合情推理与演绎推理题型整理总结

1、题型一 用归纳推理发现规律例 1 ： 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。sin 2 150 sin2 750 sin2 1350 3；sin2300 sin 2 900 sin21500 3 ；222 02 0 2 0 3 2 0 2 0 2 0 3sin2 450 sin2 105 0 sin21650 ；sin2 600 sin 21200 sin 21800.22解析：猜想： sin2（600 ） sin2sin2 （600） 32证明：左边 =（sin cos600 cos sin600）2 sin 2 （sin cos600 cos sin 600）2=3

2、（sin2cos2 ） 3 =右边22注；注意观察四个式子的共同特征或规律 （ 1）结构的一致性 , （2）观察角的 “共性”（1）先猜后证是一种常见题型（ 2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型” ，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性）题型二 用类比推理猜想新的命题例 2 ：已知正三角形内切圆的半径是高的1 ，把这个结论推广到空间正四面体，3类似的结论是解析：原问题的解法为等面积法，即S11 ah 321ar21r 31h ，类比问题的解法应为等体积法， V 1 Sh 431 Sr311h 即正四面体的内切球的半径是高4注：（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比2）类比

3、推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；圆锥曲线间的类比等（ 3）在平面和空间的类比中，三角形对应三棱锥（即四面体） ，长度对应面积； 面积对应体积； 点对应线；线对应面；圆对应球；梯形对应棱台等。（4）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂 直，边相等对应面积相等题型三 利用“三段论”进行推理 例3 某校对文明班的评选设计了 a,b,c,d,e五个方面的多元评价指标，并通过经 验公式样 S a c 1 来计算各班的综合得分， S的值越高则评价效果越好，若 bde某班在自测过程中各项指标显示出 0 c d e b a ，则下阶段要把其

4、中一个 指标的值增加 1 个单位，而使得 S 的值增加最多，那么该指标应为 (填 入 a,b,c,d,e中的某个字母)解析：因 a,b,c,d,e都为正数，故分子越大或分母越小时， S 的值越大，而在分 子都增加 1 的前提下，分母越小时， S的值增长越多， 0 c d e b a，所 以 c 增大 1 个单位会使得 S 的值增加最多 注：从分式的性质中寻找 S 值的变化规律 ；此题的大前提是隐含的，需要经过 思考才能得到1. 下列说法正确的是 ()A. 类比推理是由特殊到一般的推理B. 演绎推理是特殊到一般的推理C. 归纳推理是个别到一般的推理D. 合情推理可以作为证明的步骤 答案： C11

5、 13.已知ai0 (i 1,2,L,n) ，考察下列式子：(i)a111；(ii)(a1a2)( 11)4；a1a1 a21 1 1(iii ) (a1 a2 a3)() 9. 我们可以归纳出， 对 a1,a2 ,L ,an 也成立的类似不a1 a2 a3等式为答案： (a1 a2 L an)( 1 1 L 1 ) n2 a1 a2an4. 现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是 a 的正方 形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为2 a 类比到空间，有两个棱长均为 a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的4 中心，则这两个正方体重叠部分的体

6、积恒为 解析 解法的类比(特殊化) 易得两个正方体重叠部分的体积为5.已知 ABC的三边长为 a, b, c ，内切圆半径为 r (用S ABC表示 ABC的面积 )，1若三棱锥 ABCD 的内切球半径为 R ，则S ABC 1r(a b c ) ；类比这一结论有： 则三棱锥体积 VA BCD 解析 31R(S ABC S ABDS ACD S BCD6.在平面直角坐标系中， 直线一般方程为 Ax By C 0，圆心在 (x0, y0 )的圆的一般方程为 (x x0)2 (y y0)2 r 2 ；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的 一般 方程 为 ,球心 在 (x0,y0,z0) 的球 的一

