2020高考复习专题习题与解析导数及其应用

1、专题03导数及其应用【知识再现】1 .函数y f(x)在点x0处的导数的几何意义函数y f(x)在点x0处的导数是曲线yf (x)在P(xo, f (x。)处的切线的斜率f (xo),相应的切线方程是 y y0f (x0)(x x0).' n 1 一(xn) nx (n Q).2 .几种常见函数的导数C 0 (C为常数).(2)(lnx)3 3) (sin x) cosx .1X 1 e一；(log a )-logaxx4 4) (cos x) sin x .x. x - x. x -(6) (e ) e ; (a ) a In a.3.导数的运算法则u , u v uv(1) (u

2、v) u v.(2) (uv) uv uv .(3) (-)2(v 0).v v4 .复合函数的求导法则设函数u (x)在点x处有导数ux(x),函数y f (u)在点x处的对应点u处有导数yuf (u),则复合函数yf( (x)在点x处有导数，且yxyu ux ,或写作fx( (x) f (u) (x).5 .曲线的切线问题求曲线在某点的切线：先求出曲线在该点的导数即为切线的斜率，再用点斜式求出切线方程.求曲线过某点的切线：先设出切点的坐标，求出曲线在切点的导数，利用切线过已知点，求出切点坐标，从而求出切线方程 .6 .函数的单调性问题(1)函数的单调性与导数的关系设函数y f (x)在某个

3、区间内可导，若 f (x) 0,则f(x)为增函数；若 -(x) 0,则f(x)为 减函数.(2)用导数函数求单调区间方法求单调区间问题，先求函数的定义域，在求导函数，解导数大于0的不等式，得到区间为增区间，解导数小于0 得到的区间为减区间，注意单调区间一定要写出区间形式，不用描述法集合或不等式表示，且增(减)区间有多个，一定要分开写，用逗号分开，不能写成并集形式，要说明增(减)区间是谁，若题中含参数注意分类讨论；(3) 已知在某个区间上的单调性求参数问题先求导函数，将其转化为导函数在这个区间上大于(增函数) (小于(减函数) ) 0 恒成立问题，通过函数方法或参变分离求出参数范围，注意要验证

4、参数取等号时，函数是否满足题中条件，若满足把取等号的情况加上，否则不加 .7 .函数的极值与最值问题( 1)函数极值的概念设函数yf(x)在X0附近有定义，若对X0附近的所有点，都有 f(x)f(x0),则称f(Xo)是函数f (x)的一个极大值，记作y极大值=f (Xo)；设函数y f(x)在x0附近有定义，若对 x0附近的所有点，都有 f(x) f (xo),则称f(x0)是函数 f (x)的一个极小值，记作y极小值=f (xo).注意：极值是研究函数在某一点附近的性质，使局部性质; 极值可有多个值，且极大值不定大于极限值 ; 极值点不能在函数端点处取.( 2)函数极值与导数的关系当函数y

5、 f (x)在xo处连续时，若在xo附近的左侧f/(x)0,右侧f/(x) 0,那么f(xo)是极大值；若在xo附近的左侧f/(x) o,右侧f/(x) o,那么f(xo)是极小值.注意：在导数为 o的点不一定是极值点，如函数 yx3,导数为y/ 3x2,在x o处导数为o,但不是极值点；( 3)函数的极值问题求函数的极值，先求导函数，令导函数为 o,求出导函数为o时，方程的根和导数不存在的点，再用导数判定这些点两侧的函数的单调性，若左增由减，则在这一点取值极大值，若左减右增，则在这一点去极小值，要说明在哪一点去极大(小)值；已知极值，求参数，先求导，则利用可导函数在极值点的导数为。，列出关于

6、参数方程，求出参数，注意可导函数在某一点去极值是导函数在这一点为 o 的必要不充分条件，故需将参数代入检验在给点的是否去极值；已知三次多项式函数有极值求参数范围问题，求导数，导函数对应的一元二次方程有解，判别式大于0，求出参数的范围.8 .最值问题( 1)最值的概念对函数yf(x)有函数值f(x0)使对定义域内任意 x,都有f(x)f(x0) ( f(x)f(x0)则称f (x0 ) 是函数y f (x) 的最大(小)值.注意：若函数存在最大(小)值，则值唯一；最大值可以在端点处取；若函数的最大值、最小值都存在，则最大值一定大于最小值.最大值不一定是极大值，若函数是单峰函数，则极大(小)值就是

