2020届九年级中考九年级数学几何压轴题分类复习题(含答案)

1、四川省达州市第一中学2020届九年级中考九年级数学几何压轴题分类复习题1、如图，在 ABC中，/ACB = 90° , AC = BC, E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接 CF,交BE于点D且/ ACF = Z CBE, CG平分/ ACB交BD于点G,(1)求证：CF = BG;(2)延长CG交AB于H,连接AG,过点C作CP/AG交BE的延长线于点 P,求证：PB=CP+CF;(3)在(2)问的条件下，当/ GAC=2/FCH时，若$ aeg = 3>E，BG= 6,求AC的长.证明：(1)如图 1 ,ACB = 90° , AC=BC, ./ A=45&

2、#176; ,. CG 平分/ ACB, ./ ACG = Z BCG =45 ° , ./ A=Z BCG,在 BCG和ACAF中，/ A / BCG. AC BC , Z ACF Z CBEBCGA CAF (ASA), .CF = BG;(2)如图 2, PC / AG, ./ PCA=/ CAG,. AC=BC, /ACG = /BCG, CG=CG,ACGA BCG, ./ CAG = Z CBE, . / PCG = / PCA+/ACG=/ CAG+45 ° =Z CBE+45/PGC = /GCB+ Z CBE=Z CBE+45° , ./ PCG

3、 = / PGC, .PC=PG,. PB=BG+PG, BG=CF,PB=CF+CP;(3)解：如图，过 E作EMXAG,交AG于M,1 一. Saeg= AG?EM = 3 石，2由(2)得： ACGABCG,BG = AG = 6, 1 X6X EM = 3 73 ,2EM = 3 ,设/FCH=x° ,则/ GAC=2x° , ./ACF = / EBC = /GAC=2x° , / ACH = 45° ,2x+x=45,x= 15, ./ ACF = Z GAC = 30 ° ,在 RtAEM 中，AE = 2EM = 2T3 ,AM

4、 =4(2>/3)2_( 3)2 = 3, .M是AG的中点，AE= EG= 273 ,BE=BG+EG = 6+2>/3 ,在 RtAECB 中，/ EBC=30° , CE= BE= 3+、.3 ,2AC = AE+ EC= 2 V3 +3+ /3 = 3 V3 +3.2、问题背景如图1所示，在 ABC中，AB=BC, /ABC = 90° ,点D为直线BC上的一个动点（不与 B、C重合），连结 AD,将线段AD绕点D按顺时针方向旋转 90° ,使点A旋转到点E,连结EC.问题初探如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：

5、过点E作EFLBC交直线BC于F,如图2所示，通过证明 DEFA ADB ,可推证 CEF是 等腰直角 三角形,从 而求得/ DCE=135 ° .继续探究如果点D在线段CB的延长线上运动，如图 3所示，求出/ DCE的度数.拓展延伸连接BE,当点D在直线BC上运动时，若 AB= J6，请直接写出BE的最小值.解：问题初探如图2,过点E作EF，BC交直线BC于F,DFE = 90° =/ ABD , ./ EDF + Z DEF =90° ,由旋转知，AD=DE, Z ADE = 90° ,ADB + Z EDF =90° , ./ ADB =

6、 Z DEF,ABDA DFE (AAS),BD = EF, DF =AB, AB= BC,BC=DF,BD = CF,EF = CF, .CEG是等腰直角三角形， ./ ECF = 45° , ./ DCE = 135° ,故答案为：ADB,等腰直角，135;继续探究如图，过点E作EFXBC于F, ./ DFE = 90° =/ ABD , ./ EDF + Z DEF =90° ,由旋转知，AD=DE, Z ADE = 90° , ./ ADB + Z EDF =90° , ./ ADB = Z DEF,ABDA DFE (AAS

7、),BD = EF, DF =AB, AB= BC,BC=DF,BD = CF,EF = CF,.CEG是等腰直角三角形， ./ ECF = 45° , ./ DCE = 45° ;拓展延伸如图，在 ABC 中，/ABC=90° , AB = BC=76, ./ ACB = 45°当点D在射线BC上时，由问题初探知，/ BCM = 135° ,/ ACM = / BCM - / ACB = 90° ,当点D在线段CB的延长线上时，由继续探究知，/ BCE=45° ,./ACN = /ACB+/BCM = 90° ,

