数二-基本知识点

1、数二基本知识点Deran Pan2017.8.11目录第一章极限3一、定理 3二、重要极限3三、等价无穷小 3六、积分和求极限3四、佩亚诺余项泰勒展开4第二章一元函数微分4一、函数微分4二、微分运算法则4三、基本微分公式4四、变限积分求导4五、 N 阶导数 4六、参数方程导数 5七、隐函数求导法则，哥指函数求导法则5八、反函数的一阶、二阶求导5九、单调、极值、凹凸、拐点 5十、渐近线5H一、曲率5十三、泰勒定理 5十四、极限与无穷小的关系 5十五、附5第三章一元函数积分 6一、定理 6二、基本积分公式 6三、基本积分方法 6四、一个重要的反常积分 7五、定积分的应用 7第四章多元函数微分 7一

2、、如果liniMT.tOyTyOrzy存在，则/土）在该点连续7二、求重极限方法 7三、可微性讨论7四、复合函数微分 7五、高阶偏导7六、隐函数求导8七、二元函数极值的充分条件8八、条件极值、拉格朗日乘数法8九、二重积分8十、柯西积分不等式 10第五章常微分方程10一、一阶微分方程10二、可降阶的高阶微分方程 10三、高阶常系数微分方程 10第一章行列式11一、余子式&代数余子式11二、几个重要公式 11三、抽象n阶方阵行列式公式 11第二章矩阵12一、运算规则12二、特殊矩阵12三、可逆矩阵12四、秩12第三章向量13一、线性表出、线性相关、极大线性无关组13二、施密特正交化 13三

3、、正交矩阵13第四章线性方程组 13一、克拉默法则13二、齐次线性方程组、基础解系13三、非齐次线性方程组、通解结构13第五章特征值、特征向量、相似矩阵14一、特征值、特征向量 14二、相似矩阵14三、实对称矩阵14四、矩阵、特征值、特征向量 14五、判断A是否相似于对角15第六章二次型15一、二次型15二、标准型15三、规范型15四、化二次型为标准型，规范型 15五、合同15六、惯性定理15七、实对称矩阵 A B合同的充要条件15八、正定15九、正定阵性质16后记16第一章极限、定理夹逼定理，单调有界定理、重要极限洛必达法则slh xLlim = IZ.Um (1 + 九)'= XT

4、。六、积分和求极限X8-Ar -S. Jim x e、等价无穷小/(r)djr1 lim u = lim - riH四、佩亚诺余项泰勒展开1、2、3、4、5、/二1 + * +/'+瞪讨+1 3 t . (T)” 2)(1 1 t M 2n I 2 smx =工一讲 +一十 rrn+。口J(1 2 t-7加2n 1 1COS X = 1 - jjX + +而律 + OM J2 3nIn (1 + 工)=x - 2 + 可 + + (- 1)“ l +。(工”)1 地?n(rn - 1J 2X (m 1) «b*+ X (m - n I 1) 口 ,科(1 + m) = 1 +

5、 mx + J；X + - +X + 0X )第二章一元函数微分函数微分Ay = 4Ax + o(x)-力dr + o(x)微分运算法则7、 MB 二四8、做皿=-(皿江r *-59、L=心c 幻EI10、做门)口 ni11、(cscx)=-cscx cotx* 1(arcsin x)412、 ，rt(arccos j:)二一13、 痔/ / 1(.arctan y).14、7 V -(arccol x),15、 I T四、变限积分求导%*）哂=也（力一，（啊Cx） * 单 1cx）五、N阶导数曲率(i + (y) 了六、参数方程导数十二、 定理费马定理（驻点）、罗尔定理、拉格朗日中值定理、

6、柯西中值定理。七、隐函数求导法则，幕指函数求导法则十三、泰勒定理八、反函数的一阶、二阶求导dx 111!U - %) +dydy / dK十四、极限与无穷小的关系fim / (x) =总十健中 Am ()jfTJfV,九、单调、极值、凹凸、拐点十、渐近线水平渐近线:铅直渐近线:斜渐近线：lim / G= bHm l(x) = hlim - = at lim fix) - a x = Zj十五、附麦克劳林公式:、 ,八。)/E 2 严兄 一 fM = f(O) + x + X r +3 泰勒公式:f（Ko）V,（，o）佩亚诺余项:拉格朗日余项:跖=。卜- /）"心）=/（噌+a 7 j