7、最大(小)值( 2)函数最问题( 1)对求函数在某一闭区间上，先用导数求出极值点的值和区间端点的值，最大者为最大值，最小者为最小值，对求函数定义域上最值问题或值域，先利用导数研究函数的单调性和极值，从而弄清函数的图像，结合函数图像求出极值； ( 2 )对已知最值或不等式恒成立求参数范围问题，通过参变分离转化为不等式f(x)< (>) g(a)(x是自变量，a是参数)恒成立问题，g(a) > f(x)max(<f(x)min ) ，转化为求函数的最值问题，注意函数最值的区别于联系 .9 .导数的综合问题( 1)对不等式的证明问题，先根据题意构造函数，再利用导数研究函数的单

8、调性与最值，利用函数的单调性与最值证明不等式；注意应用前面小题结论；( 2)对含参数的恒成立问题、存在成立问题，常通过参变分离，转化为含参数部分大于另(小于)一端不含参数部分的最大值(最小值)问题，再利用导数研究函数的最值，若参变分离后不易求解，就要从分类讨论和放缩方面入手解决，注意恒成立与存在成立问题的区别 .10 . 定积分( 1)定积分的几何意义b若y=f(x)( f(x)no)则积分 f (x)dx的几何意义是直线 x = a , x = b, x轴及曲线y = f (x) a围成的曲边梯形的面积.(2) 定积分的性质bb kf(x)dx= k f (x)dx ，aaba g(x)dx

9、 a f (x) g(x)dx= a f(x)dx f(x)dx= f (x)dxdf (x)dx ( a v c v b)c(3)微积分基本定理b若f(x)是区间a, b上的连续函数，且 F (x)= f(x),则 f(x)dx=F(b) F(a).aF(x),再微积分基本(4)积分问题求定积分，利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则从反向求出 定理和积分运算性质求出定积分;利用积分求平面图形面积，应首先画出平面图形的大概图形，然后根据图形的特点,选择相应的积分变量以确定积分区间，写出图形面积的积分表达式，再进行求解，要把定积分是一种积分和的极定积分与利用定积分计算平面图形的面积这两

10、个概念区分开, 限，可正，也可以为负数或零；而平面图形的面积在一般意义下总是为正，因此当f(x) 0时，要通过绝对值处理成正，一般情况下是借助定积分求出两个曲边梯形的面积，然后再相加;b如图所示，图像的面积a f (x) g(x)dx导数在物理中的应用，首先要分清是变力作功问题或是路程问题或是速度问题，在转化为定积分 问题求解.【易混易错】易错点1.误解导函数与单调区间的关系【例1】f(x)是f(x)在区间a,b的导函数，则“在区间(a,b)内f(x) 0”是“f(x)在该区间内单调递增”的条件.充要般地，由 f (x)0能推出f(x)为增函数，反之，则不一定.如函数f(x) x3在区间)上单

11、调递增，但是f (x) 0,因此f (x) 0是函数f(x)为增函数的充分不必要条件.充分不必要【纠错训练】若函数f (x)ax3 x在R上为减函数，求实数的取值范围.2【斛析】由f (x)=3ax10在R上恒成立,当a 0时,f (x)1 0 ,满足题意;当a 0,12a,解得a 0.综上所述，a0.易错点2 .误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系函数f(x) x3 ax2 bx a2在x 1处有极值10,求a, b的值.3.f (1) 10, f (1) 0解得 a 4,b11 或a3,b件.所以a“导数为0”f (x)3x2与“有极值”逻辑关系分辨不清，错把2axf (1) 10 b

