复数专题训练精选练习及答案

1、复数专题训练（四）班级 _姓名 _ 记分 _28、（本小题满分 12 分） ( 续前 )复数 z1、 z2 满足 |z1|=|z2 |=1， z1、 z2 在复平面内的对应点分别为Z1、 Z2， O 为原点（1） 若 z2 -z1=-1，求 arg z 2 ； (2)设 argz1 =，argz2=，若OZ1Z 2 的重心对应复数 1+1i，z1315求 tg( +)的值29、（本小题满分12 分）设 z 为复数， D 为满足条件 |z|-1|+|z|-1=0 的点 Z 所构成图形的边界（ 1） 若复数 = 1 z+1-2i(z D)，求 对应点的轨迹方程；2（2）若满足条件 |z+1|=|z

2、-3i|所构成的图形D/与 D 有两个公共点A 、B， OA、OB 的倾22斜角分别为 、 （ O 为原点），求 cos(+ )的值30、（本小题满分14 分）设无穷数列z n 满足z1=-1+i ，zn 在复平面上的对应点为Z n(n=1 ，2， )，将向量OZ n沿逆时针方向旋转4，且使模扩大到原来的2 倍就得到向量OZ n 1 (1).求这个数列的通项公式；(2).已知数列的第n 项为 -32，求 n；(3) .将数列z n 中的实数项的倒数按原顺序排成一个新数列b n ，并设 Sn=b1 +b2+bn，求 lim Snn参考答案： DCCBA AADCCBDBDD16、 10, 017

3、、 -2,0,218、 82 ，419、 (1)Z为实数 (2)0或 1或-13 i2220、 2;321、2 ;22、 (1)1;(2) 300o;(3) -23 I; (4)_23、以 (1,0)为圆心,2为半径的圆 .24、解析：设 Z1=cos isin,Z 2=-4(cos isin)Z1 Z2=1 2cos4cos1(1)3i , 4 sin2 3( 2)sin(1) 2 (2) 2 得1 16 8cos()=13, cos()= 1 ,sin()=322Z1=Z1=cos() isin()=11313Z 2Z24(i )i238825、 解： 由 |z 1|=1， 则z1=1，

4、|z 2|=4 ， 则 z216， z1=z 2|z 1 -z 2| 2=|z 1| 2+|z 2| 2- z1 z2-z 1 z 2 =|1-23 i|2=13， z1z2+z 1 z 2=4，即 z 2+16z1 =4，z1z216（ z1 ） 2-4z1+1=0， z1= 13i， = 4z13z 2 = 1（ 1±3 i ） -3=-5 ± 3 i z 2z2z28z 222226、解：（ 1）设 x0 为原方程一实根， 则 x02-2(1+i)x 0+ 1 ab-(a-b)i=0，所以 x 022 x 01 ab 0,222x 0ba,消去 x0 得 (a+2)

5、2+(b-2) 2=8，所以 -22 - 2a2 2 -2 ， 2-2 2 b2+22 （ 2）设 a+2=2 2 cos ，b-2=22 sin ，则 x0= ba =2sin( -)+2 0 ， 4 ，所24以此方程实根的最大值为4，最小值为 027、解：设 z 的辐角主值为 ，则 2z、3z 的辐角的主值均为 |z|=2 ， |2z|=4 ，|3z|=6 ，S1|OA|·|OP3|·|sin|=3|sin|，AOP3=2AOP=1S|OA| ·|OP1| ·|sin |=|sin |， S PAP2+SP AP=S AOP-121233SAOP=2

6、|sin |=2 ， |sin |=1 ，即 =或 = 3，故 z=2i 或 z=-2i12228、解：（ 1）因为 |z 1|=|z2|=1 ，所以 | z2 | =1，设 z 2=cos +isin， =arg z2，代入 z2-z 1=-1 ，| z1 |z1z1得(cos +isin )z -z=-1 ，所以 z (cos +isin -1)=-1，所以 |(cos-1)+isin |=1 ，即111(cos1) 2 sin 2=1，22cos=1， cos = 1 ，所以 argz 2 = =或 5 2z133（ 2）设 z=cos +isin ，z =cos +isin ，则cos

7、cos1，且sinsin=1，=1231533即 coscos1, 解得 tg= 1 ，所以 tg( + )=5 sinsin1,2512529、解：由已知，曲线D 为 |z|=1 （1）由 = 1 z+1-2i得： | -1+2i|=1 |z|=1 ，所求轨迹方程为 (x-1) 2+(y+2)2=12224（2）由|z+1 |=|z-3 i| 及 |z|=1 ，得（ z+ 1 ）（ z +1 ） =（ z-3 i ）( z +3 i) ，且 z z =1，222222化简得 (3i-1)z2，所以 z ·z =-13i=-43，又由于 z =cos +isin ，+4z-1-3i=0+ iAB13i55Az =cos +isin ，所以 z · z =cos( + )+isin( + ) ，所以 cos( 4+ )=-BAB530、解：（ 1）由题设知 z =2(cos+isin)z =(1+i)zn，所以 |z | 是以 -1+i为首项，公n+14nn4比为 1+i 的等比数列，所以zn=(-1+i)(1+i)n-1 =i(1+i)n（ 2）因为 zn= i(1+i)n=i(2) n=(cosn +isinn) ，要zn R，则cos n=0 ，444n， n=4k