】2019学年高中数学人教B版选修2-1同步练习：第3章空间向量与立体几何3.2.2(1)

1、第三章 3.2 3.2.2一、选择题1.点 A(a,O,O), B(0, b,0), C(0,0, c),则平面 ABC 的一个法向量为A.(bc, ac, ab)B. (ac, ab, bc)C. (bc, ab, ac)D. (ab, ac, bc)答案A解析设法向量为 n n= (x, y, z),则 AB n n = 0, AC n n= 0，贝 Uax+ by= 0 n n= (bc, ac, ab).故选 A.ax+ cz= 02 .在正方体 ABCD AiBiCiDi中，若 E 为 AiCi的中点，则直线 CE 垂直于A . ACB . BDC. AiDD . AiA答案B解析直

2、线 CE 在平面 AC 内的射影为 AC,又 AC 丄 BD , BD 丄 CE,故选 B.3 .若平面a B的法向量分别为 u u = ( 2,3, 5), v = (3, i,4),则A.allBB. a丄BC.a B相交但不垂直D .以上均不准确答案C解析 u u= ( 2,3, 5), v = (3, 1,4), u u 与 v 不平行且 u u 与 v 不垂直，故选 C.4 .设平面a的法向量为(1,2, 2),平面B的法向量(一 2, 4, k),若al B,贝卩 k=C. 4答案C1 2 2解析a|B，- 2=4=V, k = 4,故选 C.1小5.已知向量 m m, n n 分

3、别是直线 I 和平面a的方向向量和法向量，若cos = ?，则l 与a所成的角为A. 30 C. 120D . 150答案A解析设 I 与a所成角为0,1 1 cos =-，又直线与平面所成角0满足 090. / sin0=|-|,A Q=30 6 .若直线 I 的方向向量为 a a = ( 1,0, 2)，平面a的法向量为 u u= (4,0,8)，贝 UA.l/aB.l 丄aC. l?aD . l 与a斜交答案B解析/ u u= 4a a,. u u / a a,. a a 丄a,二 I 丄a.故选 B.二、填空题7._已知 I /a,且 I 的方向向量为(2, m,1),平面a的法向量为

4、 1,1, 2 ,则 m=_答案81解析设 a a = (2, m,1), b b= (1,2)1/a, a a 丄 b b，二 2 + ?m+ 2 = 0,二 m= 8.8.已知平面 ABC ,且 A(1,2 , 1) , B(2,0 , 1) , C(3 , 2,1),则平面 ABC 的一个法向量为_ .答案(2,1,0)(答案不唯一)解析AB= (1, 2,0) , AC = (2 , 4,2),设平面 ABC 的法向量为 n n = (x , y , z),贝 Vn n AB= 0 x2y=0丫即*I In n AC= 02x-4y+ 2z=01y= ix解得2令 x= 2，则一个法向

5、量为(2,1,0).z= 0三、解答题9.如图所示，M、N、P 分别是正方体 ABCD A1B1C1D1中的棱 CCBC、CD 的中点.B . 60 求证：A1P 丄平面 DMN .设正方体棱长为 2，贝 V D(0,0,0), (2,0,2), P(0,1,0), M(0,2,1), N(1,2,0). 向量ATP=(0,1,0) - (2,0,2) = (-2,1, - 2),=(0,2,1) - (0,0,0) = (0,2,1), DN = (1,2,0).二 A1P DM = ( 2,1,- 2) (0,2,1)=(-2)X0+1X2+(-2)X1=0.A1P DN=(-2,1, -

6、2) (1,2,0)=(-2)X1+1X2+(-2)X0=0. A1p 丄 DM , A1p DN ,即 A1P 丄 DM , A1P 丄 DN，又 DMADN = D ,-A1P 丄平面 DMN.能力提升一、选择题1 .已知平面a, B的法向量分别为 a a= ( 1, y,4), b b= (x,- 1, 2)且a丄 值为A . 4B . - 4C. 8D . - 8答案D解析由已知得 a a b b= 0，即一 x-y- 8= 0,贝Ux+ y=- 8.2 .若直线 l 的方向向量为 a a，平面a的法向量为 n n，能使 I /平面a的是()A . a a = (1,0,0), n n

