2019-2020学年福建省福州市八县一中高一下学期期中数学试卷(解析版)

1、2019-2020学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题(共12小题).1 .在 ABC 中，已知?= ? ? ABC 为()?A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰或直角三角形2 .以下结论，正确的是()A4 一A. y=x+ ?2B - ex+ ?> 2C. x (1 x) & ( ?+1-?) 2= 1 242D. sinx+?0rxv 兀)的取小值2v?3 .已知0vav1,且M= 鼻-言，N= -?-,则M, N的大小关系是()?1+? 1+?1+?1+?A.M>NB.MVNC.M=ND,不能确定4 .已知等比数列an的前n项和为Sn,若a2+a4=2

2、(a+a3),且a1a3a5= 512,则S0=()A. 1022B, 2046C, 2048D, 40945 .不等式-?+52 >?的解集是()(,-1)1_1A -?，2B .- 5，?1 1C. 2, ?)U(?, ?D. -£ ?)U(?, ?6.在等差数列an中，若?5 > - 1,且它的前n项和Sn有最大值，那么满足Sn>0的n的?Z最大值是（A. 1B. 5C. 9D. 10197已知正数a，b?足？?+?=1,若不等式a+b> - x2+4x+18 - m对任意实数 x恒成立,则实数m的取值范围是（）A. 3, +8)B.(一巴 3C.(一巴

3、 6 D. 6, +8)8.瑞云塔是福清著名的历史文化古迹.如图，一研究性小组同学为了估测塔的高度，在塔底D和A, B （与塔底D同一水平面）处进行测量，在点 A, B处测得塔顶C的仰角分B的张角为150。，则瑞云塔别为45。，30。，且A, B两点相距91m,由点D看A,的高度CD=（）A. 91mB. 13V?C. 13v?mD. 91v?m9.已知在锐角 ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,若 2bcosC= ccosB,贝U- + ?的最小值为（B. V?C.D. ?2 一10.若首项为一的数列J an满足2 （2n + 1）3anan+1 + an+1 = an ,

4、贝U a1+a2+a3+a2020= (8080 A.40414078B. 40404040 C.-40414039 D.-4040b、c,若a、b、c成等比数列,11.如图，设 ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、A、B、C成等差数列，D是 ABC外一点，DC = 1, DA = 3,下列说法中，正确的是（B. ABC是等边三角形C.若A、B、C、D四点共圆，则AC= v?D.四边形ABCD面积无最大值 12.意大利数学家列昂纳多 ？斐波那契是第一个研究了度和阿拉伯数学理论的欧洲人，1+an斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列an满足：ai=1, a2=l, an = an2 （

5、n>3, nCN*）.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1,记前n项所占的格子的面积之和为Sn,每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为Cn,则下列结论正确的是（）C. ai+a3+a5+a2n-1 = a2n 1D . 4 ( Cn Cn-1)= Tian 2? an+1、填空题（本大题共 4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡相应位置.）?13 .在 ABC 中，边 b= v? c= v?角 B= &，则边 a=-14 .已知数列an满足2an+i = an+1,且ai=2,则a7的值是.15 .在 ABC中，AC=2, AB = 1,点

6、D为BC边上的点，AD是/ BAC的角平分线，则 BD: DC =, AD的取值范围是 .16 .若正整数a, b是函数f (x) = x2-px+q的两个不同的零点，且 a, b, r这三个数可适 当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列， 若p+q = 26,则r的值等于 .三、解答题(本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17,已知关于x的一元二次不等式 x2- (m+3) x+3m<0.(1)若m= - 1时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集中恰有三个整数，求实数m的取值范围.18 .在等差数列an中，已知a2=3, S4=16.(1)求an