8、 .点 E是过点 C垂直于 AC的直线上的点，当 BELMN 时，BE 最小，. / BCE=45° ,/ CBE=45° =Z BCE,，BE=CE,1 BE最小=-BC= Z ,即：BE的最小值为 J3 .23、在 RtAABC 中，/ ACB=90° , / A = 30° , BD 是 ABC 的角平分线.(1)如图 1,求证：AD=2DC.(2)如图2,作/ CBD的角平分线交线段 CD于点M,若CM= 1,求 DBM的面积；(3)如图3,过点D作DELAB于点E,点N是线段AC上一点(不与 C、D重合)，以 BN为一边, 在BN的下方作/ B

9、NG= 60° , NG交DE延长线于点 G,试探究线段ND, DG与AD之间的数量关系， 并说明理由证明：（1）如图，过点D作DEXAB,. , BD 是4ABC 的角平分线，DELAB, Z ACB=90DC = DE ,/ A=30° , DEXAB,AD = 2DE,AD = 2DC;(2)如图2,过点M作ME / BD,/ ACB = 90 , Z A=30 ,ABC = 60 ° ,. BD是AABC的角平分线, ./ ABD = Z DBC=30° , BM 平分/ CBD,CBM = 15 =Z DBM , ME II BD,Z MEC

10、= Z CBD = 30 , Z EMB = Z DBM = Z MBE ,ME = BE,/ MEC = 30° , Z C= 90,.CE=*MC=B ME=2MC = 2=BE,BC=逐+2,CBD = 30 , Z C=90 ,BC= 75 CD, .CDi”32V3 DM =,312<3/ 4 °、/ 2石x x ( x/3 +2) = 1+；233(3)若点 N 在 CD 上时，AD = DG+DN,理由如下：如图3所示：延长 ED使得DW=DN,连接NW, . /ACB = 90° , Z A=30° , BD 是 ABC 的角平分线

11、，DE LAB 于点 E, ./ADE = / BDE = 60° , AD=BD, DN = DW,且/ WDN = 60° . WDN是等边三角形， .NW= DN , / W= Z WND = Z BNG=Z BDN = 60° , ./ WNG = / BND , 在 WGN和 DBN中，Z W ZNDB 60°WN DN/ WNG / DNBWGNA DBN (SAS),BD = WG= DG+DN , . AD = DG + DN .(3)若点 N 在 AD 上时，AD = DG - DN ,理由如下：如图 4,延长BD至H,使得DH = D

12、N,连接HN,由(1)得 DA=DB, Z A=30° .DE，AB 于点 E.2=Z 3=60° . 1 / 4= Z 5= 60 .， NDH是等边三角形.NH = ND, / H = Z 6 = 60° . ./ H = Z 2. . / BNG = 60° , ./ BNG + Z 7=/ 6+/ 7.即/ DNG = / HNB .在 DNG和 HNB中，/ DNG / HNBDN HN/ H Z2DNGA HNB (ASA).DG = HB. .HB = HD + DB = ND+AD, .DG = ND+AD.AD = DG - ND.4、

13、如图1,已知直角三角形 ABC, ZACB=90° , /BAC=30°，点D是AC边上一点，过 D作DE LAB 于点巳连接BD,点F是BD中点，连接 EF, CF .(1)发现问题：线段 EF, CF之间的数量关系为EF=CF ; / EFC的度数为 120°:(2)拓展与探究：若将 AED绕点A按顺时针方向旋转“角(0° V “V 300 ),如图2所示，(1) 中的结论还成立吗？请说明理由；(3)拓展与运用：如图 3所示，若 AED绕点A旋转的过程中，当点 D落到AB边上时，AB边上另 有一点G, AD=DG = GB, BC = 3,连接EG,

14、请直接写出 EG的长度.解：(1)如图1中, DEXAB, ./ BED = 90° , . / BCD = 90° , BF = DF,FE=FB=FD = CF, ./ FBE = Z FEB, / FBC = Z FCB, ./ EFC = Z EFD+Z CFD =Z FBE + Z FEB+/ FBC+/ FCB= 2 (/ FBE + Z FBC ) = 2/ ABC = 120° ,故答案为：EF=CF, 120°(2)结论成立.理由：如图2中，取 AB的中点 M, AD的中点N,连接 MC , MF , ED, EN, FN . . BM