7、 般 方 程为 答案； Ax By Cz D 0； (x x0)2 (y y0)2 (z z0)2 r27. (1)已知等差数列的定义为 : 在一个数列中，从第二项起 , 如果每一项与它的 前一项的和都为同一个常数， 那么这个数列叫做等和数列， 这个常数叫做该数列 的公和类比等差数列的定义给出“等和数列”的定2) 已知数列 an 是等和数列，且 a1 2，公和为5，那么a18的值为答案：(1)在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和；2) a18 3；8. 对大于或等于 2的自然数 m的 n次方幂有如下分解方式：2222 1 3

8、32 1 3 523 3 5 33 7 9 11根据上述分解规律，则 52 1 3 5242 1 3 5 743 13 15 17 197 9, 若m3(m N*) 的分解中最小的数是73，则m 的值为 答案： m 9(2014 全国 I 卷 ) 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A， B， C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一个城市 .由此可判断乙去过的城市为 .1、小王、小刘、小张参加了今年的高考，考完后在一起议论。小王说：“我肯定考上重点大学。小刘说：“重点大学我是考不上了。 小张说：“要是不论重点不重点，我考上肯定没

9、问题。 ” 发榜结果表明， 三人中考取重点大学、 一般大学和没考上大学的各有一个， 并且他们三 个人的预言只有一个人是对的，另外两个人的预言都同事实恰好相反。可见： （ ）A）小王没考上，小刘考上一般大学，小张考上重点大学B）小王考上一般大学，小刘没考上，小张考上重点大学C）小王没考上，小刘考上重点大学，小张考上一般大学D）小王考上一般大学，小刘考上重点大学，小张没考上b ；若正整数 m和n 满足 m n ， 1b3、给出下列三个命题：若 a b 1, 则 a则 m(n m) n ；设2P(x1,y1)为圆O1: x2y2 9上任意一点，圆 O2以 Q（a,b）为圆心且半径为 1。当(ax1)

10、 2 (b y1)2 1时，圆 O1与圆 O2 相切。其中假命题的个数是A) 0C)2D)31a二、填空题4、设函数f (x)12x 2，利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法，可求得 f( 5) f(0) f(5) f (6)的值为 .、选择题1）由推理知识，可知应选（ C）3）由不等式的基本性质以及圆方程的性质，可知应选（B）、填空题4）分析 此题利用类比课本中推导等差数列前 n 项和公式的倒序相加法，观察每一个因式的特点，尝试着计算f (x) f (1 x) ：f (x)1f(1 x)121 x 22x2 2 2 x22f (x)f (1 x)1 12 22 2 x发现 f (x)

11、 f(1 x)正好是一个定值，2S2 12 ，【典型例题】例 1：( 1)迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630 万位的最大质数。小王发现由 8个质数组成的数列 41，43，47，53，61，71，83，97 的一个通项公式，并根据通 项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数。小王欣喜万分，但小王按得出的通项公式， 再往后写几个数发现它们不是质数。他写出不是质数的一个数是 ( )A1643 B 1679 C 1681 D 1697答案： C。解析：观察可知：a2 a1 2,a3a2 4,a4a3 6,an an1 2(n 1),累加可得： ana12 42(n 1)(n 1)(22n

12、 2) (n 1)n ，222an n n 41,验证可知 1681 符合此式，且 41×41=1681。n 2 2(2)下面给出了关于复数的四种类比推理： 复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；由向量 a的性质 | a| 2=a2类比得到复数 z的性质 |z|2=z2；22方程 ax2 bx c 0 (a, b,c R) 有两个不同实数根的条件是 b2 4ac 0 可以类比 得到：方程 az2 bz c 0 (a,b, c C)有两个不同复数根的条件是 b2 4ac 0； 由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义 .其中类比错误的是 ( )A. B. C. D.