7、 = (-2,0,0)B.a a = (1,3,5), n n = (1,0,1)C.a a = (0,2,1), n n = (- 1,0,- 1)则 x+ y 的D.a a = (1, 1,3), n n = (0,3,1)答案D解析若 I/ a,则 a a n n=0而 A 选项中 a a n n= 3 + 3 = 0.a a= (cos0 sin0, 2),平面B的一个法向量 b b= (cos0BC=(3,1 , z),若 AB 丄BC, BP = (x 1 , y , 3)，且 BP 丄平面ABC ,则实数 x , y , z 分别为3315A.7， 7，4答案B即 3 + 5 2

8、z= 0，得 z= 4.又 BP 丄平面 ABC,： BP 丄 AB, BP 丄 BC.BC = (3,1,4)，则+5y+6=0解x=号 I3(x 1 片 y 12= 0y=_ 15二、填空题5 .若直线 l 的方向向量与B的法向量分别是 a a = (1,0, 2), b b= ( 1, 0,2)，则直线 l 与B的位置关系是答案I 丄B解析Ta a/ b b,. I 丄B6.已知正四棱锥(如图所示),在向量 PA PB + PC PD, FA+ PC, PB+ PD , FA+ PB + PC+ PD 中，不能作为底面 ABCD 的法向量的向量是 _ .C.40, - 2,4407，15

9、中 a a n n = 2; B 中 a a n n = 1 + 5= 6; C 中 anan= 1;只有 D3 .已知平面a的一个法向量是sin0，若a丄贝U 0=nA.qnB.22+kg Z)nC.2+2kg Z Z)D.3n答案解析由已知得 a a b b= 0,2 2即 cos0sin0+1=0，贝Ucos20=1, 20=2kn+g Z),贝V 0=kn+扌代Z Z).4.已知 AB= (1,5, 2),解析 AB丄 BC, ABBC = 0,解析RA PB + PC PD = BA + DC = 0,不能作为这个平面的法向量，对其它三个化 简后可知均与 PO 共线.而 PO 丄平面

10、 ABCD，它们可作为这个平面的法向量.7 .如图所示，已知矩形 ABCD , AB = 1, BC= a, PA 丄平面 ABCD，若在 BC 上只有一个 点 Q满足 PQ 丄 QD，贝 U a 的值等于_ .答案2解析以 A 为原点，建立如图所示坐标系，则A(0,0,0), B(1,0,0), D(0 , a,0), C(1, a,0),设 Q(1, x,0), P(0,0, z), PQ= (1, x, z), QD = ( 1, a x,0).由 PQ QD = 0,得一 1 + x(a x)= 0,即 x2 ax+ 1 = 0.当= a2 4 = 0，即 a = 2 时，Q 只有一个

11、.三、解答题8 .在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E, F, G , H , M , N 分别是正方体六个表面的中心， 求证：平面 EFG /平面 HMN.解析如图，建立空间直角坐标系 D xyz,设正方体的棱长为 2,易得 E(1,1,0), F(1,0,1),G(2,1,1), H(1,1,2), M(1,2,1), N(0,1,1). EF = (0, - 1,1), EG = (1,0,1),HM = (0,1 , - 1), HN = (- 1,0 , - 1).设 m m = (X1, %,引，n n = (X2, y2, Z0 分别是平面 EFG、平面 HMN 的法向量,

12、m m EF = 0 y+ Z1= 0由$得彳,.m.mEG = 0区件Z1=0令 X1= 1,得 m m= (1, 1, 1).|n|n HM = 0 由Tn n HN = 0令 X2= 1,得 n n= (1, 1, 1).m m= n n,即平面 EFG /平面 HMN.9 .如图所示，ABCD 为矩形，PA 丄平面 ABCD , PA = AD , M、N、Q 分别是 PC、AB、CD 的中点.(1)求证：MN / PAD ;求证：平面 QMN /平面 FAD ;求证：MN 丄平面 PCD.解析(1)如图以 A 为原点，以 AB , AD , AP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,y2 Z2= 0得丿X2 Z2= 0设 B(b,O,O), D(0, d,0), P(0,0, d),则 C(b, d,0) M , N , Q 分别是 PC, AB, CD 的中点，MI，I，I，N2,0，0，Q2d，0，平面 PAD 的一个法向量为 m m= (1,0,0) MN m m = 0，即 MN 丄 m m,. MN 不在平面 MN / 平面 PAD ,(2)QN = (