二次函数应用拱桥问题

1、 二次函数应用中“拱桥问题”是初中数学的重要内容，在中考中所占比例很大。是各地中考重点和热门考查的知识点之一。如2008佛山升中数学24题（10分）；上海九年级数学统考21题（8分）。占分多，难度大。由于二次函数所涉及的知识面非常广(平面直角坐标系、坐标、求代数式的值、待定系数法、列一元一次方程、解一元一次方程、列二元一次方程组、解二元一次方程组等)，所以能力要求也非常高，从而使“拱桥问题”计算类型的题目成为得分难点之一。 “拱桥问题”计算类型的题目的重点、难点都是确定二次函数解析式 (占三分之二分)。同学们一定要抓住重点。1.求拱宽 2.求拱高“拱桥问题”的题目分为两大类:涉及涉及“拱桥问题

2、拱桥问题”的解题主要有以下几步：的解题主要有以下几步： 1建立适当坐标系，以确定解析式的类型建立适当坐标系，以确定解析式的类型 2求解析式求解析式 3求特定点的拱宽或拱高求特定点的拱宽或拱高 (横坐标值或纵坐标值横坐标值或纵坐标值) 解析式的类型大致有以下五种：解析式的类型大致有以下五种： 1把坐标原点定在拱桥抛物线的顶点，解析式的类型是y=ax2 (一点式) 2把坐标原点定在拱桥抛物线的顶点下方，解析式的类型是: y=ax2 +b(两点式) 3把拱桥抛物线的顶点定在第一象限（定在其它象限雷同） 解析式的类型是y=ax2 +bx+c (三点式)4.如果已知顶点坐标(h,k)用下式比较方便:2(

3、)y a x hk(顶点式)5.当抛物线与X轴交点为（x1,0),(x2,0)时解析式的类型是y=a（x-x1)(x-x2) (交点式)AB=12CD=4ABxCyD求函数表达式求函数表达式CAB=12CD=4ABDxy求函数表达式求函数表达式ABCDAB=12CD=4xy求函数表达式求函数表达式(1)(1)建立适当的平面直角坐标系；建立适当的平面直角坐标系；(2)(2)根据题意构建二次函数图象；根据题意构建二次函数图象；(3)(3)问题求解；问题求解；(4)(4)找出实际问题的答案。找出实际问题的答案。 用抛物线的知识解决生活中的一些用抛物线的知识解决生活中的一些实际问题的一般步骤：实际问题

4、的一般步骤：解一解一解二解二解三解三探究探究 图中是抛物线形拱桥，当水面在图中是抛物线形拱桥，当水面在 L L 时，拱时，拱顶离水面顶离水面2m2m，水面宽，水面宽4m4m，水面下降，水面下降1m1m时，水面宽度时，水面宽度是多少？是多少？L解一解一如图所示，如图所示， 以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 轴，轴，建立平面直角坐标系。建立平面直角坐标系。y可设这条抛物线所表示可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为的二次函数的解析式为:2axy 当拱桥离水面当拱桥离水面2m时时,水面宽水面宽4m即抛物线过点即抛物线过点(2,-2)22a2 5 .0

5、a 这条抛物线所表示的二这条抛物线所表示的二次函数为次函数为:2x5.0y 当水面下降当水面下降1m时时,水面的水面的纵坐标为纵坐标为y=-3,这时有这时有:2x5 . 03 6x m62这这时时水水面面宽宽度度为为返回返回解二解二如图所示如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线轴，以抛物线的对称轴为的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系轴，建立平面直角坐标系.当拱桥离水面当拱桥离水面2m时时,水面宽水面宽4m即即:抛物线过点抛物线过点(2,0)22a02 5 .0a 这条抛物线所表示的二这条抛物线所表示的二次函数为次函数为:2x5.0y2 当水面下

6、降当水面下降1m时时,水面的水面的纵坐标为纵坐标为y=-1,这时有这时有:2x5 . 012 6x m62这这时时水水面面宽宽度度为为当水面下降当水面下降1m时时,水面宽水面宽度增加了度增加了m)462( 可设这条抛物线所表示可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为的二次函数的解析式为:2axy2 此时此时,抛物线的顶点为抛物线的顶点为(0,2)返回返回解三解三 如图所示如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中轴，以其中的一个交点的一个交点(如左边的点如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系为原点，建立平面直角坐标系.可设这条抛物线所表示可设这条抛物

7、线所表示的二次函数的解析式为的二次函数的解析式为:2)2x(ay2 抛物线过点抛物线过点(0,0)2)2(a02 5 .0a 这条抛物线所表示的二这条抛物线所表示的二次函数为次函数为:2)2x(5 . 0y2 当水面下降当水面下降1m时时,水面的水面的纵坐标为纵坐标为y=-1,这时有这时有:2)2x(5 . 012 62x,62x21 m62xx12 当水面下降当水面下降1m时时,水面宽水面宽度增加了度增加了m)462( 此时此时,抛物线的顶点为抛物线的顶点为(2,2)这时水面的宽度为这时水面的宽度为:返回返回 河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所示的坐标系，其函数的解析式为建立如图所示的坐标系，其函数的解析式为 y= - xy= - x2 2 ， 当水位线在当水