13、 答案： D 。解析：由复数的性质可知。3)定义 A B, B C, C D, D A 的运算分别对应下图中的 (1) 、(2) 、(3) 、(4) ，那么下图中的(1)A)、(B)所对应的运算结果可能是2)3)A. B D, AD B. B D, A C C.( A)( B)D D. C D, A D( )答案： B。22例 3：在 ABC中，若 C=90°， AC=b,BC=a ，则 ABC的外接圆的半径 r a b ，把上面2 的结论推广到空间，写出相类似的结论。答案：本题是“由平面向空间类比” 。考虑到平面中的图形是一个直角三角形， 所以在空间中我们可以选取有 3 个面两两垂

14、直的四面体来考虑。取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A BCD，且 AB=a， AC=b， AD=c，2 2 2 则此三棱锥的外接球的半径是 r a b c 。22 a2 a1a1 a2 ”推广到一般情形，并2 例 4： 请你把不等式“若 a1 ,a2 是正实数，则有 a1 a2证明你的结论。答案： 推广的结论：若a1,a2, ,an 都是正数，22 a1 a22ana1a1a2an证明： a1,a2, ,an 都是正数2a11 a2a22a1，2 a2 a1a1 2a222a2a 3ana1 2an2an22an2a1 a2aan 1a1an2an 12 an a1课内练习】答案： A 。

15、解析： A B1给定集合 A、 B，定义 A B x|x m n,m A,n B ，若 A=4,5,6,B=1,2,3, 则集合 A B 中的所有元素之和为（ ）1,2,3,4,5 ， 1+2+3+4+515。A、11111B 、22322 n2n 1C、11112n 1D 、222n2232n答案：C。解析：用n=2 代入选项判断。2观察式子： 1 22 2,1 22 32 3,11212127，则可归纳出式子为（）22324241111122322 n2n 111112n22322 n2n 1C. 推理形式错误 D. 非以上错误, 并不平行于平面内所有直线。10，15，21，叫做三角数，它

16、有一定的规律性，第30答案： 59。解析：记这一系列三角数构成数列an，则由 a2 a1 2,a3 a2 3,a4 a34,纳猜测 a30 a29 30,a29 a28 29 ，两式相加得a30a28 59 。或由 a1 1,a2 1 2,a3 13，3有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面 , 则平行于平面内所有直线；已知直线b 平面 ，直线 a 平面，直线 b 平面 ，则直线 b 直线 a ”的结论显然是错误的，这是因为A. 大前提错误 B. 小前提错误 答案： A。解析：直线平行于平面 4古希腊数学家把数 1， 3，6， 个三角数与第 28 个三角数的差为猜测 an 1 2n 。5数列

17、 an 是正项等差数列，若 bna12a23a3123nan ，则数列 bn 也为等差数列 . 类比上述结论，写出正项等比数列cn ，若 dn，则数列 dn 也为等比数列 .n 1 23 n n。ABCD的对角线，答案： （c1 c22 c33AC,BD互相垂直且平分。 ”补充以上推理的大前提6“ AC,BD是菱形 是。 答案：菱形对角线互相垂直且平分。7在一次珠宝展览会上 ,某商家展出一套珠宝首饰 ,第一件首饰是 1颗珠宝 , 第二件首饰是 由 6 颗珠宝构成如图 1 所示的正六边形 , 第三件首饰是由 15 颗珠宝构成如图 2 所示的正六 边形 , 第四件首饰是由 28颗珠宝构成如图 3所

18、示的正六边形 , 第五件首饰是由 45颗珠宝构 成如图 4所示的正六边形 , 以后每件首饰都在前一件上, 按照这种规律增加一定数 量的珠宝,使它构成更大的正六边形, 依此推断第 6件首饰上应有 颗珠宝;则前n件首饰所用珠宝总数为颗.（ 结果用 n表示）图1图2图3图4答案： 66, n n 1 4n 1 。解析：利用归纳推理知。6 8在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形， 按图所标边长，由勾股定理有：c2 a2 b2.设想正方形换成正方体， 把截线换成如图的截面， 这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的 三棱锥 OLMN，如果用 s1, s2 , s3 表示三