7、的通项公式；(2)令 bn=an+2an,求bn的前 n 项和 Tn. 一一 一，乃19 . AABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,已知 acosB+bcosA= -y-ac, sin2A=sinA.(1)求A及a;(2)若b-c= 2,求BC边上的高.20 .三福之地福清为美化城市面貌、提升居住品质，在旧城改造中，将城区多个街头空地 改造成家门口的“口袋公园”，成为了市民休闲娱乐的好去处.如图，某社区拟在小区 的闲置地中规划一个面积为200平方米的矩形区域(如图所示)，按规划要求：在矩形内的四周安排2米宽的绿化，2化造价为 200元/平方米，中间区域地面硬化以方便后

8、期 放置各类健身器材，硬化造价为100元/平方米.设矩形的长为 x米.(1)试将总造价y (元)表示为长度 x的函数；(2)当x取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.?21 .在 ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, ?=?(?).(1)求角B的大小；(2)设点D是AC的中点，若BD= V?求a+c的取值范围.22 .已知各项是正数的数列 an的前n项和为Sn.若Sn + Sn 1= 等+2 (nCN*, n>2),且 ai = 2.(1)求数列an的通项公式；(2)若SnW泞2n+1对任意nCN*恒成立，求实数 入的取值范围.、选择题(本大题共 12小题，

9、每小题5分，共60分.其中，1-10为单选题，11、12为多选题，全部选对的得 5分，选对但不全的得 3分，有错选的得 0分)1 .在 ABC 中，已知?= -?-?- ?!? ABC 为()?A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰或直角三角形【分析】由余弦定理化简已知等式可得b2(a2 - c2) = (a2+c2) (a2 - c2),可得b2=a2+c2,或2=6即可判断三角形的形状.?_./解：: = , 可得 acosA = ccosC,?由余弦定理可得 a? ?<2+?2-?2 =c? ?+?-?2,整理可得：b2 (a2 - c2) = ( a2+c2) 2?2

10、?(a2-c2),可得 b2= a2+c2,或 a2 - c2 = 0,b2= a2+c2,或 a = c,.ABC为等腰或直角三角形.故选：D.2 .以下结论，正确的是()4 一A . y=x+ ?>48- ex+?>2C. x (1-x) < ( ?+1?) 2= 124D. sinx+?0r x兀)的最小值是 2v?7【分析】由已知结合基本不等式的各项为正及其等号成立的条件进行判断即可.解：A:当x<0时，不满足题意；B： ?+ J?>?/?占?= 2,不符合题意； ?C：由基本不等式可得，x (1 - x) & (-+2C. p ?)U(?, ?)

11、?=当且仅当x= 1 - x即x= 2时取等号,故C符合题意；D：当 0vxv 兀时，Ovsinxwi,则？?2一 >?/?等号取不到，故 D不符合题意. ?故选：C.3已知°<a< ?且M= l+?-磊，N= 1> /，则M，N的大小关系是()A.M>NB.MVNC.M=ND,不能确定【分析】直接利用代数式的运算的应用和数的大小比较的应用求出结果.?1+?1 所以M - N=布?解：由于0vav1八所以0vabv1.即1 - ab>0.?11?1-? _ (1-?)(1+?)+(1+?)(1-?)1+?+ 1+? = ?+1+ 1+? =(1+?

12、)(1+?)2(1-?) >0(1+?)(1+?)'所以M>N,4.已知等比数列an的前n项和为A. 1022B. 2046Sn,若 a2+a4= 2(a1+a3),且 a1a3a5= 512,则 &。=()C. 2048D. 4094q,【分析】由已知结合等比数列的性质可求a3,然后结合等比数列的通项公式可求公比1 一B . - £ ?1D.-微,?)U (? ?6.在等差数列an中，若?5n项和Sn有最大值，那么满足Sn > 0的n的代入求和公式即可求解.解：由等比数列的性质可知，aia3a5= ?= 512,所以a3= 8,因为 a2+a4=

