数学：2.1.4余弦定理（二） （北师大版 必修5 ）

1、2.1.4余弦定理（二）知识梳理1余弦定理：txjy(1)形式一：，形式二：，（角到边的转换）2.解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）3.三角形ABC中 典例剖析题型一：利用余弦定理解三角形例1在中，已知，求c.解且，为钝角，由余弦定理知，即，解得或（舍去）.评述 已知三角形的三边或两边和一角可应用余弦定理求解。熟练掌握余弦定理是解题的关键，同时还要注意方程思想的运用。题型二：判断三角形的形状例2在中，若，试判断的形状.解：方法一：由正弦定理和已知条件得：，即，B、C为的内角，故为直角三角形.方法二：原等式变形为：，

2、即：，由余弦定理得：故为直角三角形.评述：判断三角形的形状，一般是从题设条件出发，根据正弦定理、余弦定理进行边角变换，全化为边的关系或全化为角的关系，导出边或角的某种特殊关系，然后利用平面几何知识即可判定三角形的形状。备选题：余弦定理的应用例3：已知A、B、C是ABC的三个内角，且满足（sinAsinB）2sin2C3sinAsinB求证：AB120°证明：由（sinAsinB）2sin2C3sinA·sinB可得sin2Asin2Bsin2CsinA·sinB又sinA，sinB，sinC，·整理得a2b2c2abcosC又0°C180

3、76;，C60°AB180°C120°评述：（1）有关三角形内角的证明，选择余弦值与正弦值相比较，要省去取舍的麻烦.但注意在根据三角函数值求角时，应先确定角的范围；（2）在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，这一转化技巧，要求熟练掌握.（2）解法二中用到了三角函数中两角差的正弦公式，但应注意在根据三角函数值求角时，一定要先确定角的范围.另外，也可运用同角三角函数的商数关系，在等式sinB·cosAsinAcosB两端同除以sinAsinB得cotAcotB，再由0A，B，而得AB.

4、点击双基1.在在ABC中，AB=3,AC=4,BC=,则AC边上的高为（ ）A. B. C. D, 解：由余弦定理知：cosA=,A=AC边上的高为ABsinA=答案：B2.在在ABC中,已知其面积S=（a）,则角C的度数为（ ）A. 135 B. 45 C. 60 D. 120解：S=（a），absinC=（a）sinC=即sinC=cosC,tanC=1C=45答案：C3在ABC中，若，则其面积等于（ ）A B C D解： 答案：D4. 已知锐角三角形的三边长分别为2、3、，则的取值范围是 解：在锐角三角形中， 答案：5在ABC中，若，则 解： 答案：120课后作业1若三条线段的长分别为5

5、，6，7，则用这三条线段能组成（ ）三角形。A.锐角 B.钝角 C.直角 D.等腰解：长为7的边所对角最大，设它为， 则 答案：A2.ABC中，若a4+b4+c4=2(a2+b2)c2 则C的度数（ ）A、600 B、450或1350 C、1200 D、300解：由a4+b4+c4=2(a2+b2)c，得 a4+b4+c4-2a2c-2b2c=0(a)= a4+b4+c4-2a2c-2b2c+2bc=2bc, a=,C=450或1350答案：B3.设a,a+1,a+2是钝角三角形的三边，则a的取值范围是 ( )A. B. C. D.4<a<6解：a,a+1,a+2是钝角三角形的三边

6、，则（a+2）>a+(a+1)，a<0-1<a<3,又a>0 答案：A4. ABC中，a,b,c分别是A、B、C的对边，若<0,则ABC （ ）A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或钝角三角形解：由余弦定理得cosC<0,C是钝角答案：C5.已知ABC的三边满足（a+b+c）(a+b-c)=3ab,则C的度数为（ ）A. 15 B. 30 C. 45 D. 60解：由条件将a+b看作一个整体，利用平方差公式得到（a+b）-c=3ab,化简整理，得a=ab,cosC=,C= 60答案：D6.在ABC中，cos=,则ABC的形状

7、是（ ）A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形解：根据余弦的二倍角公式变形式，原式可化为=，cosA=,a+b=cABC为直角三角形答案:B7.在ABC中，若，C=，则此三角形有( )A. 一解 B. 两解 C. 无解 D. 无法判断解：由余弦定理得：负值不合题意，舍去。答案：A8. 若的周长等于20，面积是，则边的长是（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8解：由三角形面积，得，又的周长等于20，由余弦定理得：=，解得.答案：C二填空题9.在ABC中，A=600,最大边和最小边的长是方程的两实根，那么BC边长等于 .解： A=600最大边和最

8、小边为b,c, 最大边和最小边的长是方程的两根，b+c=9,bc=, a=b+c-2bccosA=(b+c)-2bc-2bccosA=49, a=7答案：710.在ABC中，a=1,B=450,则ABC的外接圆的直径是 .解：S =acsinB=c,c=4,=252R=5答案：511.在ABC中,则角A= .解：由得，又=-，A=120答案：120三解答题12. 在四边形ABCD中，四个角A、B、C、D的度数的比为3:7:4:10，求AB的长。 解：设四个角A、B、C、D的度数分别为3x、7x、4x、10x 则有 解得 连BD，在中，由余弦定理得： 是以DC为斜边的直角三角形 13.在ABC中，bcosAacosB，试判断三角形的形状.解法一：利用余弦定理将角化为边.bcosAacosBb·a·b2c2a2a2c2b2a2b2 ab故此三角形是等腰三角形.解法二：利用正弦定理将边转化为角.bcosAacosB又b2RsinB，a2RsinA2RsinBcosA2RsinAcosBsinAcosBcosAsinB0sin（AB）