19、个侧面面积， s4表示截面面积，那么你类比得到的 结论是 .S12 S22 S32 S42 。x2 y29已知椭圆 C： x2 y2 1具有性质：若 M、N是椭圆 C上关于原点对称的两点，点 P 是椭 a2 b2圆 C 上任意一点，当直线 PM、PN的斜率都存在，并记为 KPM、KPN时，那么 KPM与 KPN之积是与 22点 P 位置无关的定值。试对双曲线x2 y2 1 写出具有类似特性的性质，并加以证明。a2 b222 答案：本题明确要求进行“性质类比” 。类似的性质：若 M、N是双曲线 x2 y2 1 上关于原 a2 b2 点对称的两点，点 P是双曲线上任意一点，当直线 PM、PN的斜率

20、都存在，并记为 KPM、 KPN 时，那么 KPM与 KPN之积是与点 P 位置无关的定值。证明如下：22设 M (m,n),则 N( m, n) ，其中 m n 1a2 b2设 P(x,y) ，由KPMyn,KPNy n ，xmxm22得 KPM KPNynynynxmxmx2m222b2将 y2 b2 x2a222 b ,nba2m2b2代入得 KPM K PN 2 。10观察下面由奇数组成的数阵，回答下列问题：（）求第六行的第一个数35（）求第 20 行的第一个数7911（）求第 20 行的所有数的和131517 19答案：（）第六行的第一个数为31（）第 n 行的最后一个数是2n2 n

21、 1，第 n 行共有 n 个数，且这些数构成一个等差数列，设第 n 行的第一个数是 an12 n n 1 an1 2(n 1)an1 n2 n 1第 20 行的第一个数为 3（）第 20 行构成首项为 381，公差为 2 的等差数列，且有 20 个数设第 20 行的所有数的和为 S20 则 S20 381 20 20(20 1) 2 8000 2【作业本】A组1在数列 A 25 B1，2，2，3，3，6C 73，4，4，D 84，4，中，第 25 项为答案： C。解析：对于 n（n21） 中，当n时，有6 7 21, 所以第2项是。uuur2如图 , 椭圆中心在坐标原点 ,F 为左焦点 , 当

22、 FBuuurAB 时, 其离心率为5 1, 此类椭圆被2称为“黄金椭圆”. 类比“黄金椭圆” , 可推算出”A. 5 12B.51C. 5 1D.答案： A。解析：猜想出黄金双曲线”的离心率ABF 应用勾股定理 , 得 AF注意到 b2 c2 a2 , eBF2AB , 即有 (a22c)2 (b22 2 2 c2) (a2 b2),c, 变形得 e a0,从而e513下面几种推理过程是演绎推理的是( )A、两条直线平行，同旁内角互补，如果A和 B 是两条平行直线的同旁内角，则 A+B=180°B、由平面三角形的性质，推测空间四面体性质C、某校高三共有 10个班， 1班有 51人，

23、2班有 53人，三班有 52人，由此推测各班都超过 50 人D、在数列 an 中， a1 1,an 1(an 1 1 )(n 2) ，由此推出 an 的通项公式2an 1答案： A。解析： B 是类比推理， C、 D是归纳推理。 4由正方形的对角线相等；平行四边形的对角线相等；正方形是平行四边形，根据 “三段论”推理出一个结论，则这个结论是 。 答案： 。解析：是大前提，是小前提，是结论。5公比为 4 的等比数列bn 中，若 Tn是数列T 20 T30 bn 的前 n 项积， 则有 T , TT10 T20T40 也成等比T30数列，且公比为 4100 ；类比上述结论，相应地在公差为 3的等差