12、,依题意得，解得f (1) 0f(X0)为极值的必要条件当作充要条或11411味33-3,bf (x)f (x)3x23x28x 11 (3x 11)(x 1),所以f (x)在 x1处取得极值;6x 3 3(x 1)2,此时f(x)在x 1无极值.易错点【例3】 已知函数f (x)的导函数f x的图像如左图所示，那么函数 f x的图像最有可能的是3.对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚由导函数的图像，可得：当f (x) 0,且开口向下；则f (x)在选 B,C, D概念不清，凭空乱猜'，、 一 -一时，f (x) 0 ,当 x 2.0 时,2上递减，在 2,0上递增，在0

13、, 递减；故选A.【纠错训练】函数 y f x的导函数f (x)的图象如右图所示，则函数 y f x的图象可能是()A.B.C.D.【解析】试题分析：由图像可知导数值先正后负，所以原函数先增后减，只有D符合.易错点4 .遗忘复合函数求导公式1 cosx【例4】函数y x e 的导数为. 1 cosx【错解】y e【错因】遗忘复合函数求导公式，复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即yxyu ux .1 cosx1 cosx1 cosx 1 cosx1 cosxy e x e e xe 1 cosx e1 cosx1 cosxxe sin x 1 xsi

14、n x e易错点5.切线问题中忽视切点的位置致错【例5】已知曲线f (x) 2x3 3x,过点M (0,32)作曲线f(x)的切线，求切线方程.【错解】由导数的几何意义知 k f (0)3 ,所以曲线的切线方程为y 3x 32 .【错因】点M (0,32)根本不在曲线上，忽视切点位置致错.32【正解】 设切点坐标为N(x0,2x0 3%),则切线的斜率 k f (x0) 6x0 3,故切线方程为_23_2_ _y (6x03)x 32,又因为点N在切线上，所以2x03x°(6x°3)x032,解得x02 ,所以切线方程为 y=21x+32.注意：导数的几何意义是过曲线上该点

15、的切线的斜率，应注意此点是否在曲线上.【纠错训练】已知函数f (x) x3 bx2 ax d的图象过点p (0, 2),且在点M (1, f (1)处的切线方程为6x y 7 0 ,求函数y f(x)的解析式;解析：由f(x)的图象经过P (0, 2),知d=2,所以f(x) x3 bx2 cx 2,f (x) 3x2 2bx c.由在M( 1, f( 1)处的切线方程是 6x y 7 0,知6 f( 1) 70,gPf ( 1) 1, f ( 1) 6.3 2b c 6,即2b c 3,解得 b c1 b c 2 1. b c 0,3.故所求的解析式是f (x) x3 3x2 3x 2.易错

16、点6.忽视极值的存在条件致错【例6】已知函数f (x)322x ax bx a在x 1处有极值10,求a,b.分析：抓住条件“在x 1处有极值值，是否都合题意需检验.【错解】f (x) 3x2 2ax b ,a1 4, j a23,解得1,或2, .b111,b2 3.【错因】极值存在的条件是在极值点处附近两侧的导数值应异号.2f 0 H 2ab 3 0【正解】f (x) 3x 2ax b ,根据题意可得，即 2，f(1) 10 a a b 1 10a 4,a23,解得或.b111,b2 3.a2392而当时，f (x) 3x2 6x 3 3 x 1 ,易得此时，f (x)在x=1两侧附近符号

17、相b2 3同，不合题意.a 4当时，f (x) (3x 11)(x 1),此时，f (x)在x 1两侧附近符号相异， 符合题意.b111所以 a 4, b 11.易错点7.混淆极值与最值是两个不同的概念致错10”所包含的两个信息，列出两个方程，解得f (1) 0根据题意可得f(1) 102a2 aa,b . a,b有两组10【例7】求函数f (x) x3 2x2 x在3, 3上的最值.21【错解】f (x)=3x4x+1= (3x1) (x1),所以极值点为x 1或x -， 3，14又 f (1)=0, f(-) 327所以函数最大值为27【错因】需注意在闭区间上的最值应是区间内的极值点的值与