15、=MA, BF=FD,MF /AD, MF= 1 AD 2， .AN=ND,MF =AN , MF / AN,四边形MFNA是平行四边形，NF = AM , / FMA = Z ANF,在 RtADE 中， AN=ND, /AED=90° , EN = 1AD=AN = ND,同理 CM = - AB= AM = MB, 22在 AEN和 ACM中，/ AEN = / EAN , / MCA = / MAC , . / MAC = Z EAN, ./ AMC = Z ANE,又. / FMA = /ANF, ./ ENF = Z FMC,在 MFC和 NEF中,MF NE/ FMC

16、/ ENF,MC NFMFCA NEF (SAS),FE= FC, / NFE = / MCF , NF / AB, ./ NFD = Z ABD, . / ACB = 90° , / BAC = 30° , ./ABC = 60 ° , BMC 是等边三角形，/ MCB = 60° ./ EFC = / EFN+/NFD + /DFC =/ MCF+/ABD + /FBC+/FCB = / ABC+/MCB = 60° +60 ° = 120° .(3)如图3中，作EH LAB于H.在 RtABC 中，. / BAC=30

17、° , BC=3,AB=2BC=6,在 RtAAED 中，/ DAE = 30° , AD=2, DE = 1AD = 1 ,2在 RtADEH 中，. / EDH = 60° , DE = 1,EH = ED?sin60°DH = ED?cos60°在 RtAEHG 中，EG =2+ (2+1)2 =25、如图1,在等腰 ABC中，AB=AC, / BAC = a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE=PC,将线段PC绕点P顺时针旋转 a得到PD,连接BD.(1)如图2,若a= 60。，其他条件不变，先补全图形，然后探究线

18、段BD和BC之间的数量关系，并说明理由.(2)如图3,若a= 90° ,其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由.解：(1) BC=2BD,理由：如图2,连接CD,由旋转可得，CP=DP, /CPD=60° ,. CDP是等边三角形， ./ CDP = 60° =/ PCD,又P 是 AB 的中点，AB = AC, /A=60° ,，等边三角形 ABC 中，/ PCB=30° , CPXAB, ./ BCD = 30° , 即BC平分/ PCD, BC垂直平分PD, ./ BDC = Z BPC=90°

19、; , RtABCD 中，BC = 2BD.(2)如图3,取BC中点F,连接PF, . / A=90° , AB=AC,ABC是等腰直角三角形， P是AB的中点，F是BC的中点，PF是 ABC的中位线，PF / AC, ./ PFB = /ACB = 45° , /BPF = /A=90° , . BPF是等腰直角三角形， BF = MbP, bp=pf, ,/ DPC = / BPF =90 ° , ./ BPD = / FPC,又 PD = PC, . BDPA FCP,BD = CF, BC= BF+FC,BC= BD+ 显 BP.6、【发现问题】

20、如图 1,已知 ABC,以点A为直角顶点、AB为腰向 ABC外作等腰直角 ABE.请你以A为直角顶点、AC为腰，向 ABC外作等腰直角 ACD （不写作法，保留作图痕迹）.连接 BD、CE.那么BD与CE的数量关系是BD = CE .【拓展探究】如图 2,已知 ABC,以AB、AC为边向外作正方形 AEFB和正方形ACGD ,连接BD、CE, 试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由.【解决问题】如图 3,有一个四边形场地 ABCD, ZADC = 60° , BC=15, AB = 8, AD = CD,求BD的最 大值.【发现问题】解：延长CA至I M,作/ MAC的平分线AN

21、,在AN上截取AD = AC,连接CD,即可得到等腰直角 ACD;连接BD、CE,如图1所示: ABE与 ACD都是等腰直角三角形，AB = AE, AD = AC, / BAE = / CAD = 90° , ./ BAD = Z EAC,AB AE在a BAD 和a EAC 中， Z BAD Z EAC,AD AC . BADA EAC (SAS),BD = CE,【拓展探究】解：BD = CE;理由如下： 四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，AB = AE, AD = AC, / BAE = / CAD = 90° , ./ BAD = Z EAC,AB AE在