7、+口卜-xjfW - /(xo)=.(算0).(H - Xo) 4 O(x -xo)3=/«0)-+8依-/)增量与微分的关系式1、2、3、定理定积分存在定理原函数存在定理积分中值定理j f(x)dx = /(<)< (i? - a)、基本积分公式第三章7、8、9、10、一元函数积分ftin xdx =- Inkos xl + CJcot xdx = Inlsin xl + CJ sec xdx = In Isec x + tan x| + CJ esc xdx = Inlcsc x - cot?rl + CscC xdx = tan x + C11、r IxJ . ,

8、,dx = arcsin - + C 15、二*.16、三、基本积分方法1、凑微分法Jr2 ± a2、换元积分法24C)含 M 一口，命 K =3、部分积分法4、利用被积函数的奇偶性5、拆项积分2、平面曲线的弧长四、一个重要的反常积分3、旋转体体积V = n y2(x)dx= n Jdx2n I xy2(x) - y(刈皿J a4、五、定积分的应用S = 2tt1、平面图形的面积A = -| p9)d6上J /TS= ZttJ |y(t)l .+ (y)第四章多元函数微分lim f(xty) f、如果x% 存在，则/(%y)在该点连续2、可微的必要条件：可微必可导，不可导一定不可微。

9、3、可微的充分条件：有连续一阶偏导函数一定可微。二、求重极限方法1、利用极限性质、四则运算、夹逼准则等2、消除分母中为零的因子，有理化、等价无穷小等3、转化为一元函数求极限4、利用无穷小乘以有节量仍为无穷小三、可微性讨论1、可微a)b)四、复合函数微分国 + 山第 MlRnJ1T * “yjg是否成立。2、多 元 与 多 元 复 合五、高阶偏导所有满足解的点是可能的极值点以渺与相等，次序无关六、隐函数求导i、利用公式九、二重积分1、性质a) 比较定理b) 估值定理c) 中值定理2、计算a)直角坐标系下的计算.2.d z d tdz "丽族扇7/皿）鱼 户 适合先y后x的积分域ii.

10、适合先x后y的积分域一 dx - 5b) 二兀：2、方程组两端分别求导3、利用微分形式不变，方程两端求微分七、二元函数极值的充分条件*-II i若式工m以及7岛外)=。设、=八R必小乜E=£a。/)则：M _ B>0,取的极值，A >()为极小值，A ： 0为极大值< d无极值AC-B =口，不能确定八、条件极值、拉格朗日乘数法1、构造拉格朗日函数口8,74) =，仁柏+ a *年位2、解方程组为5 /(x.y)ch眄(Wb）极坐标下的计算i. 极点O在区域D之外Jj f(xy)d D(“co捋 0tpan 8) - pdftr3cosG/©n 0) ,

11、pp 内2n dfl0pj (pcos U.psin 0) - pdpii.极点O在区域D的边界上iv.环形域(/*圻. gCOdJ < Jf2(x)dx + JJOJcUjy r(匕y)出5I)=/阿打/ (/?cus O.psn 0) pilp 户阿3、利用对称性和奇偶性a) 对称性i . 若积分域关于x或y对称ii .若积分关于直线 x=y对称，则JJ/(xty)dA= JJ &占)面十、柯西积分不等式第五章常微分方程一阶微分方程1、可分离变量方程3、线性方程y = P(x) - y = Q(x)' =f -卬3UqU)一/网址打+ 01、反复积分，产=也好2、不是

12、含有y的二阶微分方程1=3)，令” HP dP则：3、不是含有x的二阶微分方程vI3力，令p = v“ tlP dP 心，df d?则：丫 一菽二石.而 一 y.#p.q可降阶的高阶微分方程三、高阶常系数微分方程1、齐次方程：py + g=da)解特征值：Tl' q + PT +(? = 0)i. 有不相同的两个实根:第一章行列式ii. 有一对相等的实根：iii. 有一对共轲复根口土甲:|y - egT(Ctcos (fix) + Csln (fix)JI*二、几个重要公式1、上(下)三角形行列式 A2、非齐次方程：y + py + qy = 3a)通解形式为了齐汽第' y特邯