18、闭区间端点的值进行比较而得，而不 能简单地把极值等同于最值.21【正解】f (x)=3x4x+1= (3x1) (x1),所以极值点为x=1或x=314 一 一 一一一 一又. f (1)=0, f(-)f( 3)48,f(3) 12.327所以函数最大值为 12,最小值为一48.易错题8.忽视“导数为零的点”与“极值点”的区别致错【例8】函数f(x) (x2 1)3 2的极值点是()A.x1 B .x 1 或x1 或x 0 C . x 0D . x1或 x 1【错解】Qf(x) 3(x21)2g2x,即f (x) 6x(x2 1)2,由 f (x)0得6x(x21)2 0,.»=0

19、或*=±1 故选(B).【正解】由f (x) 0有*=0或*=±1.f (x), f (x)随x的变化情况如下表x(-8 ,0)-1(-1,0)0(0,1)1(1, °°)f (x)一0一0+0+f(x)无极 值极值无极值故选(Q易错点9.用错恒成立的条件【例9】已知函数f (x) x2 ax 3 a若x 2,2时，f(x)。何成立，求的取值范围.【错解一】Q f(x) 0恒成立，a2 4(3 a)恒成立解得的取值范围为6 a 2；2.一【错解一】 f (x) x ax 3 a若x 2,2时，f(x)>0恒成立，2f ( 2) 0(2)2 2a 3

20、 a 07.(),即，),解得的取值范围为7 a 7 .f (2) 02 2a 3 a 03【错因】对二次函数f (x) = ax2 bx c "当x R上f (x)恒成立时，< 0"片面理解为“2f( 2) 0 、ax bx O0, x 2,2恒成立时，0” ；或者理解为.这都是由于函数性f(2) 0质掌握得不透彻而导致的错误.二次函数最值问题中“轴变区间定”要对对称轴进行分类讨论;“轴定区间变”要对区间进行讨论.【正解】设f(x)的最小值为g (a),(1)当2,即>4时，g(a) = f( 2) =73>0,得a7故此时a不存在;3(2)当a22,2

21、,即4waw4 时，g(a) =3>0,4得一6w aw2,又一4w aw4,故一4Wa W2；(3)a 2 ,即v 4 时，g(a)=2综上，得7w aW2.f (2) =7+> 0,得>一7,又V 4,故一7wa V 4;【即时检测】1.已知函数f(x)在R上满足f(x)2f (2 x) x28x8,则曲线y f (x)在点(1,f(1)处的切线方程是(A. y2xB.C.y 3x 2D. y 2x 32f(x)2x yf(2f(x)2f (2x)8x8 得 f (2x)2f(x) (2 x)28(2x)2x 4x4,f(x)f/(x)2x, 切线方程y2(x 1),即2

22、 .若存在过点(1,0)的直线与曲线2 ax25A.1 或64八21B.1或4C.15x 9都相切，则等于47-254或-a【解析】设过(1,0)的直线与y3x相切于点,3、 一、一(x0,x0 ),所以切线方程为D.工或43yx03x02(x x°)即 y 3x02x32x0 ,又(1,0)在切线上，则x0 0或x0当x00时,215，一由y 0与y ax x 9相切可得a4322564，当Xo27x427 与 y ax2415x49相切可得a 1,所以选A.3 .已知对任意实数,有f(x)f(x), g(x)g(x)，且x0时,f (x) 0,A. f (x)0,g (x)(x)

23、0, g (x)C. f (x)0,g (x)D. f(x)0, g (x),g所以f x是奇函数，关于原点对称,g x是偶函数,关于y轴对称,x 0,g' x0则f x ,g x都是增函数,由对称性可知工to时f x递增，gx递减，所以f' x 0,g' x 04.曲线A.1 -xye29 2e在点(4,2.e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为【解析】y'1 1xe22，1 ，1,人1412l，切线的斜率k=-e2 =e2,所以切线方程为221 2 y=-e(x-4)+e2,切线与坐标轴的交点为(0(2,0),所以切线与坐标轴所围三角形的面积为-e X2=2

24、,故选D.5.已知二次函数 f (x)2 axbxc的导数为f'(x)f'(0)0 ,对于任意实数都有f (x) 0,则的最小值为 f'(0)A.B.所以-根据条件可得,b24ac 02ax b, f 0 b1，根据b24ac b6.已知函数y f(x)的图象在点M (1, f (1)处的,、一1切线方程是y -x2f(1) f (1)【解析】点 M (1, f (1)是切点，点 M在切线上, -f (1) =1+2= 5 ,函数 y=f (x)的图象在点M (1,f (1)处的切线的方程是y= - x+2,2，切线斜率是即 f'(1)=L2f(1)+ f (1