13、2 (ai+a3),所以 8+ ?= ?(82 + ?),整理可得，q3+q=2 (1+q1 【分析】本题为选择题，可考虑用排除法，也可直接求解.解：本小题主要考查分式不等式的解法.易知xw1排除B;由x= 0符合可排除C;由x=3排除A,故选D.也可用分式不等式的解法，将2移到左边直接求解)所以 q=2, ai = 2,Sio= 2(1-2 10) = 2046.1-2故选：B.5.不等式二?+5>?的解集是()(?-1) 2.1A .-?，1最大值是（A. 1B. 5C. 9D. 10【分析】在等差数列a“中，若> -1,且它的前n项和Sn有最大值，可得a5>0,洸<

14、;0, a5+a6<0,利用求和公式及其性质即可判断出结论.解：在等差数列an中，若；7 > - 1,且它的前n项和Sn有最大值， ? 635> 0, a6< 0, 35+a6< 0,Sg= 9as>0, S10:=5 ( a5+a6)< 0,那么满足Sn > 0的n的最大值是9.故选：C.19c7.已知正数 a, b满足+ - = 1,若不等式a+b>-x?+4x+18-m对任意实数x恒成立， ? ?则实数m的取值范围是()A. 3, +oo)B.(一巴 3C. ( 8,6 D, 6, +8)【分析】利用基本不等式求得 a+b的最小值，把

15、问题转化为 m > - x?+4x+2对任意实数x恒成立，再利用配方法求出-x2+4x+2的最大值得答案.19解：: a>0, b>0,且 一 + - = 1, ? ?a+b= ( a+b) ( + -) = 10+ 24?2? ? ? ? ?, ? ,当且仅当 3a=b,即 a=4, b=12 时，(a+b) min= 16.若不等式a+b> - x2+4x+18- m对任意实数x恒成立，则-x2+4x+18 - mW 16,即m > - x?+4x+2对任意实数 x恒成立，,- x2+4x+2= - ( x - 2) 2+6 w 6,. . m>6.实数

16、m的取值范围是6, +8)8.瑞云塔是福清著名的历史文化古迹.如图，一研究性小组同学为了估测塔的高度，在塔A, B处测得塔顶C的仰角分别为45,30。，且A, B两点相距91m,由点D看A, B的张角为150。，则瑞云塔的高度CD=()底D和A, B (与塔底D同一水平面)处进行测量，在点B. 13V?C. 13v?mD. 91v?m【分析】设CD=h,用h表不出ADBD ,在 ABD中根据余弦定理列方程计算解：由题意可知CD，平面 ABD , Z DAC =45° , / DBC = 30° , / ABD =150° , AB=91m,设 CD = h,则 A

17、D = CD = h, BD= v?CD= v?h ,在ABD 中，由余弦定理可得：AB2=AD2+BD2- 2AD? BD? cos/ADB ,即 912=h2+3h2+3h2,解得：h = 13v?m故选：C.9.已知在锐角 ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,若 2bcosC= ccosB,1则+? +，的最小值为( ?B. v?C.D. ?>?【分析】因为2bcosC= ccosB ,由正弦定理得 2tan B = tanC,又因为A+B+C=兀，所以tanA= tan兀一(B+C) = - tan (B + C)=-?+?1-?所以?1-2?1=+? -3?1

18、,化简得2 ?_由基本不等式即可得出答?2?36?案.解：因为 2bcosC = ccosB ,所以 2sinBcosC= sinccosB,即 2tan B = tan C,又因为A+B+C= Tt,所以 tan A = tan兀(B+C) =tan (B+C)=-?+?1-?彷？?？2?所以'+ 1-2?1? -3? ?2?2?2?-1 +3?9+4?-24?吊?？+7_-_ _=2?6?6?2:?76?*?年（当且仅当23 ?6?即 tanB=1510.若首项为2-的数列3an满足 2 (2n+1) anan+1 + an+1 = an,贝U a1+a2+a3+a2020 =80

19、80A.40414078B.40404040 C.40414039D.4040【分析】先根据1一 =?+ ?再令 n 取 n - 1 ?可得新等式，两等式再结合叠加法求出数列an的通项,即可求解结论.解：依题意得 anw0,由 2 (2n+1) anan+1= an - an+1,1可得?+1?>? ?贝J- -?3?3?-1? ?石-不=? ?,)以上式子左右两边分别相加可得-?% ?(6+4?-2)(?-1)即?=?- 1 2(2?-1)(2?+1)即？?=(2?-1)(2?+1)2?-112?+1,a1+a2+a3+22020= ?- 1 +1 + ?一+ ?51+ -4039=?