13、2、副对角线行列式Ak为特征值入的重数ii.Qx)cos (fix)+ QnU)sin 第3)则设3、 A、B分别是m阶，n阶矩阵A*AOIn1DI|门H+fi川4、k为特征值11t 土用的重数范德蒙行列式11H工11x,n - 1 nt - 1 n. - 1 XXX n岫hnAl三、抽象n阶方阵行列式公式1、kA = k川2、42| = A2第二章矩阵一、运算规则1、加法2、数乘3、乘法4、转置(A上护丁(k/l)' = kA11、运算性% 11山)RG4H)7 二旷(八)二(可(/I，) ' = AiEEJ2、 求逆矩阵a) 公式法：b)初等变换：E)=c) 分块矩阵：p

14、co -l/i -田0o c5、伴随矩阵Ar A - A E(向=BrAf'(/)T=X四、秩“)=()2、R) = W1)3、S + 8”心)+4、(*?)£ min什，5、若A可逆，幽;二幽)6、若A是阵，b是§阵，圈三卫，则6、方阵的哥(0=心r(4) +1"r(/l) + r(/J) < n7、分块矩阵：特殊矩阵单位阵数量阵对角阵上下三角阵对称阵发对称阵正交阵初等矩阵伴随矩阵、可逆矩阵T - h2、 A是正交矩阵oA -AoA行（列）向量是正交规范向量组3、如A是正交矩阵，则行列式I川二士 1第三章向量、线性表出、线性相关、极大线性无关组、施

15、密特正交化口口（，邛 1）（口中位）（“） V % 一询忆砺了 T1 丁才气则是正交规范向量组三、正交矩阵第四章线性方程组一、克拉默法则二、齐次线性方程组、基础解系非齐次线性方程组、通解结构a)反身性b),对称性c)若卜B,传递性6、两矩阵相似的必要条件AffUE-Al = UEal=>r() = r(P)nlAl 三佰I 二J 4第五章 特征值、特征向量、相似矩阵特征值、特征向量1、若如三名，则：则称/是A的特征值，,是A对 应于K的特征向量。(特征方程、特征多项式、特 征矩阵)2、性质3、求法a) 以入川。解出特征值b) 向声-""%解出特征向量二、相似矩阵1、若

16、%"%则2、 N阶矩阵 A可对角化o特征向量回二线性无关3、'是A的特征值J特征向量&1-二线性无关4、'是A的"重特征值，则该特征值得特征向量应小 于等于5、性质:三、实对称矩阵1、元素都是实数的对称矩阵2、A.实对称矩阵的特征值全部是实数B.实对称矩阵属于不同特征值对应的特征向量相互正交C.实对称矩阵必相似于对角阵，即存在P-"户",且存在正交阵 Q使得-1TQ AQ = Q AQ = A3、实对称矩阵相似于对角阵步骤a) |W| =。解出全部4功卜/ - A)X = 0解出所有特征值的特征向量、c) 正交化的特征向量d) 将

17、全部特征向量单位化e)即有Q ,Q二山Q二A四、矩阵、特征值、特征向量矩阵特征值特征向量A入hkAkAa7 )3/(«a豆A-1ak% +网五、判断A是否相似于对角三、规范型1、A是否是实对称矩阵2、若A不是，看A是否有n个互不相同的特征值3、若A有r重根，看对应是否有r个线性无关的特征向量第六章二次型次型1、矩阵表示!=）/=1U11u12 uln -一网 > 闻”1? 1: Q即HJ *嚏a t * a n工”mlnZnnJL| 二 XrAX其中A=力是对称矩阵，为二次型f的对于矩阵 2、若A、B是两个n阶对称阵，f二&二U阻a）若1-0b）若A = B = f；洞

18、卜gc）若出）二9（门二d）若八正定Of正定在二次型的标准型中，若平方项的系数 4只取1、-1、0,则该二次型为规范型四、化二次型为标准型，规范型1、对于任意一个，（nl制如=x AX ,必存在正交变换，=了%丁人报交阵：=4科+ 3；十十442、任意一个二次机f都时以,向f （检方法）可逆线性变换 ，其C旅而电为标准型：五、合同设A、B两个n阶方阵，若存在可逆矩阵 C,使得 crAC = n则称A合同于B,记/ 之 »六、惯性定理作可逆线性变换化标准型时，线性变化不唯一， 标准型也不唯一。但是标准型中正平方项数p和负平方项数q都是由二次型唯一确定的。p：正惯性指数q：负惯性指数 p+q：二次型的秩 p-q：符号差七、实对称矩阵A B合同的充要条件A-ft7 T