数学：2.1.5正、余弦定理的综合应用 （北师大版 必修5）

1、2.1.5正、余弦定理的综合应用知识梳理1.正弦定理： ，其中为外接圆的半径。利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题.（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角）2.余弦定理：(1)余弦定理：； ； .在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c2=a2+b2.（2）余弦定理的推论：； ； .利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.3.三角形面积公式：=4.三角形的性质：.A+B+C=, , .在中, c ,

2、c ; AB, ABcosAcosB, a b AB .若为锐角，则,B+C ,A+C ; ，5.(1)若给出那么解的个数为：(A为锐角)，几何作图时，存在多种情况如已知a、b及A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：(1)A为锐角 一解 两解 一解若，则无解；（2）当A90若a>b,则一解若ab，则无解典例剖析题型一 三角形多解情况的判断例1.根据下列条件，判断有没有解？若有解，判断解的个数（1），求；（2），求；（3），求； （4），求；（5），求解：（1），只能是锐角，因此仅有一解（2），只能是锐角，因此仅有一解（3）由于为锐角，而

3、，即，因此仅有一解（4）由于为锐角，而，即，因此有两解，易解得（5）由于为锐角，又，即，无解评析：对于已知两边和其中一边的对角，解三角形问题，容易出错，一定要注意一解、两解还是无解。这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。题型二 正、余弦定理在函数中的应用例2在ABC中，AB5，AC3，D为BC中点，且AD4，求BC边长.分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC为x后，建立关于x的方程.而正弦定理涉及到两个角，故不可用.此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用.因为D为BC中点，所以BD、DC可表示为，然后利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程.解：设BC边为x

4、，则由D为BC中点，可得BDDC，在ADB中，cosADB在ADC中，cosADC又ADBADC180°cosADBcos（180°ADC）cosADC.解得，x2所以，BC边长为2.评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型.备选题 正、余弦定理的综合应用例3在ABC中，已知，求ABC的面积.解法1：设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，.故所求面积解法3：同解法1可得c=8. 又由余弦定理可得故所求面积评析：本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识，同时考查利用三角公式进行

5、恒等变形的技能和运算能力.点击双基一. 选择题： 1. 在中，则A为（ ） 解：答案：A2. 在（ ） 解：由题意及正弦定理可得 答案：B3. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ） A. 锐角三角形B. 直角三角形 C. 钝角三角形D. 锐角或钝角三角形 解：长为6的边所对角最大，设它为 则 答案A4. 在中，化简_ 解：利用余弦定理，得原式答案：a5. 在中，则_，_ 解： 又答案：课外作业一、选择1. 在中，则A等于（ ） 解：由余弦定理及已知可得 答案：C2.在ABC中，已知b=40,c=20,C=60,则此三角形的解的情况是（ ）A. 有一解 B. 有两解 C. 无解 D. 有解但解

6、的个数不确定解：bsinC=20>c, 无解答案：C3. 在中，则三角形为（ ） A. 直角三角形B. 锐角三角形 C. 等腰三角形D. 等边三角形 解：由余弦定理可将原等式化为 答案C 4. 在中，则是（ ） A. 锐角三角形B. 直角三角形 C. 钝角三角形D. 正三角形解：原不等式可变形为 答案：C5 在ABC中，若，则其面积等于（ ）A B C D 解： 答案：D6 在ABC中，角均为锐角，且则ABC的形状是（ ）A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形 解： 都是锐角，则答案：C7.在ABC中，cos=,则ABC的形状是（ ）A. 正三角形 B. 直角三角

7、形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形解：原式可化为=， cosA+1= cosA=由余弦定理，得，aABC为直角三角形答案：B8.在ABC中，A=，BC=3，则ABC的周长为（ ）A. 4 B. 4 C. 6 D. 6 解：，=2=2, b+c=2(sinB+sin()=2()=6a+b+c=6答案：D二. 填空题：9. 在中，已知，则_ 解：由正弦定理得 设1份为k，则 再由余弦定理得答案：10. 在中，A、B均为锐角，且，则是_ 解：由得 A、B均为锐角， 而在上是增函数 即 答案：钝角三角形11. 三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另一边长为

8、 解：由题意得或2（舍去） 答案：2三. 解答题： 12. .根据下列条件，判断是否有解？有解的做出解答 a=7,b=8,A=105 a=10,b=20,A=80 b=10,c=5,C=60 a=2,b=6,A=30解：a=7,b=8,a<b,A=105>90 本题无解 a=10,b=20,a<b,A=80<90bsinA=20sin80>20sin60=10a<bsinA本题无解b=10,c=5,b<c,C=60< 90,本题有一解sinB=B=45,A=180-(B+C)=75a=5() a=2,b=6,a<b,A=30<90又bsinA=6sin30=3,a>bsinA本题有两解由正弦定理得sinB=B=60或120当B=60时，C=90,c=4当B=120时，C=30