24、数列 an 中，若 Sn 是 an 的前 n项和，则数列 也成等差数列 , 且公差为 。答案： S20 S10 ， S30 S20 ， S40 S30 ； 300。解析：采用解法类比。6二十世纪六十年代，日本数学家角谷发现了一个奇怪现象：一个自然数，如果它是偶数 就用 2 除它，如果是奇数，则将它乘以 3 后再加 1，反复进行这样两种运算，必然会得到什 么结果，试考查几个数并给出猜想。答案：取自然数 6，按角谷的作法有： 6÷2=3，3×3+1=10， 3×5+1=16，16÷ 2=8， 8÷ 2=4， 4÷2=2，2÷ 2

25、=1，其过程简记为 6310516842 1。取自然数 7，则有 722 113417522613402010 1。 取自然数 100，则 10050257638 195829884422 1。 归纳猜想：这样反复运算，必然会得到1。7圆的垂径定理有一个推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，这一性质能推广到椭221(a b 0) 的任一弦，M是 AB的中点，设 OM与 AB的斜率都存圆吗？设 AB是椭圆 x2 y2a2 b2在，并设为 KOM、 KAB，则 KOM与 KAB之间有何关系？并证明你的结论。x122 则a2x22ay12b22y2b2(x1 x2)(x1 x2) (y1 y2)(

26、y1 y2) =0a2b2x1 x2 2x0, y1y2 2 y0, y0 y1 y2x0 x1 x2b22 a即 KOM· KAB=b2 ，而 aa2b ，即 KOM· KAB 1答案：b2KOM· KAB= b2 。证明：设 A(x1,y1),B(x2,y2),M (x0,y0)， aOM与 AB不垂直，即不能推广到椭圆中。B组1为确保信息安全 ,信息需加密传输 ,发送方由明文密文 (加密 ), 接收方由密文明文 (解 密), 已知加密规则为 :明文 a,b,c,d 对应密文 a 2b,2b c,2c 3d,4d ,例如,明文1,2,3,4 对应密文 5,7,

27、18,16 . 当接收方收到密文A 4,6,1,7B 7,6,1,4答案： C。解析：本题考查阅读获取信息能力C 6,4,1,7D1,6,4,7a 2b14a62b c9b4,实则为解方程组解得2c 3d23c14d28d714,9,23,28 时, 则解密得到的明文为(即解密得到的明文为 6,4,1,7 。2平面上有 n 个圆，其中每两个都相交于两点， 每三个都无公共点， 它们将平面分成 f(n) 块 区域，有 f (1) 2,f(2) 4,f(3) 8，则 f (n)的表达式为 ( )A、 2n B 、 n2 n 2 C 、 2n (n 1)(n 2)(n 3) D 、 n3 5n2 10

28、n 4答案： B。解析：由 f (2) f (1) 2, f(3) f(2) 4,f (4) f (3) 6, 猜测f(n 1) f(n) 2n ，利用累 加法，得 f (n) n2 n 2 。3设 f(x) x 1 ，利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法，可求得 22f( 5) f ( 4)f(0)f(5)f (6)的值为( )A、 2 B、 22 C 、3 2D 、 4 2答案： C。解析：f (x)f (1 x) 2 。24考察下列一组不等式：235322 5 252,24542352 53,255523 52 2253,.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广， 使以

29、上的不等式成为推广不等式的 特例，则推广的不等式可以是 .答案： am n bm n ambn anbm a,b 0,a b,m,n 0 (或 a,b 0,a b,m,n为正整数)。解析：填 2m n 5m n 2m5n 2n5m 以及是否注明字母的取值符号和关系， 也行。5如下图，第( 1)个多边形是由正三角形“扩展“而来，第(2)个多边形是由正四边形“扩展”而来，如此类推 .设由正 n边形“扩展”而来的多边形的边数为an ，则 a61 1 1 1a3 a4 a5 a9997答案： 42；3001） 5 与 2 2 可以比较大小；2)直线 a,b,c,若a/ b,c/b,则a/c 。6指出下

