< 0)，以避免分类讨论考点 3、双曲线的几何性质双曲线的几何性质与代数中的方程、 平面几何的知识联系密切， 解题时要深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要特征量，如a、b、 c、e 的几何意义及它们的相互关系，充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程例 3、

23、（12分）双曲线 C：xa22by221（a>0，b>0）的右顶点为 A，x 轴上有一点 Q（2a,0），AP PQ若 C 上存在一点 P，使 AP·PQ0，求此双曲线离心率的取值范围【规范解答】 设 P 点坐标为 （x，y），则由 AP·PQ0，得 APPQ，即 P 点在以 AQ 为直径的圆上，3a a x2 y2（x32a）2y2（a2）2.又P点在双曲线上，得 xa22by221. （a2b2）x23a3x2a4a2b20.即（a2b2）x（2a3ab2）（xa）分当 xa时，P与 A重合，不符合题意，舍去当 x2aa23ab2b2时，满足题意的2a3 a

24、b2c 6P 点存在，需 x2aa32 ba2b2>a，化简得 a2>2b2，即 3a2>2c2，ca<26.10 分离心 c6率 ea（1，2）.12 分例 4、【活学活用】 3.（2012 北京期末检测 ）若双曲线 xa22yb22 1（a>0，b>0）的两个焦点分别为 F1、F2，P为双曲线上一点，且 |PF1| 3| PF2| ，则该双曲线的 离心率 e 的取值范围是 解析：依题意得|P|FP1F|1| |P3F|2P|F2|2a，由此解得 | PF2| aca，即 c2a，ea2，即该双曲线的离心率不超过 2.又双曲线的离心率大于 1，例 5】直线

25、 过双曲线因此该双曲线的离心率 e 的取值范围是 （1,2的右焦点，斜率 k=2.若 与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率 e 的范围是 （ ）> <e< <e< >【分析 】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就 考虑转换吧 . 其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握， 但是和两条渐近线都有交点却很好掌握 . 其二，因为已知直线 的斜率为 2，所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的 渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与 之相交 . 故有如下妙解 .解析 】如图设直线 的倾斜角为，双曲线渐近线 的倾斜角为 .显然。当&g

26、t;时直线 与双曲线的两个交点分别在左右两支上 .由双曲线中，故取 e>. 选 D.例 6】 设 为 双 曲 线上的一点，是该双曲线的两个焦点，则 的面积为（ ）AB解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：C.D.设于是故知 PF1F2是直角三角形， F1P F2=90°.选 B.【评注 】解题中发现 PF1F2是直角三角形，是事前不曾想到的吧可是，这一美妙的结果不是每个考生都能临场发现的 .将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维能力，这正是命题人的高明之处 .渐近线双曲线与直线相约天涯对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有 . 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开 .双曲线

27、的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围 .由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中例 7 】过点（ 1， 3）且渐近线为的双曲线方程是解析】设所求双曲线为点（ 1， 3）代入：.代入（ 1）：即为所求 .评注 】在双曲线中，即为其渐近线 .根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为而无须考虑其实、虚轴的位置共轭双曲线 虚、实易位的孪生弟兄将双曲线 的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：共轭的双曲线 .它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一 样；它们的许多奇妙性质在解题中都

28、有广泛的应用 .例 8 】两共轭双曲线的离心率分别为，证明：证明 】双曲线的离心率考点 5、直线与双曲线位置关系设而不求与借舟弃舟同理减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例：例 9 】双曲线 的一弦中点为（ 2 ，1），则此弦所在的直线方程为A.B.C.D.解析 】设弦的两端分别为.则有：弦中点为（ 2， 1），.故直线的斜率则所求直线方程为： ，故选 C.“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以 用虚设代替而不必真地去求它 .也会出漏子 .请看：但是，“设而不求”的手段应当慎用 .不问条件是否成熟就滥用，例 10】在双曲线上，是

29、否存在被点 M（ 1，1）平分的弦如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：y1），B（ x2，y2）.那么：错解】假定存在符合条件的弦 AB，其两端分别为： A（x1，M（1，1）为弦 AB 的中点，故存在符合条件的直线 AB，其方程为：这个结论对不对呢我们只须注意如下两点就够了：其一：将点 M （1， 1）代入方程，发现左式 =1-<1，故点 M （1，1）在双曲线的外部；其二：所求直线 AB 的斜率 ，而双曲线的渐近线为.这里，说明所求直线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的 . 问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线

30、有公共点的条件 【正解】在上述解法的基础上应当加以验证 .由这里 ，故方程（ 2）无实根，也就是所求直线不合条件此外，上述解法还疏忽了一点：只有当时才可能求出 k=2.若说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件结论；不存在符合题设条件的直线练习1（2011 安徽高考 ）双曲线 2x2y28 的实轴长是 （ ）A 2B 2C 4D 4解析： 2x2y28 化为标准形式： 4 8 1， a2 4. a2.实轴长 2a 4.2（2011 山东高考 ）已知双曲线 xa22by221（a> 0，b>0）的两条渐近线均和圆 C：x2y26x50 相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，

31、则该双曲线的方程为 （ ）x2 y2 y2 y2 y2A.5 4 19（x2）,4） 5 19（x2）,3） 6 19（x2）,6） 3 1x2 y2 b解析： 由题意得， a2b21（a> 0， b>0）的两条渐近线方程为 y ±ax，即 bx±ay 0，又圆 C 的标准方程为： （x 3）2 y2 4，半径为 2，圆心坐标为 （3,0） a2 b2329，且 a2b2 2，解得 a25，b24.该双曲 线的方程为 x52 y421.x2A(0,1)1B(0，8)11 C(0，4)D (0， 2)3.（2012 嘉兴测试 ）如图， P是双曲线 4y21 右支（

