应用数理统计A班作业答案(13页多项分布有问题)

1、应用数理统计A班作业答案(13页多项分布有问题)说明：以交作业时间为基准整理答案。10.15作业1. 若的二阶矩存在，则有。证明： 则的方差为 样本方差的期望为2. 已知，求。解： 令 3. 证明抽样基本定理。证明: 取一阶正交矩阵其中第一行元素均为，作正交变换，其中。由于 ，故仍为正态变量。，。又由，故两两不相 关，又由于维随机变量是由维正态随机变量经由线性变换而得到的。因此，经由线性变换而得到，也是维正态随机变量。推得相互独立，且有。而， 于是，由于相互独立，且,知，从而得。又依赖于，而仅依赖于，再由的独立性，推知与相互独立。4. （P25.2）试证： ，为任意实数； 。 证明: 因为 则

2、有 根据推导得出的式子有5. （P26.8）设，为来自总体的一个样本，求。 解：由，则，对 于是有 ，则6. （P27.17）已知，试证。 证明：由，设，其中，。 则，其中， 故。7. （P27.22） 设总体，为其样本，及分别为样本均值及方差，又设，且与，相互独立，试求统计量的抽样分布。解：由正态分布的特性可得，则有从而又与相互独立，从而即.8. (P27.23) 设，和，分别是从和总体中抽取的独立样本，和是两个实数，试求的抽样分布。其中，和，分别为，和，的样本均值及样本方差。解：由已知可知， ，于是有，则 ， ，于是有，即。9 （P68.1）设总体X服从两点分布，为简单随机样本， 求； 求

3、的频率估计。解： 由， 则。 因为总体X服从两点分布，则参数的频率估计为， 于是的频率估计。10. （P68.2）设总体X服从正态分布，为简单随机样本，在这n个样本观测值中仅知道事件发生m次，求的频率替换估计。解：由题意，则，而由频率，则有，于是有，。11. （P68.4）设总体X服从的概率密度函数为，其中，是未知参数，为来自总体的简单样本。试求参数的矩估计。解：做矩估计，可得的矩估计，。12. （P69.8）设X为电子元件的失效时间（单位：小时），其密度函数为抽取n个该电子元件，独立进行测试，失效时间分别为，。 当已知时，求的极大似然估计； 当已知时，求的极大似然估计。解： 似然函数为，（）

4、 则有 令，得 于是，的极大似然估计。 似然函数，（）当已知时，为的单调递增函数，于是由极大似然估计定义可知，的极大似然估计为。13. （P69.10）设总体X的概率密度函数为，为来自总体的简单样本，求参数及的极大似然估计。解：由为概率密度函数可知，。似然函数为，（）由，则似然函数为的单调递增函数，且（），由极大似然估计定义可知，的极大似然估计为。对，令，得到，于是的极大似然估计为。14. （P69.11），为来自总体X的简单样本，试证明下列估计量都是总体均值的无偏估计，并求出每个估计的方差，问哪个估计较优？证明：对于有同理可得故统计量，都是总体均值的无偏估计。而，统计量的方差最小，故较优。1

5、5. （P70.12）设总体X的概率密度函数为，其中（）是未知参数，为来自总体X的简单样本，令，问作为的估计是否具有无偏性。解：的分布函数为，其中 为X的分布函数。关于x求导可得的密度函数， 于是， 故作为的估计不具有无偏性。16. （P70.13）设，为来自正态总体的简单样本， 求，使为的无偏估计； 求，使为的无偏估计。解： 由题意知，则 积分可以求得，所以， 要使为的无偏估计量，则必有， 故的取值应为。 依题意可知， 要使为无偏估计量，则必有，故的取值应为17. （P70.14）设，为来自正态总体的简单样本，其中，是未知参数。若用作为的估计，试证是的一致最小方差无偏估计。证明：令，则为完全

6、统计量。且为和的函数所以为的UMVUE.18. 证明正态总体的样本方差是总体方差的相合估计。证明：因为样本方差为，则由切比雪夫不等式，故由夹逼定理可知，即为的相合估计。10.22作业P55 例2.3.3课堂例题：设样本,来源于正态总体，令参数，试证明： 是为的充分统计量证明：取，所以是的充分统计量。 同样可以得到是为的充分统计量习题第二章17. 解：（1）正态分布的密度函数是 所以是完全充分统计量。 又因为，所以是的无偏估计，且又是完全充分统计量的函数，所以是的一致最小方差无偏估计。 （2）由 可知，是完全充分统计量， 因为，所以是的无偏估计，且又是的函数 所以是的一致最小方差无偏估计。18.