22、 BAD 和 EAC 中， Z BAD Z EAC,AD AC . BADA EAC (SAS),BD = CE;【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形 ABE,连接CE,如图3所示:则/BAE=60° , BE=AB = AE=8, . AD = CD, / ADC = 60° , . ACD是等边三角形， ./ CAD = 60° , AC = AD, ./ CAD + Z BAC = Z BAE+Z BAC,即/ BAD = Z EAC,AB AE在 BAD 和 EAC 中， / BAD / EAC,AD AC . BADA EAC (SAS),BD =

23、 CE;当C、B、E三点共线时， CE最大=BC+BE= 15+8= 23, BD的最大值为23.7、 （1）如图1,点C为线段AB外一个动点，已知 AB=a, AC=b.当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为a+b （用含a, b的式子表示）；（2）如图2,点C为线段AB外一个动点，若 AB=10, AC=3,分别以AC, BC为边，作等边三角形 ACD和等边三角形 BCE,连接AE, DB .求证：AE = DB;请直接写出线段 AE的最大值;(1)解：二.点C为线段AB外一动点，且 AC=b, AB = a,当点C位于BA的延长线上时，线段 BC的长取得最大值，且最大

24、值为AC+AB=a+b,(2)证明：如图2中，, ACD与L BCE是等边三角形，.CD=AC, CB=CE, Z ACD = Z BCE = 60° , ./ DCB = Z ACE,CD CA 在ACAD 与 EAB 中， / DCB / ACE,CB CECADA EAB (SAS), . AE= BD.线段AE长的最大值=线段 BD的最大值，由(1)知，当线段BD的长取得最大值时，点 D在BA的延长线上，最大值为 AD+AB=3+10= 13;8、【初步探索】(1)如图1:在四边形 ABC中，AB=AD, /B=/ADC=90° , E、F分别是BC、CD上的点，且

25、 EF = BE+FD,探究图中/ BAE、/ FAD、/ EAF之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使DG = BE.连接AG ,先证明 ABEA ADG ,再证明AEFAGF,可得出结论，他的结论应是/ BAE + / FAD= A EAF ;【灵活运用】(2)如图2,若在四边形 ABCD中，AB = AD, /B+/D=180° . E、F分别是 BC、CD上的点，且EF = BE+FD,上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】(3)如图3,已知在四边形 ABCD中，/ ABC+/ADC= 180° AB = AD,若点E在CB的延长线上

26、，点F在CD的延长线上，如图 3所示，仍然满足 EF= BE+FD,请写出/ EAF与/ DAB的数量关系，并给 出证明过程.解：（1） / BAE + ZFAD = Z EAF,理由：如图1,延长FD到点G,使DG = BE,连接AG,根据 SAS可判定 ABEAADG ,进而得出/ BAE=Z DAG, AE=AG,再根据 SSS可判定 AEF0AGF,可得出/ EAF= Z GAF = Z DAG+ Z DAF = Z BAE + Z DAF .故答案为：/ BAE+ / FAD = / EAF ;(2)仍成立，理由：如图2,延长FD到点G,使DG = BE,连接AG, . Z B+Z

27、ADF = 180° , / ADG + /ADF = 180° , ./ B=Z ADG ,又 AB = AD,ABEA ADG (SAS), ./ BAE=/ DAG, AE = AG, EF = BE+FD= DG+FD= GF, AF = AF,AEFA AGF (SSS),/ EAF = / GAF = / DAG +/ DAF = / BAE+ / DAF ;(3) / EAF = 180。- 1 Z DAB.2证明：如图3,在DC延长线上取一点 G,使得DG = BE,连接AG,. Z ABC+Z ADC =180° , / ABC+/ ABE= 1

28、80 ./ ADC = Z ABE,又 AB = AD,ADGAABE (SAS), .AG = AE, /DAG = /BAE, , EF = BE+FD= DG+FD= GF, AF = AF,AEFA AGF (SSS), ./ FAE=Z FAG, / FAE+ / FAG+ / GAE =360° , .2/FAE+ (/GAB+/BAE) = 360° , .2/FAE+ (/GAB+/DAG) = 360° ,即 2 Z FAE+ Z DAB = 360 ° , ./ EAF= 180° 1/DAB.29、如图，在 RtABC中，