32、在第一象限 内）上的任意一点， A1， A2分别是左、右顶点， O 是坐标原点，直线 PA1，PO，PA2的斜率分 别为 k1，k2，k3，则斜率之积 k 1k2k3 的取值范围是 （ ）y 1 y3 y 1解析： 设 P（x，y），则 x（0，2），且 x244y2（x>0，y>0），k1k2k3x（x244x（0，8）4（金榜预测 ）在平面直角坐标系 xOy中，已知 ABC的顶点 A（5,0）和 C（5,0），顶点 B x2 y2 sin B在双曲线 16 9 1 上，则 |sin A sin C| 为 （ ）3A.2 9(2),3)9(5),4)9(4),5)解析： 由题意得

33、 a4，b3，c 5.A、 C 为双曲线的焦点，| BC|BA| 8， | AC|10.由正弦定理得 |sin Asin Bsin C|BC|AC|BA| 180 54.5P 为双曲线 x92 1y62 1 的右支上一点， M、N 分别是圆 （x 5）2y24 和（x5）2y2 1 上的点，则 |PM| | PN|的最大值为 （ ）A6B7C8D 9解析： 易知两圆圆心为 F1（ 5,0），F2（5,0）由双曲线方程知 a 3，b4，则 c 5，故两圆心恰好为双曲线的两个焦点|PM|PN| 的最大值为如图所示的情况，即| PM| | PN| | PF1| | F1M | (| PF2| | N

34、F2|) | PF1|2|PF2|12a32×3 39.6（2012 南宁模拟 ）已知点 F1，F2分别是双曲线的两个焦点， P 为该曲线上一点，若PF1F2 为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（ ）A. 1B.1C 2D解析： 不妨设 P 点在双曲线的右支上，则|PF1| PF2| 2a.PF1F2是等腰直角三角形，只能是 PF2F190°，| PF2| F1F2| 2c，|PF1| 2a|PF2| 2a2c，（2a2c）22·（2c）2，即 c22aca20，两边同除以 a2，得 e22e10.e>1，e 1.x2 y2 7方程 2 m|m| 3 1

35、 表示双曲线那么 m 的取值范围是 2m> 0， 解析：注意分两种情况 一是实轴在 x 轴上，二是实轴在 y轴上依题意有 |m| 3<0，2m<0， 或|m| 3>0，得 m>3 或 3<m<2.8（2012大连测试 ）在双曲线 4x2y21的两条渐近线上分别取点 A和 B，使得 | OA| ·| OB|15，其中 O 为双曲线的中心，则 AB中点的轨迹方程是 解析： 双曲线 4x2y21 的两条渐近线方程为 2x±y0，设 A（m,2m），B（n，2n），AB 2m 2n，中点 M（x，y），则 ， 即ymn，所以 4x2 y2

36、4mn .由| OA| ·| OB| × | m| ×| n| 15，得| mn| 3，所以 AB 中点的轨迹方程是 4x2y2±12，即x32y122±1.x2 y2b2 19双曲线 a2b21（a>0，b> 0）的离心率是 2，则 3a 的最小值是 c c2 2 2 2 2 2b21 3a2 11 1 3解析： a2a24a2b24a23a2b2，则 3a 3a a3a 233，1 3 3 当 a 3a，即 a3时取最小值 3.10（2012 肇庆模拟 ）已知中心在原点的双曲线 C的一个焦点是 F1（ 3,0），一条渐近线的方

37、程是 x2y 0.（1）求双曲线 C 的方程；（2）若以 k（k 0）为斜率的直线 l 与双曲线 C相交于两个不同的点 M，N，且线段 MN 的垂 直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为821，求 k 的取值范围x2 y2a2 4 ，解： （1）设双曲线 C的方程为 a2b21（a>0，b>0），由题设得 5 解得 b25.所以双曲线 C 的方程为：x2 y2（2）设直线 l 的方程为： 4 5 1. ykxm（k 0），y2 x2 （kx m则点 M（x1，y1），N（x2，y2）的坐标满足方程组 1， 得 4 5 1，整理得 （54k2）x28kmx 4m2200.此方程有两个

38、不等实根，于是54k20，且 （8km）24（54k2）（4m220）>0，整理得 m254k2>0. x1 x2 4km 由根与系数的关系可知线段 MN 的中点坐标 （x0， y0）满足 x0 2 54k2， y0kx0m55m4k2，从而线段 MN 的垂直平分线的方程为 y55m4k2 1k（x 54k4mk2）此直线与 x 轴， y 轴的交点坐标分别为9km 9m 1 9km 9m 81（54k2，0），（0，54k2），由题设可得 2|5 4k2| ·|5 4k2| 2，（54k2（5 4k2整理得 m2 |k| ，k0.将上式代入 式得 |k| 54k2>0，55整理得 （4k25）（4k2|k| 5）>0，k0，解得 0<|k|<2或|k|>4.5 5 5 5所以 k 的取值范围是 （， 4）（ 2，0）（0，2）（4， ）10（文用 ）已知中心在原点的双曲线 C的右焦点为 （2,0），右顶点为 （，0）（1）求双曲线 C 的方程；（2）若直线： ykxm（k0，m0）与双曲线 C 交于不同的两点 M 、N，且线段 MN