数值分析课后答案chap1

1、第一章 绪论1设x>0,x的相对误差为，求lnx的误差。解：近似值x*的相对误差为=e*e*r=x*=x*-xx* 而lnx的误差为e(lnx*)=lnx*-lnx1x*e*进而有(lnx*)2设x的相对误差为2%，求xn的相对误差。解：设f(x)=xn，则函数的条件数为Cp=|xf'(x)f(x)| n-1又 f'(x)=nxn-1, Cxnxp=|n|=n 又 r(x*)n)Cpr(x*) 且er(x*)为2nr(x*)0.02n3下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：x*1=1.1021,x2=0.031,

2、 x3=385.6, x*4=56.430,x5=71.0. 解：x*1=1.1021是五位有效数字； x*2=0.031是二位有效数字； x*3=385.6是四位有效数字； x*4=56.430是五位有效数字；x*5=71.0.是二位有效数字。4利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) x*+x*+x*x*124,(2) x1x2x3,(3) x2/4. 其中x*,x*12,x3,x4均为第3题所给的数。 解：(x*11)=210-4(x*)=1210-32(x*13)=10-12(x*134)=210-(x*15)=10-12(1)(x*1+x2+x4)=(x*1)+(x2)+(x

3、4)=11 210-4+-31-3210+210=1.0510-3(2)(x*1x2x3)=x*(x*x*1x23)+x2x3(1)+x1x3(x2)=0.031110-1+0.031385.6110-422+0.215(3)(x*2/x4)x*(x*24)+x4(x2)x*240.031110-3+56.430110-3=56.43056.430=10-55计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为V=43R3 则何种函数的条件数为R V'R 4R2Cp=V=33R3r(V*)Cp r(R*)=3r(R*)又 r(V*)=1故度量半径R时允许的

4、相对误差限为(R*)=1r310.336设Y0=28，按递推公式Yn=Yn-1- （n=1,2,）计算到Y10027.982（5位有效数字），试问计算Y100将有多大误差？解： Yn=Yn-1-Y-100=Y99YY99=98Y98=Y97-Y1=Y0-依次代入后，有Y100=Y0-100即Y100=Y0 若取83,Y100=Y0-27.982(Y*)=(Y11000)+(27.982)=10-32Y1-3100的误差限为210。7求方程x2-56x+1=0的两个根，使它至少具有4位有效数字=27.982）。 解：x2-56x+1=0，故方程的根应为x1,2=28±故x1=2828+

5、27.982=55.982 x1具有5位有效数字x2=28=128+27.982=155.9820.017x2具有5位有效数字8当N充分大时，怎样求N+11N1+xdx？ 解N+11N1+x2dx=arctan(N+1)-arctanN 设=arctan(N+1),=arctanN。 则tan=N+1,tan=N.N+11N1+x2dx=-=arctan(tan(-)=arctantan-tan1+tan tan=N+1-N2arctan1+(N+1)N982=arctan1N2+N+19正方形的边长大约为了100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm2？解：正方形的面积函数为A(x)=

6、x2(A*)=2A* (x*).当x*=100时，若(A*)1, 则(x*)1210-2 故测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过1cm210设S=122gt，假定g是准确的，而对t的测量有±0.1秒的误差，证明当t增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。解： S=12gt2,t>0(S*)=g2t (t* )当t*增加时，S*的绝对误差增加(S*)r(S*)=S*=gt2(t*)*22g(t)=2(t*)t*当t*增加时，(t*)保持不变，则S*的相对误差减少。11序列yn满足递推关系yn=10yn-1-1 (n=1,2,),若y01.41（三位有效

7、数字），计算到y10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？解： y0=1.41(y120*)=210-又 yn=10yn-1-1y1=10y0-1 (y1*)=10(y0*) 又 y2=10y1-1 (y2*)=10(y1*)(y2*)=102(y0*).(y=110010*)y(0*)=101011-022=12108计算到y110时误差为2108，这个计算过程不稳定。12计算f=1)61.4，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？,(3-3,，99-解：设y=(x-1)6，若x=x*=1.4，则(x*)=110-12。计算y值，则 (y*)=-61(x*+1)7(x*) =6(x*+1)7y*(x*)=2.53y*(x*)若通过(3-3计算y值，则(y*)=-32(3-2x*)2 (x*)6*y (x)*3-2x=30y*(x*) =则f(30)=-ln(30 此时， (y*)=- =1u*)*30+u 计算y值，则 1 (x*)*4(3+2x)1(u*)59.9833 810-7(y*)=-3 =61*y(x)*7(3+2x)=1.0345y*(x*)计算后得到的结果最好。 13f(x)=ln(x,求f(30)的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式。ln(x=-ln