29、/ ACB=90° , /A=30° ,点O为AB中点，点P为直线BC上的动点(不与点B、点C重合)，连接 OC、OP,将线段OP绕点P逆时针旋转60° ,得到线段PQ,连接BQ.(1)如图1,当点P在线段BC上时，请直接写出线段 BQ与CP的数量关系.(2)如图2,当点P在CB延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图3,当点P在BC延长线上时，若/ BPO=45° , AC=J4,请直接写出BQ的长.解：（1） CP=BQ,理由：如图1,连接0Q,由旋转知，PQ=OP, Z OPQ=60° ?PO

30、Q是等边三角形，.OP=OQ, Z POQ =60° ,在RtABC中，O是AB中点，.-.OC = OA = OB, ./ BOC = 2Z A=60° =/ POQ, ./ COP = Z BOQ,OC OB在 COP 和 BOQ 中， Z COP Z BOQOP OQ/.A COPA BOQ （SAS ,，CP=BQ,(2) CP = BQ,理由：如图2,连接OQ,由旋转知，PQ=OP, /OPQ=60°， POQ是等边三角形，.OP=OQ, / POQ=60°，在RtABC中，O是AB中点，.-.OC = OA = OB, ./ BOC = 2/

31、A=60° =Z POQ, ./ COP = / BOQ,OC OB在 COP 和 BOQ 中， / COP / BOQOP OQCOPA BOQ (SAS ,.CP=BQ,(3)如图 3,在 RtZXABC 中，Z A=30° , AC=6，. BC= AC?tan/A= & ,过点 O 作 OHLBC, ./ OHB = 90 =Z BOA, a OH /AB,11. O 是 AB 中点，：CH= - BC=，OH= _AC=二， 2222_ /BPQ = 45 , Z OHP = 90 , . Z BPQ=Z PQH,PH=OH =762CPe V6- 422

32、连接BQ,同（1）的方法得,BQ= CP =10、模型发现:同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1,在 ABC中，AB+AC>BC.对于图1,若把点C看作是线段AB外一动点，且AB= c, AC= b,则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化.因为AB、AC的长度固定，所以当/ BAC越大时，BC边越长.特别的，当点 C位于 线段BA的延长线上时,线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c (用含b, c的式子表示)(直接填空)模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB=3, AC=2,如图2所示，分别以AC, BC为边，作等边三角形 ACD 和等边三角形 BCE,连接BD,

33、 AE.(1)求证：BD=AE.(2)线段AE长的最大值为5 .模型拓展：如图3,在平面直角坐标系中，点 A是y轴正半轴上的一动点，点 B是x轴正半轴上的一动点，且 AB=8.若ASAB, AC=3,试求 OC长的最大值.解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段 BC的长取得最大值，最大值为b+c,故答案为：线段 BA的延长线上；b+c；模型应用：(1)证明：. ACD、4BCE都是等边三角形，.-.CD = CA = AD, CB=CE, /ACD=60° , / BCE = 60 ° ,/ DCB = Z ACE ,CD CA在 DCB 和 ACE 中， /DCB ZA

34、CE, /.ADCBAACE (SAS)，BD=AE;CB CE(2)当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值， 最大值为AB+AD = AB+AC=3+2=5, .AE=BD, .线段AE长的最大值为5,模型拓展：取 AB的中点G,连接OG、CG 1 在 RtAOB 中，G 为 AB 的中点，OG= AB=4,在 RtCAG 中，CG= JAC2+AG2 =。32+ 42 = 5,2当点O、G、C在同一条直线上时， OC最大，最大值为 4+5=9.11、已知： ABC 中，/ ACB = 90° , AC=BC.(1)如图1,点D在BC的延长线上，连 AD ,过B作B

