高二数学必修球的体积与表面积课件

1、高二数学必修球的体积与表面积高二数学必修球的体积与表面积球的体积与表面积球的体积与表面积学习目标学习目标1 1. .在球的公式推导中渗透在球的公式推导中渗透“极限极限”思想思想2 2. . 掌握球的体积公式的应用掌握球的体积公式的应用3 3. . 球与长方体、正方体的关系球与长方体、正方体的关系4 4. . 球内的截面问题球内的截面问题高二数学必修球的体积与表面积高二数学必修球的体积与表面积 如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？为什么？为什么？高二数学必修球的体积与表面积

2、高二数学必修球的体积与表面积 一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一个球充入的气体较多？为什么？哪一个球充入的气体较多？为什么？高二数学必修球的体积与表面积高二数学必修球的体积与表面积问题提出问题提出h怎样计算小球的表面积与怎样计算小球的表面积与体积体积？高二数学必修球的体积与表面积高二数学必修球的体积与表面积问题提出问题提出怎样计算小球的表面积与怎样计算小球的表面积与体积体积？hH 高二数学必修球的体积与表面积高二数学必修球的体积与表面积假设将圆n等分，则n=6n

3、=12A1A2OA2A1AnO1n3221OAAOAAOAASSSS正多边形)AAAAAA( p211n3221正多边形pC21圆正多边形时，当CC,Rpn2RR2R21S圆pA3公式推导与公式推导与“极限极限”思想思想高二数学必修球的体积与表面积高二数学必修球的体积与表面积 割割 圆圆 术术 早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了公式而发明了“倍边法割圆术倍边法割圆术”他用加倍的方式不断他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓更小，即所谓“割之弥

4、细，所失弥小割之弥细，所失弥小”这样重复下去，这样重复下去，就达到了就达到了“割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣无所失矣”这是世界上最早的这是世界上最早的“极限极限”思想思想高二数学必修球的体积与表面积高二数学必修球的体积与表面积,21RRr ,)(222nRRr 已知球的半径为已知球的半径为R,R,用用R R表示球的体积表示球的体积. .,)2(223nRRr AOB2C2AO高二数学必修球的体积与表面积高二数学必修球的体积与表面积OR)1( inR半半径径：层层“小小圆圆片片”下下底底面面的的第第i.,2,1,)1(22niinRRri i

5、rOA高二数学必修球的体积与表面积高二数学必修球的体积与表面积nininRnRrVii,2, 1,)1(1232niinRRri,2, 1,)1(22nVVVV21半球)1(2122223nnnnR6) 12() 1(123nnnnnnR6)12)(1(1123nnnR) 1(1 21 11 1222223nnnnnR6)12()1()1(21222nnnn高二数学必修球的体积与表面积高二数学必修球的体积与表面积6)12)(11(13nnRV 半半球球.01, nn时时当当.343233RVRV 从从而而半半球球334RVR的球的体积为：定理：半径是高二数学必修球的体积与表面积高二数学必修球的

6、体积与表面积归纳公式归纳公式334RV1. 1.定理：半径是定理：半径是R R的球的的球的体积体积为为: :24 RS2.2.定理：半径是定理：半径是R R的球的的球的表面积表面积为为: : 在球的体积公式的推导过程中，使用了在球的体积公式的推导过程中，使用了“分割、求近似值、再将近似值转化为球的体分割、求近似值、再将近似值转化为球的体积积”的方法：的方法： 即先将半径即先将半径 n 等分；再求出每一部分体积等分；再求出每一部分体积的近似值，并将这些近似值相加，得出半球的的近似值，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积；当近似体积；当 n 无限变大时，就可得到半球的无限变大时，就可得到半球的体

7、积体积高二数学必修球的体积与表面积高二数学必修球的体积与表面积课堂练习课堂练习1.1.若球的半径变为原来的若球的半径变为原来的2 2倍，则表面积变为原倍，则表面积变为原来的来的 倍倍; ;体积变为原来的体积变为原来的 倍。倍。2.2.若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:2,1:2,则其体积之比是则其体积之比是 影响球的表面积及体积的只有一个元素影响球的表面积及体积的只有一个元素, ,就是球的半径就是球的半径. . 3.3.将两个半径为将两个半径为1cm1cm的铁球熔化后铸成一个大球的铁球熔化后铸成一个大球, ,这个大球的半径是这个大球的半径是 , ,表面积是表面积是4.4.若两球表面积之差

