2019-2020学年数学人教A版选修2-3检测：2.2.1条件概率Word版含解析

1、2. 2.1条件概率填一填1 .条件概率的定义：一般地，设A, B为两个事件，且 P(A)>0,称P(B|A)=P-AB-为在事件A发生的条件下, P A事件B发生的条件概率.P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率.2 .条件概率的性质(1)任何事件的条彳概率都在0和1之间，即0WP(B|AW1.(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(BUC|A) = P(B|A)+P(C|A)._)判一判判断(正确的打“，”，错误的打"X”)1 .若事件A与B互斥，则P(B|A)=0.(，)2 .若事件 A等于事件B,则P(B|A) = 1.(，)3 . P(B|A)与 P(A|B)相同.

2、(X)4 .已知 P(AB)=：3, P(A) = 3,则 P(B|A)为1.(，)10525 .由“0” “1”组成的三位数组中，若用事件 A表示“第二位数字为0"，用事件B表1本“第一位数字为0"，则P(A|B)等于；.(><)36 .把一枚硬币任意掷两次，事件A= 第一次出现正面,事件B= 第二次出现正面,则 P(B|A)=2.(，)想一想1 .如何判断题目是条件概率？提示：在题目条件中，若出现 “在发生的条件下 发生的概率”时，一般可认为 是条件概率.2 .解决条件概率问题的一般方法有哪些？提示：(1)在原样本空间中，先计算P(AB),P(A),再利用公

3、式P(B|A)=P$B计算求得P(B|A);P A(2)若事件为古典概型，可利用公式P(B|A) = nJAB-,即在缩小后的样本空间中计算事件Bn a发生的概率.3 . 一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不 放回.若已知第一只是好的，求第二只也是好的概率.提示：本题可以用公式求解，也可以用缩小样本空间的方法直接求解.法一(定义法)：设Ai=第i只是好的(i=1,2).由题意知要求出 P(A2|A1).636X51口为 p(Ai)=10 = 5，P(Aia2)= 10X9 = 3,P A1A2所以 p(A2|Ai)=、ti=59.法二(直接法)：因事件Ai

4、已发生(已知)，故我们只研究事件 A2发生便可，在 Ai发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中AB发生的可能数5只好的，所以 P(A2Ai)=A发生的可能数59.P(B|A)表示事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率，与没有这个附加条件的概 率是不同的.也就是说，条件概率是在原随机试验的条件上再加上一定的条件，求另一事件 在此“新条件”下发生的概率.因此利用缩小样本空间的观点计算条件概率时，首先明确是求“在谁发生的前提下谁的概率 ”，其次转换样本空间，即把给定事件A所含的基本事件定义为新的样本空间，显然待求事件B便缩小为事件AB,如图所示，从而 P(B|A) = n等.n a思考感悟：1

5、1 .1.已知A与B是两个事件，P(B) = 4, P(AB) = 8,则P(A|B)等于(X,则XW 6的概率为解析：设A= “投掷两颗骰子，其点数不同30 5:B= =6” , 则 P(A)=|°=5, P(AB)P AB 2.p(B|A)=b = 5.,2答案：254.某气象台统计，该地区下雨的概率为：4,既刮四级以上的风又下雨的概率为A.设事件1510A为该地区下雨，事件 B为该地区刮四级以上的风，则 P(B|A) =.141P AB 10 3斛析：由题息知 P(A)=15, p(ab)=,故 p(B|A)=-pA-=7=8.15答案:8二测一.冬罪工厂二III国冕翼石拓哉知

6、识点一求条件概率1.现有6个节目准备参加比赛，其中 4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次 抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.解析：设第1次抽到舞蹈节目为事件 A,第2次抽到舞蹈节目为事件 B,则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件 AB.(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数 n(Q)=A6=30.nA20 2根据分步乘法计数原理，有n(A)=A4A5 = 20,所以P(A) = -= 2r=-.n L230 3(2)因为 n(AB) = A4=12,所以

7、 P(AB)=nB =30=5.(3)法一：由(1)(2),得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率 P(B|A)2P AB _5_ 3P A =2= 5.3法二：因为 n(AB)=12, n(A)=20,所以 P(B|A) =n ABn A12 3 20=5.2 .抛掷红、蓝两颗骰子，记事件 A为“蓝色骰子的点数为 4或6”，事件B为“两颗骰 子的点数之和大于 8”，求：(1)事彳A发生的条件下事件 B发生的概率；(2)事彳B发生的条件下事件 A发生的概率.解析：法一：抛掷红、蓝两颗骰子，事件总数为6X6=36,事件A的基本事件数为6X2 = 12,.12 1所以P=而=3.