35、EXAD于E,交AC于点F.求证：AD= BF ;(2)如图2,点D在线段BC上，连 AD,过A作AEXAD,且AE = AD,连BE交AC于F,连DE,问BD与CF有何数量关系，并加以证明；(3)如图3,点D在CB延长线上，AE=AD且AELAD,连接BE、AC的延长线交 BE于点M,若ACDB= 3MC,请直接写出的值.BC(1)证明：如图1中, BEX AD 于 E,AEF = Z BCF = 90° , . / AFE = Z CFB, ./ DAC = Z CBF,BC=CA, . BCFA ACD,BF = AD.(2)结论：BD = 2CF.理由：如图2中，作EHAC于

36、H. . Z AHE = Z ACD = Z DAE=90° , ./ DAC + /ADC=90° , / DAC + /EAH = 90° , ./ DAC = Z AEH AD = AEACDA EHA,.CD=AH , EH = AC=BC,-.CB=CA,BD = CH ,. / EHF =/ BCF = 90° , /EFH = /BFC, EH=BC, . EHFA BCF,FH = CF,BD = CH=2CF.DB(3)如图 3 中，同法可证 BD=2CM. . AC=3CM,设 CM = a,贝UAC=CB=3a, BD=2a,.BC

37、2a _ 2 3a 312、已知在 ABC中，AB = AC,射线 BM、BN在/ ABC内部，分别交线段 AC于点G、H .(1)如图 1,若/ ABC =60° , / MBN = 30° ,作 AEXBN 于点 D,分别交 BC、BM 于点 E、F.求证：/ 1 = / 2;如图2,若BF=2AF,连接CF,求证：BFXCF;.一 一 (2)如图3,点E为BC上一点，AE交BM于点F,连接CF,若/ BFE = / BAC =2/CFE,求一至 ACF的值.(1)证明：如图1中,AB = AC, Z ABC=60°ABC是等边三角形， .Z BAC = 60

38、° , ADXBN, ./ ADB = 90° , / MBN = 30° ,Z BFD= 60° =Z 1 + Z BAF = Z 2+ Z BAF ,1 = / 2证明：如图2中,在 RtABFD 中，. / FBD =30° ,BF = 2DF , BF = 2AF, .BF = AD, / BAE=/FBC, AB=BC, . BFCA ADB, ./ BFC = Z ADB = 90° , BFXCF(2)在BF上截取BK = AF,连接 AK. / BFE = / 2+ / BAF , / CFE = / 4+ / 1 ,

39、 ./ CFB = Z 2+ Z4+ / BAC . / BFE = Z BAC=2/ EFC1 + Z4=Z 2+Z4.Z 1 = Z 2, 1 AB=AC,.AB"CAF, Z 3=/ 4 , Sa ABK = Sa AFC, / 1 + /3=/ 2+/3=/ CFE = / AKB, / BAC = 2/CEF, ./ KAF = Z 1 + Z3=Z AKF,AF = FK= BK,SaabK = SaAFK ,abfacfACF=2.13、已知， ABC 中，AB = AC, / BAC = 90° , E 为边 AC 任意一点，连接 BE.(1)如图1,若/

40、ABE=15° , O为BE中点，连接 AO,且AO=1,求BC的长；(2)如图2, F也为AC上一点，且满足 AE=CF,过A作AD，BE交BE于点H,交BC于点D,连接DF交BE于点G,连接AG;若AG平分/ CAD ,求证：AH = 1AC;2如图3,当G落在 ABC外时，若将 EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P,直接写出AG与EF的数量关系.(1)解：如图1中，在AB上取一点M,使得BM = ME,连接ME.在 RtAABE 中， OB=OE,BE=2OA=2,.MB = ME, ./ MBE = Z MEB= 15° ,/ AME = / MBE+ /

41、MEB = 30°，设 AE=x,贝U ME = BM = 2x, AM = 73 x, AB2+AE2=BE2,. (2x+Qx) 2+x2=22,、f62 一 ，人、.x= -_(负根已经舍弃)， 2AB = AC= (2+后?尼亚,BC = 21 AB= /3+1 .方法二：作 EHXBC于H,求出BH, CH即可解决问题.(2)证明：如图 2中，作CPLAC,交AD的延长线于 P, GMXAC于M. BEXAP, ./ AHB = 90° , ./ ABH + Z BAH =90° , . / BAH + Z PAC= 90° , ./ ABE=