20、- 40411404140404041，故选：C.a、b、c,若a、b、c成等比数列,11 .如图，设 ABC的内角A、B、C所对的边分别为A、B、C成等差数列，D是 ABC外一点，DC = 1, DA = 3,下列说法中，正确的是（）A._ ?B=38. ABC是等边三角形C.若A、B、C、D四点共圆，则 AC= v?D.四边形ABCD面积无最大值【分析】对于 A,因为A、B、C成等差数列，所以3B=兀，B= ?故A正确;3对于B,因为a、b、c成等比数歹U,利用 b2= ac及余弦定理计算可知 ac= a2+c2-ac,进而可知A=C,故B正确;对于C,若A、B、C、D四点共圆,贝U D=

21、 2?根据余弦定理可得 AC2=AD2+CD2-2AD 3? CD? cosD,代入计算可得 AC =v?2?故C正确;对于D,等边4ABC中，设AC = x,x>0,在 ADC中，由余弦定理可得：x(2n + 1 *) anan+1+an+1 = an ,推得 ?3?+1=10- 6cosD ,利用四边形面积表达式得到最值，故D错误.解：对于A,因为A、B、C成等差数列，?.所以A+C=2B,则A+B+C=3B=兀.解得B=可？故A正确； 3对于B,因为a、b、c成等比数列，则 b2= ac,?.由余弦te 理可得 b2= a2+c2- 2accos-,甫入得 ac=a2+c2-ac,

22、即（a - c） 2=0,所以 A3=C，故B正确；对于C,若A、B、C、D四点共圆，则 A+D=兀，故D= 丝3根据余弦定理可得 AC2=AD2+CD2- 2AD?CD?cosD,代入计算可得 AC2= 9+1+6 X2 = 13,解得AC= v?7?故C正确；对于D,等边 ABC中，设 AC = x, x>0,在4ADC 中，由余弦定理可得：AC2= AD2+CD2- 2AD? CD? cosD,由于 AD = 3, DC=1,代入上式可得：x2 = 10 - 6cosD ,所以 S 四边形 abcd = Saabc+Saacd= 2x? xsin_ + 一 x3sinD= x2+

23、3sinD= J (10 6cosD)+ 3sinD=3sin (D- ? + 驱, 232所以四边形ABCD面积的最大值为 5g+3，故D错误. 2故选：ABC .12 .意大利数学家列昂纳多 ？斐波那契是第一个研究了度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列an满足：a1=1, a2=1, an = an 1+an2 （n>3, nCN*）.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1,记前n项所占的格子的面积之和为Sn,每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为cn,则下列结论正确的是（）2 .A . Sn+1 = an+1 +an+

24、1? anB. ai+a2+a3+an= an+2 1C. a1+a3+a5+a2n 1 = a2n 1D . 4 ( cn Cn-1)= Tian 2? an+1【分析】由题意，a1=1,a3=2,a4 = 3,a5= 5,ae= 8,a7= 13,代入验证C不成立；由数学归纳法可证明A, B正确；由扇形的面积公式和平方差公式，结合递推式，可得D正确.解：由题意，a1 = 1, a3 = 2, a4= 3, a5= 5, ae = 8, a7 = 13,a+a3= 3w a4 1, a1 + a3+a5= 8w a6 1,故 C 错误；a1=1, a2=1, an=an-1+an-2 (nn