8、由于 3+6 = 6+3=4+5=5+4>8,4 + 6=6+4=5+5>8,5 + 6=6+5>8,6+6>8,所以事件B的基本事件数为 4+3+2+1 = 10, ,105所以P(B) = 36=值.在事件A发生的条件下，事件 B发生，即事件 AB的基本事件数为6.故P(AB) = /=1.36 6由条件概率公式得P AB(1)P(B|A)=右P AB1 6131612.(2)P(A|B)=- = 7P B 535.条件概率性质应用110'1X211X31P(AB)= =4? P(AC尸碎=30.1.P(B|A-迫=41 =也=2 p(c|a) ='

9、 P a 工 45 9，P(C|A)10P AC130P A 11013.18法二：n(A) = 6X2=12.由 3+6=6 + 3=4+5=5+ 4>8,4+6= 6 + 4= 5+5>8,5+6= 6+ 5>8,6 + 6>8 知 n(B)= 10, 其中 n(AB)=6.n AB 61所以匕3伊)=12=2. n a *乙 乙 n AB 63(2)P(A|B)=-=-.n B 10 5 知识点二3 .在一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有1个红球，2个黄球，3个黑球,4个白球，从中依次不放回地摸 2个球，求在第一个球是红球的事件下，第二个球是黄球或黑

10、 球的概率.解析：法一：设“摸出的第一个球是红球”是事件A, “摸出的第二个球是黄球”是事件B, “摸出的第二个球是黑球”是事件C,则P(A) = P(B U C|A)= P(B A)+ P(C|A) = 2+ 3= 5.9 3 9.所求的条件概率为5.9法二：n(A)=1X C9=9, n(BU C) AA=c2+c3=5,P(BUC|A)=5.，所求的条件概率为9. 994.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件 A: “取到的2个数之和为偶数”，事件 B:“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于()11A.8 B.421C.5 D.2i解析：P(A)=C tC =2 P(AB)

11、 = C2=；5.有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中，随机抽取1粒, 则这粒种子能长成幼苗的概率为 . 解析：记“种子发芽”为事件A, “种子长成幼苗”为事件AB(发芽，又成活)，出芽后 的幼苗成活率为 P(B|A)=0.8,又 P(A) = 0.9,故 P(AB)=P(B|A) P(A)=0.72. 答案：0.72 .在某次考试中，要从20道题中随机地抽出 6道题，若考生至少能答对其中4道题即 可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在 这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率. 解析：记事件A为“该考生6道题全答对

12、”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另 一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”，事件D为“该考生在 这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀 ”，则A, B, C两两互斥，且C60 C10C10 C40C20 D=AU BUC, E = AUB,可知 P(D) = P(AU BU C)= P(A)+ P(B) + P(C) = c + 以0 + 或 = 180-C2, P(AD)=P(A), P(BD)=P(B),P(E|D)=P(A|D)+P(B|D)咨2JL鳖13P D + P D 12 180+ 12 180 58.C60C60 13故所求的概率为1

13、3.58三测一川驾纵I恒时测评难易适中运更高效1 .下列说法正确的是()A. P(B|A)<P(AB)P BB. P(BA)=j"是可能的 P AC. 0<P(B|A)<1D. P(A|A)=0,由条件概率的计算公式得P(B|A)=-PAB- = v=C55C5 10PA 251 . 一1.故选B项.4答案：B|综合知识|条件概率综合应用解析：由条件概率公式 P(B|A) = PAB及0WP(A)W1知P(B|A)>P(AB),故A选项错误; P A故B项正确；由于0WP(B|A)W1,，人，,P B当事件A包含事件B时，有P(AB)= P(B),此时P(B|

14、A) = - P AP(A|A) = 1,故C、D两项错误.故选 B项. 答案：B2 .根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为白，下雨的概率为11,既吹东风 3030又下雨的概率为导.则在吹东风的条件下下雨的概率为(30C.5B.181琮解析：设事件A表示“该地区四月份下雨，一 .11“四月份吹东风:则P(A) = H，30P(B)=30 P(AB)=30,从而在吹东风的条件下下雨的概率为P(A|B) = 7P AB830B_9_3089.答案：D3.在10个形状大小均相同的球中有7个红球和3个白球，不放回地依次摸出 2个球,B.5解析:法一(定义法)：设第一次摸到的是红球为事件A,r

15、r _7则p(a)=70,设第二次摸得红球为事件B,7X67则P(AB) =元% =而故在第一次摸得红球的条件下第二次也摸得红球的概率为法二(直接法)：第一次抽到红球，则还剩下，一6 2概率为9=3.答案：D4.某种家用电器能使用三年的概率为0.8,电器已经使用了三年，则它能够使用到四年的概率为9个，红球有P AB 2P(BA)=TT=3.6个，所以第二次也摸到红球的能使用四年的概率为0.4,已知某一这种家用()在第1次摸出红球的条件下，第 2次也摸到红球的概率为(7 A.而C工 C.10A. 0.32 B, 0.4C. 0.5 D, 0.6解析：记“家用电器能使用三年”为事件A,记“家用电器