42、/ PAC,在 ABE和 CAP中，/ ABE / PACAB AC , / BAE PACPABEA CAP,.-.ae = cp=cf, /aeb=/p,在 DCF和 DCP中，CD CD / DCF / DCF, CF CP . DCFA DCP, ./ DFC = Z P, ./ GFE = / GEF, .GE=GF, - GM ±EF,FM =ME , AE=CF,AF = CE,AM = CM ,在 GAH和GAM中，Z GAH Z GAMZAHG Z AMGAG AG.'.A AGHAAGM ,八 1 . AH = AM = CM = AC2(3)解：结论：A

43、G=?W2eF.2理由：如图3中，作CM, AC交AD的延长线于 M,连接PG交AC于点0.由(2)可知 ACMA BAE, CDF白 CDM , .Z AEB=Z M = Z GEF, Z M = Z CFD = Z GFE , AE=CM=CF, ./ GEF = Z GFE,.GE=GF,. EFP是由 EFG翻折得到，EG= EP=GF =PF ,；四边形EGFP是菱形， PGXAC, OE=OF,V AE=CF,AO = OC,. AB / OP,BP= PC, PF / BE,EF = CF = AE, PB= PC, AO = OC,1PO = OG= AB,2 .AB=PG,

44、AB/ PG, 四边形ABPG是平行四边形，AG / BC,.Z GAO = Z ACB = 45° ,设 EO = OF = a,则 OA=OG = 3a, AG = 3 72 a,AG3,2a 3.2 EF2a 2.,ag=3ef 214、如图所示， RtABC中，/ ACB=90° , E为AC中点，作 EDLAC交AB于D,连接 CD;(1)如图 1,求证：AB=2CD;(2)如图2,作CFXAB交AB于F,点G为CF上一点，点 H为DE延长线上一点，分别连接 AH、GH ,若/ AHG = 2/ B,求证：AH = GH ;(3)如图3,在(2)的条件下，连接 D

45、G,且有DE=BF, / EDG = 90° ,若AC=6,求AH的长度.解：(1) E为AC中点，作EDLAC交AB于D, .AD = CD,. / ACB = 90° ,BC / DE,.AD = BD,.CD = BD , .AB=2CD;(2)如图2,连接CH, 点E是AC的中点， AE=CE, DE LAC,.CH=AH , ./ ACH = Z CAH, . / ACB = 90° ,. B+Z BAC = 90° , .CFXAB, ./ BAC+Z ACF = 90° , ./ ACF = Z B, ./ HCG = Z ACH

46、 + ZACF = Z CAH+Z B,/ AHG = 2/ B，在四边形 AHGF 中，/ AFG + /FGH + /AHG+/FAH= 360° , .Z FGH =360° - (Z AFG + Z AHG + Z FAH) = 360° - (90° +2Z B+Z CAH + Z BAC)= 360° - (90° +2Z B+Z CAH+90° -/B)=360° - (180° +Z B+Z CAH) =180° - (/B+/CAH), . /CGH = 180° -

47、Z FGH=Z B+Z CAH = Z HCG ,.CH = GH, . CH=AH , . AH = GH;(3)如图3,由(1)知，DE / BC,Z B ZADEB=/ADE,在 BFC 和 DEA 中， BF Z DE/ BFC / DEA 90° . BFCA DEA,BC = AD,AD = BD = CD,BC= BD=CD, . BCD是等边三角形， ./ B=60° ,在 RtABC 中，AC=6,BC=2 73 , AB = 4 73 , . CFXBD,DF= 73 , CF=3, . / BAC = 30 ° , ./ ADE = 60&#

48、176; , . / EDG = 90° , / FDG = 30° ,在 RtADFG 中，DF= 73 , .FG = 1, DG=2,.CG = CF - FG = 2过点H作HN，CF由(2)知，CH=GH , NG= 1cg = 1 , 2FN = NG+FG =2,过点H作HM ±AB,Z FMH = Z NFM = Z HNF = 90 ,四边形NFMH是矩形，HM = FN = 2,在 RtDMH 中，Z ADE = 60 , HM =2,4百DH =)3在RtAHDG中，根据勾股定理得， HG= JdG、+ DH ' = 2叵 .315、