8、为若两球表面积之差为48,48,它们大圆周长之和它们大圆周长之和为为12,12,则两球的直径之差为则两球的直径之差为_._.4高二数学必修球的体积与表面积高二数学必修球的体积与表面积(1)(1)若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2 2倍倍, ,则半径变为原来的则半径变为原来的 倍倍. .(2)(2)若球半径变为原来的若球半径变为原来的2 2倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为原来的 倍倍. .(3)(3)若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:21:2，则其体积之比是，则其体积之比是 . .(4)(4)若两球体积之比是若两球体积之比是1:21:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是

9、 . .2422:134:1高二数学必修球的体积与表面积高二数学必修球的体积与表面积例题选析例题选析例1.一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？分析：分别计算它们的体积进行比较4cm12cm高二数学必修球的体积与表面积高二数学必修球的体积与表面积例题选析例题选析例2.一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm，瓶里所装的水深为8cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中的水的高度上升到8.5cm,求钢球的半径.3cm8cm3cm8.5cm高二数学必修球的体积与表面积高二数学必修球的体积与表面积课堂练习课堂练习1.1.正方体与球的表面积都为正方体与球的表面积都为S,S,则

10、它们的体积之比则它们的体积之比为为3.3.某花园有许多钢球某花园有许多钢球( (钢的密度是钢的密度是7.9g/cm7.9g/cm3 3),),每每个钢球重个钢球重145kg145kg，并且外径等于，并且外径等于50cm50cm，试根据以，试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的如果是上数据，判断钢球是实心的还是空心的如果是空心的，请你计算出它的内径空心的，请你计算出它的内径(取取3.143.14，结果，结果精确到精确到1cm)1cm)2.2.如果一个圆柱、一个圆锥的底面直径和高都等如果一个圆柱、一个圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径于一个球的直径, ,则圆柱、球、圆锥的体积之比则圆柱、球、

11、圆锥的体积之比为为高二数学必修球的体积与表面积高二数学必修球的体积与表面积例题选析例题选析例例3.3.在半径为在半径为5cm5cm的球内有一个截面的球内有一个截面, ,球心到球心到该截面的距离为该截面的距离为3cm,3cm,则该截面的面积为则该截面的面积为OO/高二数学必修球的体积与表面积高二数学必修球的体积与表面积OABCO 变式变式1.已知过球面上三点已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的的距离等于球半径的一半，且距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球，求球的体积，表面积的体积，表面积解：如图，设球解：如图，设球O半径为半径为R，截面截面 O的半径为的半径为r

12、，r332AB2332AO 是正三角形，是正三角形，ABCROO ,2 例题选析例题选析高二数学必修球的体积与表面积高二数学必修球的体积与表面积.34R .96491644S2 R,)332()2R(R222 OABCO ,222AOOOOAAOORt 中中解解：在在 ;81256)34(343433 RV变式变式1.已知过球面上三点已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距的距离等于球半径的一半，且离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体，求球的体积，表面积积，表面积例题选析例题选析高二数学必修球的体积与表面积高二数学必修球的体积与表面积课堂练习课堂练习例例4.4

13、.在球心的有相距在球心的有相距9cm9cm的两个平行截面的两个平行截面, ,它们的它们的面积分别为面积分别为49 cm49 cm2 2和和400 cm400 cm2 2, ,求球的表面求球的表面积积OO1O2AB高二数学必修球的体积与表面积高二数学必修球的体积与表面积问问:圆有内接长方形，那么球有内接长方体吗？球心在哪里？半径怎么求？1. 1.如果一个长方体的八个顶点落在同一个球面上如果一个长方体的八个顶点落在同一个球面上, ,那么称这个长方体为球的那么称这个长方体为球的内接长方体内接长方体, ,称球为长方称球为长方体的体的外接球外接球A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1