25、3, n CN ),对于 B, a1+a2+a3+ +an = an+2- 1,当 n = 1 时，a=a31 成立；假设 n=k 时，a1+a2+a3+-+ak= ak+2 1,当 n=k+1 时，等式左边= a1+a2+a3+ak+ak+1 = ak+2 1+ak+1 = ak+3 1,则n= k+1,等式也成立，故 B正确；对于 A, Sn+1 = an+12+an+1? an,当 n = 1 时，S2=1+1 = 2, a22+a2a1=2,等式成立；假设 n=k 时，Sk+1 = ak+12+ak+1? ak, n = k+1 时，Sk+2= Sk+1 + ak+22= ak+12+

26、ak+1? ak+ak+22 = ak+22+ak+1?(ak+ak+1) = ak+22+ak+2? ak+1,则n= k+1,等式也成立，故 A正确；对于 D,cn=4口门2,4(cnCn-1)= 4 X 4，(an2 an - 12)=兀(an+an-1)(an+an-1)=兀 an2? an+1 ,故D正确.故选：ABD .二、填空题(本大题共 4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡相应位置.)?13 .在 ABC 中，边 b= V? c= v?角 B= 6,则边 a= 4 .【分析】根据余弦定理可得cosB= ?为？修-?2,代入解出a即可2?解：由余弦定理可得cosB=

27、?+?*-?2.2?整理得：a2 - 3a - 4= 0,解得a= - 1 (舍)或a=4,故答案为：4.6514 .已知数列an满足2an+1 = an+1 且a1=2,则a7的值是一 .64 【分析】利用已知条件推出数列 an-1是等比数列，得到数列的通项公式，然后求解即可.解：数列an满足 2an+1 = an+1 ,且 a1=2,可得2an+1-2=an- 1,所以数列an-1是等比数列，首项为：1,公比为2,所以 an 1=1 X(2)?-?,即 an=1+/7T，所以 a7= 1+ 216 = 64.65故答案为：65.6415 .在 ABC中，AC=2, AB = 1,点D为BC

28、边上的点，AD是/ BAC的角平分线，则一,一一4、BD: DC= 1: 2 , AD的取值范围是(0,) 3一_?【分析】设/ BAD =Z CAD= 0, 0 C(0, -)，由正弦定理可得:2? / ?=,进而可得 BD ： DC ； ? / ?根据SAABC = SAadb+s"dc,可得AD= 23；?3cos e,由。范围即可求出AD取值范围- 、一?解：设/ BAD=/CAD= & 0 (0,-), 2在4ABD中由正弦定理可得：一?-=二丝，? / ?在4ADC中由正弦定理可得：一?-?=二,? / ?因为因为所以因为sin / ADB = sin / ADC

29、 ,所以将上述两式相除可得 ?-?= 注?= ? ? 2Saabc = Saadb+Saadc , IP -AB? AD sin 0+ -AC? AD sin 0= -AB ? ACsin2 0, 222ad= 2?2?4cose 3?3c'?0 e(0,-),2故 0<AD<434故答案为：1: 2; (0,4)316 .若正整数a, b是函数f (x) =x2-px+q的两个不同的零点，且 a, b, r这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，若p+q = 26,则r的值等于4 .【分析】由题意可得 a, b是方程x2-px+q =0的两个不同的根，运

30、用韦达定理和因式分解，求得a=2, b= 8,求得r=-4或4,由等差数列的中项性质可判断r的值.解：因为正整数 a, b是函数f (x) = x2- px+q的两个不同的零点,所以正整数a, b是方程x2-px+q=0的两个不同的根，所以 a+b= p, ab= q,p+q=26,即为 a+b+ab=26,即有 a+b+ab+1 = 27,可得(a+1) ( b+1) = 27 = 1x 27= 3x 9,由于a, b为正整数，可设 a+1 = 3, b+1 = 9,则a=2, b= 8,由题意可得当a, r, b成等比数列时，r2=ab=16,即r=-4或4,若r = 4, 2, 4, 8