49、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在 RtABC中，AC = BC, Z ACB = 90° , CD LAB于点D,点E、F分别在 A和BC上,Z 1 = Z 2, FG± AB于点 G,求证： CDEA EGF.(1)阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程;(2)特殊位置，证明结论若CE平分/ ACD,其余条件不变，求证： AE=BF;(3)知识迁移，探究发现如图，已知在 RtABC中，AC=BC, /ACB=90° , CDXAB于点D,若点E是DB的中点，点 F在直线C

50、B上且满足EC = EF,请直接写出 AE与BF的数量关系.(不必写解答过程)(1)证明： AC = BC, /ACB = 90° ,.Z A=Z B=45° , .CDXAB, ./ CDB = 90° , ./ DCB = 45° , .Z ECF = Z DCB+Z 1 = 45° +/1, Z EFC = Z B+Z 2=45° +/2, /1 = /2,ECF = Z EFC .CE=EF, . CDXAB, FGXAB, ./ CDE = Z EGF=90° ,在 CDE和 EGF中，Z 1 Z2/ CDE /

51、EGF,CE EFCDEA EGF (AAS);(2)证明：由(1)得：CE = EF, /A=/B, . CE 平分/ ACD , ./ ACE = Z 1,1 = / 2, ./ ACE = Z 2,在 ACE和 BEF中,Z A / BZ ACE /2,CE EFACEA BEF (AAS), . AE= BF;(3) AE=旧2 BF,作EHBC与H,如图3所示:23x,设 DE = x,根据题意得： BE=DE = x, AD=BD = 2x, CD = AD = 2x, AE根据勾股定理得：BC = AC = 2 J2 x, . / ABC = 45° , EHXBC,B

52、H=gx，EC =EF,.CH = BC-BH =FH = CH =3.2 x,2.BF=3x-丝 x=近x22迪=3x =3金T7 2x - 2AE= 32BF.216、在正方形 ABCD和等腰直角 BGF中，/ BGF = 90° , P是DF的中点，连接 PG、PC.(1)如图1,当点G在BC边上时，延长 GP交DC于点E.求证：PG=PC;(2)如图2,当点F在AB的延长线上时，(1)中的结论是否成立？请证明你的结论；(3)如图3,若四边形 ABCD为菱形，且/ ABC=60° , BGF为等边三角形，点 F在CB的延长线上时，线段 PC、PG又有怎样的数量关系，请

53、直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线.证明：(1)/ DCB = Z FGB =Z FGC = 90° , .CD / GF ,/ EDP = / GFP，且 DP = PF , / DPE = / FPGDPEA FPG (ASA) .PE=PG, DE=GF, .BC=CD,EC=GC,且/ DCG=90° , PE=PG, .CP=PG;CG,(2)延长 GP 至ij E,使 PE=PG,连接 DE, CE,. DP = PF, /DPE = /FPG, PE=PG,DPEA FPG (SAS) .PE=PG, DE=GF, /EDP = /GFP,.G

54、F = GB,DE = BG, DC / BF , ./ CDP = Z BFP, ./ CDE = Z BFG = Z CBG=45° , DC = BC, /CDE = /CBG, DE=BG,CDEA CBG (SAS)，CE=CG, / DCE = Z BCG,，/ECG = 90° ,且 CE=CG, PE = OG, .PC=PG(3) PG=3PC.理由如下：如图，DH ,作 FE / DCB、G又在一条直线上,延长GP至ij H ,使PH = PG ,连接CH, CG , .P是线段DF的中点，FP= DP, . / GPF = Z HPD,GFPA HDP

55、,.GF = HD, / GFP = Z HDP , . / GFP + /PFE = 120° , /PFE = /PDC, ./ CDH=/HDP+/PDC = 120° , 四边形ABCD是菱形，.CD = CB, Z ADC = Z ABC = 60°，点 A、 ./ GBC= 120° ,. BFG是等边三角形，.GF = GB,HD =GB, . HDCAGBC,.CH = CG, / DCH = Z BCG,DCH + /HCB = /BCG + /HCB = 120° ,即/ HCG = 120° . CH = CG, PH=PG, PGXPC, / GCP = /HCP = 60° ,