30、面推理中的大前提和小前提。答案：（1）大前提是实数可以比较大小，小前提是5 与2 2 是实数。（2）大前提是平行于同一条直线的两直线互相平行，小前提是a/b,c/b 。7已知函数 y f ( x) ，对任意的两个不相等的实数 x1,x2 ，都有 f(x1 x2) f (x1) f ( x2 )成立， 且 f(0) 0，求 f( 2006) f( 2005) f (2005) f (2006)的值。答案：当 x1 0,x2 x时,f (0 x) f(0) f(x)，由 f (0) 0, f(0) 1, f ( x) f(x) f(0) 1， 从而可得： f ( 2006) f( 2005) f

31、(2005) f (2006) =(1)写出 a1, a2, a3, 并推测 an 的表达式；（2） 证明所得的结论。答案：3715(1) a1 , a2 ,a3,248(2)由（ 1）已得当 n 1时，命题成立；假设nk 时, 命题成立，即1 ak 2 k ,f( 2006) f (2006) f ( 2005) f (2005) f(0) f(0) f (0) f(0) 18已知数列 an 满足 Snan 2n 1,2k猜测an212n当 nk1 时, a1a2 akak1ak12（k1） 1,且 a1a2 ak 2k1 ak 2k1 ak 2ak 1 2( k 1) 12k3, 2ak1

32、2 212kak1 212k 1即当 n k1时,命题成立 .1 根据得 nN+ , a n2 1n 都成立2n一、填空题1. 如下图，对大于或等于 2 的自然数 m的 n 次幂进行如下方式的“分裂”仿此， 52 的“分裂”中最大的数是 ，若 m3 的“分裂”中最小的数是 211，则 m的值为 .2. 下面给出三个类比推理命题（其中 Q为有理数集， R为实数集， C 为复数集）； "a,b R,若a b 0,则a b "类比推出 "a,b C,若 a b 0，则 a b" "a,b,c,d R,若复数 a bi c di,则a c,b d&qu

33、ot; 类比推出"a,b,c,d Q,若 a 2b c 2d,则a c,b d" "a,b R,若a b 0,则a b "类比推出 "a,b C,若a b 0,则a b" 其中类比结论正确的序号是 （写出所有正确结论的序号）3. 已知，则中共有 项4. 设 f (x)(x a)(xb)(xc） （ a,b,c 是两两不等的常数), 则af / (a)bf /(b)cf /(c)的值是 .二、选择题5. “所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电， ”此推理类型属于A演绎推理B 类比推理 C 合情推理 D 归纳推理6. 用三段论推理命题

34、：“任何实数的平方大于0，因为 a 是实数，所以 a2 > 0”，你认为这个推理（ ）A大前题错误 B 小前题错误 C 推理形式错误 D 是正确的7. 已知扇形的弧长为，所在圆的半径为，类比三角形的面积公式：底高，可得扇形的面积 公式为（ ） 不可类比8. 下列给出的平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是（ ） 三角形 梯形 平行四边形 矩形9. 图 1 是一个水平摆放的小正方体木块， 图 2，图 3 是由这样的小正方体木块叠放而成的， 按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是（ ） 25 66 91 12013. 计算机中常用的十六进制是逢 16

35、进 1的计数制，采用数字 0: 9和字母 A: F 共16个 计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：十六进制01234567十进制01234567十六进制89ABCDEF十进制89101112131415例如，用十六进制表示E D 1B, 则 A B ( )A6EB 72 C 5FD B014.设 a,bR,a22b2 6,则a b 的最小值是()A 2 2B 5 3 C 3D 73211.设P 1 1111 log21log 3111log 4 111 11 ，则( log 5A0P1 B1 2 P 3 D 3 P 4三、解答题115. 已知 an2 (n Nt) 记 f(n) (1 a1)(1 a2) (1 an)试通过计算(n 1)2f(1), f (2), f (3) 的值，推