14、1A A1 1O O2.2.球心落在长方体的对角球心落在长方体的对角线上线上, ,为对角线中点为对角线中点球的直径球的直径=长方体的对角线长长方体的对角线长3.3.长方体的长宽高分别为长方体的长宽高分别为a,b,c,a,b,c,则其对角线则其对角线: :222cba对角线高二数学必修球的体积与表面积高二数学必修球的体积与表面积O111DCBDCBA1A高二数学必修球的体积与表面积高二数学必修球的体积与表面积4.4.如果一个球与正方体的每一个面都相切如果一个球与正方体的每一个面都相切, ,则称正则称正方体为球的方体为球的外切正方体外切正方体, ,称球为正方体的称球为正方体的内切球内切球球的直径球

15、的直径=正方体的棱长正方体的棱长高二数学必修球的体积与表面积高二数学必修球的体积与表面积高二数学必修球的体积与表面积高二数学必修球的体积与表面积例例5.5.如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a,a,它的它的各个顶点都在球各个顶点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积是多的表面积是多少。少。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方体内接于球，则由球和正方分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正

16、方体对角线与球的直径相等。合，则正方体对角线与球的直径相等。22222113423,)2()2(:aRSaRaaRDDBRt 得得中中略略解解：A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O高二数学必修球的体积与表面积高二数学必修球的体积与表面积高二数学必修球的体积与表面积高二数学必修球的体积与表面积1、一个四面体的所有的棱都为、一个四面体的所有的棱都为 ，四个顶点在同，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积（一球面上，则此球的表面积（ ）A 3B 43 3C D 62C 解：设四面体为解：设四面体为ABCD， 为其外接球为其外接球心。心。1O 球半径为球半径为R

17、，O为为A在平面在平面BCD上的上的射影，射影，M为为CD的中点。的中点。连结连结B1O2236().3323BOBMBC222,3AOABBO所以22211BOOBBOOO1在Rt中,由O得222223() ,43 .323RRRR球解得所以SAOBDA1OMR高二数学必修球的体积与表面积高二数学必修球的体积与表面积课堂练习课堂练习1.一个正方体的顶点都在球面上一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是它的棱长是4cm,这个这个球的体积为球的体积为cm3. 3322. 2.把半径为把半径为5cm5cm的钢球放入一个正方体的有盖的钢球放入一个正方体的有盖纸盒中纸盒中, ,至少要用多少纸至少要用多少

18、纸? ?3.有三个球有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一球切于正方体的一球切于正方体的各侧棱各侧棱,一球过正方体的各顶点一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比求这三个球的体积之比_.33:22:1高二数学必修球的体积与表面积高二数学必修球的体积与表面积高二数学必修球的体积与表面积高二数学必修球的体积与表面积变式变式2、一个四面体的所有的棱都为、一个四面体的所有的棱都为 ，四个顶点在同，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积（一球面上，则此球的表面积（ ）A 3B 43 3C 2D 6D1C1B1A1DCBA234()3,2S球= 解法解法2 构造棱长为构造棱长为1的正方的正

19、方体，如图。则体，如图。则A1、C1、B、D是是棱长为棱长为 的正四面体的顶点。的正四面体的顶点。正方体的外接球也是正四面体正方体的外接球也是正四面体的外接球，此时球的直径的外接球，此时球的直径为为 ，23选选A高二数学必修球的体积与表面积高二数学必修球的体积与表面积2)2)若每小块表面看作一个平面若每小块表面看作一个平面, ,将每小块平面作为底面将每小块平面作为底面, ,球心作为球心作为顶点便得到顶点便得到n n个棱锥个棱锥, ,这些棱锥体积之和近似为球的体积这些棱锥体积之和近似为球的体积. .当当n n越大越大, ,越接近于球的体积越接近于球的体积, ,当当n n趋近于无穷大时就精确到等于

20、球的体积趋近于无穷大时就精确到等于球的体积. .1) 1)球的表面是曲面球的表面是曲面, ,不是平面不是平面, ,但如果将表面平均分割成但如果将表面平均分割成n n个小块个小块, ,每小块表面可近似看作一个平面每小块表面可近似看作一个平面, ,这这n n小块平面面积之和可近似小块平面面积之和可近似看作球的表面积看作球的表面积. .当当n n趋近于无穷大时趋近于无穷大时, ,这这n n小块平面面积之和接小块平面面积之和接近于甚至等于球的表面积近于甚至等于球的表面积. . 球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢求出，如何求球的表面积公式呢?