31、这三个数不可能构成等差数列；当r=-4时，可得-4, 2, 8构成等差数列；故答案为：-4.三、解答题(本大题共6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17 .已知关于x的一元二次不等式 x2- (m+3) x+3mv0.(1)若m= - 1时，求不等式的解集；( 2 )若不等式的解集中恰有三个整数，求实数m 的取值范围【分析】(1) m=- 1时不等式为x2- 2x-3<0,求出解集即可；(2)不等式化为(x- m) (x-3) <0,讨论m的取值范围，求出不等式的解集，从而求出符合题意的 m 取值范围解：(1)若 m= 1,则不等式为 x22x3<

32、; 0,即(x+1) (x 3) v 0;解得-1vxv3,所以不等式的解集为x| - 1 v x v 3.(2)不等式 x2- ( m+3) x+3mv0,即为(x- m) (x 3) < 0;0、 1， 2，当m<3时，原不等式解集为(m, 3),则解集中的三个整数分别为此时-1w mv 0；当m= 3时，原不等式解集为空集，不符合题意舍去；当m>3时，原不等式解集为(3, m),则解集中的三个整数分别为4、5, 6,此时6v m w 7；综上所述，实数 m的取值范围是-1, 0) U (6, 7.18.在等差数列an中，已知a2=3, S4=16.(1)求an的通项公式

33、；(2)令 bn=an+2an,求bn的前 n 项和 Tn.【分析】(1)直接利用已知条件建立方程组，解出首项和公差，进一步求出数列的通项 公式.(2)利用(1)的应用，进一步利用分组法的应用求出数歹U的和.解：(1)设等差数列的首项为a1，公差为d,已知a2=3, S4= 16.则： ?= ?3?+ ?= ?= ?>?= ?解得?= ?= ?' - an = 1+ (n 1) X2=2n 1.(2)由(I)得？?= (? ?)+ ?-?贝U： Tn= b1+b2+b3+- - + bn,=(1+3+2nT) + (21+23+22n 1?(1+2?-1)2(4 ?1)=2+4-

34、1'=日+ 2(4 ?1) 319 . AABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,已知 acosB+bcosA= -27ac, sin2A=sinA.(1)求A及a;(2)若b-c= 2,求BC边上的高.【分析】(1)利用正弦定理，结合 A+B=兀-C,求出a,再求出角A;(2)利用余弦定理求出 b, c,再用正弦定理求出sinC,由h=bsinC求出即可.解：（1）?7?-由正弦定理得？?一?+?） =J?' A + B=兀C, ?=?*?sinC>0,. .?= V?sin2A = sinA,2sinAcosA= sinA,由 sinA>0

35、,，？?=?义,又AC （0,兀）? ?= -3'(2)由余弦定理得a2= b2+c2 - 2bccosA,又？?=巧？ ?= ?3b2+c2 bc= 7,又< b=c+2,代入b2+c2- bc=7,得 c2+2c- 3=0,解得c= 1或-3 (舍去)，b= 3,?21?=?14设 BC 边上的tWj为 h ,?= ?=?41 20 .三福之地福清为美化城市面貌、提升居住品质，在旧城改造中，将城区多个街头空地改造成家门口的“口袋公园”，成为了市民休闲娱乐的好去处.如图，某社区拟在小区的闲置地中规划一个面积为200平方米的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2米

36、宽的绿化，2化造价为 200元/平方米，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/平方米.设矩形的长为 x米.（1）试将总造价y （元）表示为长度 x的函数;（2）当x取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.【分析】（1）由矩形的长为x （m）,则矩形的宽为 丝，然后列出函数的解析式.?(2)利用基本不等式 y > 18400+400 X 2 x V?200 = 18400+8000 V?即可求解函数的最值.解：（1）由矩形的长为x米，则宽为丝米, ?则中间区域的长为（X-4）米,宽为（%-4）米，则定义域为XC （4, 5°）,故 y= 100X (x-4) ( 200- 4) +200 X 200 - (x- 4) (200.4) ?整理得 y= 18400+400 (x+券),xC (4, 50),(2)因为 y= 18400+400(x+200) > 18400+400 X 2X V?200 = 18400+8000?当且仅当x= 端，即x= 10v?E （4, 50）取等号,答