研究生数值分析 第4章

1、第四章 解线性方程组的迭代方法§4.1迭代法及其收敛性已知线性方程组Ax=b，将其变形为等价的方程组:x=Bx+f，从而建立迭代格式:, 适当选取初始向量，每一步由计算出，从而得到向量序列:，记作。这种方法称为迭代方法。向量序列收敛的定义:设,如果时,向量的每一个分量均收敛，即,.则称向量序列收敛,且称向量c为向量序列的极限向量，记作: 。如果由迭代格式计算得到的向量序列收敛，设其极限为,在格式两边取极限 得,即是的解,也就是是线性方程组的解。如何建立迭代格式?收敛的条件是什么?§4.2 Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法一、雅可比(Jacobi迭代法1.格

2、式的构造。设方程组满足,.将方程组变形为，从而得到迭代格式:例1：利用雅可比迭代求解方程组，按Jacobi迭代公式得如下迭代公式取,迭代9次得，方程组的精确解为,保留6位有效数字,得到精确解。2、雅可比迭代的矩阵形式。将上面的雅可比迭代公式写成矩阵形式为: , 其中,是雅可比迭代的迭代矩阵。设A=D+L+U，则Ax=b可以转化为(D+L+Ux=b, 即Dx=b-(L+Ux，或x=-D-1(L+Ux+ D-1b。雅可比迭代的矩阵形式为:,对应于,有,。二、高斯赛德尔迭代(G-S迭代在雅可比迭代过程中,在计算解向量的第i个分量时,前面的i-1个分量的新值已经计算出来,从而在计算时,前面的分量用新值

3、,后面的分量还没有计算出来,利用旧值来计算可以节约存储,加快速度。这便构成了G-S迭代的迭代公式: 对用矩阵表示G-S迭代: 转化,于是我们得到:.则G-S迭代的矩阵形式为,其中为G-S迭代矩阵,。例2. 利用G-S迭代求解例1.解: G-S迭代公式为:取初始向量, 用5位有效数字进行计算,经过6次迭代,基本达到精确解(雅可比迭代用了11次迭代, G-S迭代比雅可比迭代快了一倍。一般地,如果两种方法均收敛,则G-S迭代的收敛速度比雅可比迭代大约要快一倍。§4.3超松驰迭代(SOR迭代在G-S迭代中,计算时的公式为:,在超松弛迭代中，我们将旧值和新值作一个加权平均作为新值:,其中，称为

4、松弛因子。称低松弛,称超松弛。SOR迭代的迭代公式为：即。当时,就是G-S迭代。SOR迭代的迭代矩阵为可以证明:超松弛迭代收敛的必要条件是。因为所以 。以上三种迭代在计算时，当时，迭代结束，即相邻两次迭代结果的所有分量差的绝对值均小于时,迭代结束。例3. 用SOR迭代法解方程组(取解:SOR迭代的迭代公式为:取,经8次迭代后得:,。§4.4迭代法的收敛性1、迭代收敛的充要条件定理1.4:迭代公式对于任意初始向量均收敛的充要条件是,其中(是迭代矩阵B的n个特征值,表示的模。（利用）例4：方程组Ax=b的系数矩阵:，试证明解上述方程组的Jacobi迭代发散，而G-S迭代收敛。证明:对于矩

5、阵A,Jacobi迭代的迭代矩阵为 ,计算得:,其特征方程为, 得:,。由于,Jacobi迭代不收敛。而G-S迭代的迭代矩阵为,计算得:,其特征方程为：, 解得:,。由于,G-S迭代收敛。2、迭代收敛的充分条件定理5:迭代公式的迭代矩阵为,若或,则该迭代公式对一切初始向量均收敛。（因为或）例5.讨论方程Ax=b的迭代收敛性,其中。解:(1对于Jacobi迭代,迭代矩阵为各行绝对值和:第1行为0.3,第 2行为0.3,第3行为0.4。故Jacobi迭代收敛。(2对于G-S迭代,故迭代矩阵为G的各行绝对值和均小于1,故G-S迭代也收敛。3.迭代收敛的其它充分条件定理6:对于方程组Ax=b,(1.若A是严格对角占优矩阵,则Jacobi迭代和G-S迭代均收敛。（往证；，倘若也严格对角占优，矛盾！）(2.若A是对称正定矩阵,则G-S迭代必收敛。（设的特征值为，往证，见P