7、 解：由题意知， 且 又因为是完全充分统计量，是它的函数，所以 时，结论成立。21. 解：由，知是完全充分统计量。 易知 所以 由于开方分布的概率密度函数是 令 所以 所以，且是的函数， 所以是的一致最小方差无偏估计。又因为 所以信息不等式的下界是 令 所以不能达到信息不等式的下界。22. 证明：随机变量服从两点分布，则其概率分布是 则 因此Crammer-Rao的下界是 又因为，的方差达到了信息不等式的下界，所以是的一致最小方差无偏估计。23. 解：(1) (2)证明： 因为信息不等式的下界是 所以是的有效估计，即一致最小方差无偏估计。10.29作业1. 为的样本，样本容量为1，即为样本，损

8、失函数见下表，求参数的Minmax估计。 1/41/21/4141/232解：参数的决策可为四种情况， 故风险函数 同理， 所以， 于是， 所以， 的极小极大估计量为。2.，求参数的Bayes估计解： 所以样本的边缘密度为， 又后验密度为， 故的Bayes估计为： 令，得即为的Bayes估计。P70，14. 来自正态总体的简单样本，未知，若用作为的估计，试证是的一致最小方差无偏估计。证明：令，且为完全统计量。，为和的函数所以为的UMVUE.P72，26设来自正态总体简单样本，是来自正态总体的简单样本，且两样本相互独立，其中参数都未知，试求的置信水平为的置信区间。解：由已知可得，统计量对给定的，

9、由t分布的分位点的定义有，化简得，从而的置信水平为的置信区间为，其中，。P72，27 设来自正态总体简单样本，试求的置信水平为的置信区间。解：由已知可得，对给定的，由分布的分位点的定义有，经推导知，从而的置信水平为的置信区间为。21设来自正态总体简单样本，试求的一致最小方差无偏估计，问这个估计能否达到信息不等式的下界。解：样本的概率密度为，则似然函数为.，从而令，则的估计值为故的极大似然估计量为且，达到下界。11.5作业1. （P102，1）下列哪些假设是简单假设，哪些是复合假设？ 服从正态分布 ， 不服从 解：，为复合假设； ，为简单假设。2. （P102，2） 假设盒子里有10个球，为红色

10、和白色，做假设：盒子里最多有一个白球。问 是否为简单假设？ 写出的对立假设。解： 不是简单假设； 的对立假设为，盒子里至少有两个白球。3. （P103，3） 某种钢索的断裂强度服从正态分布，其中（），据以往的经验，正常生产时（）。现从一批这种钢索中抽取9根，测得断裂强度的平均值为（）。设总体方差不变，在显著性水平下，能否认为这批钢索质量有显著提高。解：单正态总体方差已知的均值检验，用-检验。提出原假设和备择假设，：，：，当原假设为真时，检验统计量为，在显著性水平下，拒绝域为，计算检验统计量观察值为，故观察值不落入拒绝域，所以接受原假设，即认为这批钢索质量没有明显提高。4. （P103，5）某种

11、轴料的椭圆度服从正态分布，今从一批这种轴料中抽取15件测量其椭圆度，计算得到样本方差为0.025，试问这批轴料椭圆度与规定的方差0.0004有无明显差异？（）解：单正态总体均值未知的方差检验，用-检验。提出原假设和备择假设，：，：，当原假设为真时，检验统计量为，在显著性水平下，拒绝域为，计算检验统计量观察值为，故观察值落入拒绝域，所以拒绝原假设，即认为这批轴料椭圆度与规定的方差0.0004有明显差异。11.19作业例4. 在社会调查中，调查人员可能怀疑男人、女人对某种提案会有不同的反应，他们根据被调查的性别和对某种提案的态度来进行分类，结果如下表（本表称为的列联表）性别态度赞成反对弃权男115

12、4475243女1083442362我们要检验原假设：公民的态度与性别是无关的。解：设 拒绝域为： 设，则所以拒绝，即认为公民的态度与性别有关。例6. 设某种设备寿命服从参数为的指数分布，即密度函数为，为检测这种设备的平均寿命是否大于，即假设检验问题.现抽取n个此类设备进行试验，直到设备不能正常工作为止，并记录其寿命分别为试求这个检验问题的水平为的UMPT解：样本的联合密度函数为：，令，则假设 检验问题变为：.（1） 联合密度函数变为. 这样，且是的严格单调递增函数. 所以检验问题（1）的水平为的UMPT的拒绝域为. 所以，水平为的UMPT的拒绝域为P 104 习题 3.11从随机数中取150

13、个二位数，抽样结果如下表所示：组限0-910-1920-2930-3940-4950-5960-6970-7980-8990-99频数16151913141914111316试用检验法检验其服从均匀分布的假设：解：依题意，即检验：，不满足，即接受，从而服从均匀分布。3.12从某批样本中抽取50个样品，测得其寿命如下： 910，1220，1280，20，2330，900，860，1450，1220，550，160，2020，1590，1730，490，1620，560，530，500，240，1280，60，190，290，740，1160，220，910，40，1410，3650，3410，70，510，1270，610，310，220，370，60，1750，890，790，1280，570，76