25、)= 5 + 2=3.7.设函数f(x)，、2 一 g(x) x ,曲线g(x)在点(1,g(1)处的切线方程为y 2x 1 ,则曲线y f(x)在点(1,f(1)处切线的斜率为A. 4C. 2D.【解析】由已知g(1) 2,而 f (x) g(x)2x,所以 f (1) g(1) 2 18.若函数yf(x)的导国数 在区间a,b上是增函数，则函数 y f (x)在区间a, b上的图象可能ob xy-_ b xB.C.D.因为函数f (x)的导函数 f (x)在区间a,b上是增函数，即在区间a,b上各点处的斜率是递增的,由图易知选A.注意C中y k为常数噢.ln x(x 0),则 y f (x

26、)()一 ，19.设函数f(x) -x 3 1A在区间(一,1),(1,e)内均有零点 e, 1B在区间(，1),(1, e)内均无夺点e11C在区间(一,1)内有零点，在区间(1,e)内无零点D在区间(一,1)内无零点，在区间(1,e)内有零点ee【答案】D11x3【解析】由题得 f'(x)，令f'(x) 0得x 3；令f'(x) 0得0 x 3;3 x 3xf'(x) 0得x 3,故知函数f (x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3,)为增函数，在点c小1 e,八 一1、1,八,x 3 处有极小值1 ln 3 0；又 f(1), fe 10, f ()1

27、0,故选择D.33e 3e210.若曲线f x axInx存在垂直于y轴的切线，则实数的取值范围是 斜率为,由题意该函数的定义域x 0 ,问题转化为 x 0范围内导函数-1 2ax 。因为存在垂直于 y轴的切线，故此时-12ax 存在季点.解法1(图像法)再将之转化为g x时，如图x12ax与h x 存在交点。当a 0不符合题意，当a 0 x1,数形结合可得显然没有交点，当 a 0如图2,此时正好有一个交点，故有解法,0或是a |a 0 .(分离变量法)上述也可等价于方程2axI ，八一 0在0, 内有解，显然可得 x12x2,0II .已知函数一32f (x) x (1 a)x a(a 2)

28、x b (a,b(I)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3,求a,b的值;(II)若函数f (x)在区间(1,1)上不单调，求的取值范围. 【解析】(I)由题意得 f (x) 3x2 2(1 a)x a(a 2)f(0) b 0f (0) a(a 2)3,解得b 0, a 3或a 1(n)函数f(x)在区间(1,1)不单调，等价于导函数 f (x)在(1,1)既能取到大于0的实数，又能 取到小于0的实数， 即函数f (x)在(1,1)上存在零点，根据零点存在定理，有 f ( 1)f (1) 0, 即：32(1 a) a(a 2)32(1 a)a(a 2)0,整理得：(a 5)(

29、a 1)(a 1)20,解得 5 a1.312 .设函数 f (x) x 3ax b(a 0).(i)若曲线y f (x)在点(2, f(x)处与直线y 8相切，求a,b的值；(n)求函数f(x)的单调区间与极值点.【解析】(I) f' x3x2 3a,曲线y f(x)在点(2, f(x)处与直线y 8相切，'f 2034a0a4,f 288 6ab 8b24.(口)f x 3 x2 a a 0 ,当a 0时，f x 0,函数f(x)在 ，上单调递增，此时函数f(x)没有极值点.当a0时，由fx 0 x 品,当x ,百时，f x 0,函数f(x)单调递增，当x 后, 时，f x 0,函数f(x)单调递减，当x 石， 时，f x 0,函数f(x)单调递增，此时xja是f(x)的极大值点，x ja是f(x)的极小值点.一，1.)13 .已知函数 f(x)= x ax+(a1)lnx, a 1 .2(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明：若 a 5,则对任意x, x(0,),x x,有f(x1)f(x2)1Xix2【解析】(1)f