微积分习题课参考答案(第二型曲线积分、Green公式、平面向量场)_751405589

1、 微积分 B(2第 7 次习题课 (2, (1, 11 / 14 y2 y y y y 1 cos + sin + cos dy 2 x x x x x 2 cos dx = ( x + sin = 1 + 2 x x x 1 sin y Y = x x 2 = (1 1 2 2y y y 解法 2：因为 X = cos + y x x x 2 2 3 ，且 y2 y y y y 1 cos dx + sin + cos dy 2 x x x x x = dx + y cos y y 1 y 2 dx + dy + sin dy x x x x y y y d + sin dy x x x =

2、 dx + y cos 所以 y y y = dx + yd sin + sin dy = d x + y sin x x x ， (2, (1, y2 y y y y 1 cos dx + sin + cos dy 2 x x x x x y = x + y sin x (2, = +1 (1, （平面向量场） 设函数 u( x, y 在有界闭域 D 上具有二阶连续偏导数，且满足 u ( x , y u ( x, y + = 0 ， ( x, y D ， u ( x, y A, ( x, y D x y 记 D 的外向单位法向量为 n （1）求曲线积分 u( x, y u(xn, y dl

3、的值； （2）求证 u( x, y A, ( x, y D 解： （1） u( x, y u(xn, y dl = A u(xn, y dl 17 2 2 2 2 D D D = A (u ( x, y ndl D = A u xx ( x, y + u yy ( x, y dxdy = 0 D （2）由于 0 = u( x, y u(xn, y dl = u( x, yu( x, y ndl D D 微积分 B(2第 7 次习题课 u ( x, y 2 u ( x, y 2 u 2 ( x, y u 2 ( x, y = u ( x, y + dxdy + dxdy + 2 y 2 x D

4、D x y u ( x, y 2 u ( x, y 2 = dxdy + D x y 12 / 14 ， 且函数 u( x, y 的一阶偏导数连续，所以 从而 u( x, y C, ( x, y D 因为 u( x, y A, ( x, y D ，且函数 u( x, y 连续，所以 u( x, y A, ( x, y D 18 （平面向量场） 已知函数 f ( x 具有一阶连续导数，且 f (1 = 1 设 L 是绕原点一周的任意正向闭曲线， x 若 xfd(yx+yd = A ，试求 f ( x 及 A 的值 y 解：设 C 是任意一条不包围原点的封闭曲线，由题设可知 xdy ydx f (

5、 x + y = 0 所以 L 2 u ( x, y u ( x, y = 0, = 0, ( x, y D x y ， C 2 y x = 2 2 x f ( x + y y f ( x + y ， 从而 2 f ( x xf ( x = 0 故 f ( x 2 =0 x ， ， 考虑到 f (1 = 1 ，得 f ( x = x 取 L 为 x + y = 1 ，得 2 2 2 A= L xdy ydx = f ( x + y 2 = x2 + y 2 1 L xdy ydx = x2 + y 2 L xdy ydx 19 （平面向量场）设函数 f ( x, y 在平面 R 上存在连续偏导

6、数，且只有唯一零点 O(0,0 ， 2 (1 + 1dxdy = 2 微积分 B(2第 7 次习题课 C 13 / 14 ydx 对任何包围 O(0,0 的光滑正向闭曲线 C , 曲线积分 xdfy( x = m , m 为常数 , y ydx （1）证明：对任何不包围 O(0,0 的光滑闭曲线 C , 曲线积分 xdfy( x = 0； , y （2）若 f ( x, y = g ( x + h( y , 求 g ( x 和 h( y 的表达式 解： （1）设 C 为任一不包围 O(0,0 的光滑闭曲线，在 C 任取两个不同的点 A, B ，以 A, B 为 端点作曲线段 C （如图） 记

7、L 为封闭曲线 APBMA ， L 为封闭曲线 APBNA 因为 L 和 L 都包围着原点，所以 C 1 1 2 1 2 L1 xdy ydx =m f ( x, y ydx ， xdfy( x =m , y L2 又因为 C = L L ，所以 1 2 C xdy ydx xdy ydx xdy ydx = =mm=0 f ( x, y f ( x, y L2 f ( x, y L1 xdy ydx xdy ydx ydx （2） 由（1）可知，曲线积分 xdfy( x 与路径无关，所以 = 是全微 f ( x, y g ( x + h( y , y 分式，因此 L x y = x g (

8、x + h( y y g ( x + h( y y C A M 因为 g ( x + h( y xg ( x x = x g ( x + h( y g ( x + h( y 2 ， O N B x C1 g ( x h( y + yh( y y = y g ( x + h( y g ( x + h( y 2 ， ， C 2 P 所以 2 g ( x + h( y = xg ( x + yh( y 即 2 g ( x xg ( x = yh( y 2h( y 2 2 g ( x xg ( x = C , 解 得 g ( x = ax yh( y 2h( y = C + C 2 ， h( y = by 2 所以 f ( x, y = ax 2 + by 2 微积分 B(2第 7 次习题课 由 f ( x, y 在平面 R 上只有唯一零点可知 ab > 0 dy ydx 考虑到 x = m ，取 C : ax + by