16、能使用四年”为事件B,根据题意，易得 P(A) = 0.8, P(B)=0.4,则 P(AA B) = 0.4,由条件概率的计算方法P = 04= 0.5.答案：C. .1_135.在区间（0,1）内随机投掷一个点M（其坐标为x）,右A= x 0Vx<2 , B= x 4Vx<4 ，则P（B|A）等于（）1A.2C1C.3B.4d.4解析:1 _ _1P(A) = 2, P(AB) = 4P AB，P(BA)=-PT /V14 1,彳=2,选A.2答案:6 .从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出 2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，1A.而CC.19 解析:则第2张也是

17、假钞的概率为（）17B.382D.17设事件A表示“抽到2张都是假钞"，事件B为“2张中至少有一张假钞”，所以为 P(A|B).而 P(AB) =C51.P(A|B) =瓦=历，P(B) =P AB _ 2 P B =17.C5+ C5C1517C20 = 38.答案：D7.某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概_ 1，、一 “ ，一.，一， 一 ，、一 “一 ，一 一率是2,在第一次闭合出现红灯的条件下第二次闭合还出现红灯的概率是现红灯的概率为（）13,则两次闭合都出1A- 61C.35B.62 %解析:记第一次闭合出现红灯为事件A,第二次闭合出

18、现红灯为事件B,则 P(A)=2, P(B|A)i -,所以3答案:1、，1 1P(AB)=P(B|A) P(A) = 3X2=6.二、填空题8.已知 P(A)=0.2, P(B)=0.18, P(AB)= 0.12,则 P(A|B) =，P(BA) =解析：P(A|B) =P AB 0.12 2P AB 0.12 3P B =0.18=3； P(B|A)= p a =0.2=5.2 3答案：2 33 59 . 100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽 1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为解析：设“第一次抽到次品则 P(A) =100= 20，P(AB)= A200

19、 = 396,”为事件A,“第二次抽到正品”为事件B,c5c1519所以呼冏=底=9§.答案:9599 310 .设A, B为两个事件，若事件 A和B同时发生的概率为 ,在事件A发生的条件下,1事件B发生的概率为万，则事件A发生的概率为 31解析：由题息知 P(AB)=io，P(B|A) = 1,3_.,p(A)=PA=W=3P BA 15.23答案：3511.如图，四边形 EFGH是以O为圆心、1为半径的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则(1)P(A) =；(2)P(B|A尸.解

20、析：正方形的面积为2,圆的面积为 兀.(1)：A表示事件“豆子落在正方形 EFGH内”，P(A)=2. 兀(2) B表示事件“豆子落在扇形 OHE (阴影部分)内1.P(AB)=3P AB 1P(BlA)=pPA-=4.答案：(1)2 (2)1兀 412.抛掷骰子2次，每次结果用(xi, X2)表示，其中X1, X2分别表示第一次、第二次骰子的点数.若设 A=(X1, X2)|X1 +解析：,P(A) = 今：36X2= 10 , B=(X1, X2)|X1>X2.则 P(B|A) = 1二行 P(AB)=36, 1.P(B|A) =P AB 3611213.,1答案：13三、解答题13

21、.某种元件用满6 000小时未坏的概率是4,用满10 000小时未坏的概率是.现有1个此种元件，已经用过 6 000小时未坏，求它能用到10 000小时的概率.解析：设人=用满10 000小时未坏,B = 用满6 000小时未坏，显然AB = A，所以P(A|B)1P AB PA 2 2P B = P B =3 = 3.414.任意向x轴上(0,1)这一区间内掷一个点，问：1 ,(1)该点落在区间 0,-内的概率是多少？3(2)在(1)的条件下，求该点落在5，1内的概率.5解析：由题意知，任意向(0,1)这一区间内掷一点，该点落在(0,1)内哪个位置是等可能的,人1, , _,一令A= x 0

22、<x<-,由几何概率的计算公式可知.313 1(1)P(A) =3.11,则 AB= x 5<x<3 ,人1(2)令 B= x 5vx<11 1352P(AB) = -=-P AB 15 2故在A的条件下B发生的概率为 P(B|A) = P-= Y=2.P A 153能力提升15.有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个.其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B;第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球 8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的

23、球，则在第三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球，则称试验成功.求试验成功的概率.解析：设人=从第一个盒子中取得标有字母A的球.B= 从第一个盒子中取得标有字母B的球,R= 第二次取出的球是红球,W= 第二次取出的球是白球.73则容易求得P(A)=, P(B)=-,P(R|A)=；, P(W|A)=；, P(R|B) = 4, P(W|B) = ： 2255事件“试验成功”表示为RAU RB,又事件RA与事件RB互斥，故由概率的加法公式,P(RAU RB)= P(RA) + P(RB)= P(R|A) P(A)+ P(R|B) P(B)J4x3=2 10 5 1059100.16.根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表:降水量XX<300300W700WX>900X<700X<900工期延 误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概