二重积分计算法ppt课件

1、利用直角坐标系计算二重积分利用直角坐标系计算二重积分利用极坐标系计算二重积分利用极坐标系计算二重积分二重积分的换元法二重积分的换元法8.2 8.2 二重积分的计算二重积分的计算(1) 积分区域为：积分区域为：, bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、)(1x )(2x b)(2xy )(1xy aDX型型,ba在区间在区间 上连续上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分xOyxOy)(1xy )(2xy Dba)(01x ,bax yyxfxAxxd),()()()(21 有有: DyxfV d),( baxxAd)(xbad )d),()()(21 x

2、xyyxf )(02x yyxfxAd),()(00 先对先对y后对后对x的二次积分的二次积分xyzO),(yxfz D)(2xy )(0 xA)(1xy a0 xbxyO例例解解 Dyxyxdd)(2xxxxxxd)(21)(42102 .14033 22xyyx yyxd)(2 10dx)0 , 0(),1 , 1(所围平面闭区域所围平面闭区域.和和是是抛抛物物线线其其中中求求22,dd)(xyDyxyxD 2yx 两曲线的交点两曲线的交点2xx2xy 2yx )1 , 1( (2) 积分区域为：积分区域为：,dyc )()(21yxy D)(2yx cd)(1yx Y型型 Dyxf d)

3、,(先对先对x后对后对y的二次积分的二次积分也即也即 dcyyxyxfy)()(21d),(d Dyxf d),(其中函数其中函数 、)(1y )(2y ,dc在区间在区间 上连续上连续.xOyxOyD)(2yx cd)(1yx dcyd)d),( xyxf)(1y )(2y 先对先对x后对后对y的积分的积分 Dyxyxdd)(214033 10dy xyxd)(22yy Dyxyxdd)(2xyO2xy 2yx )1 , 1( abdc 计算结果一样.又是又是Y型型:(3)积分区域积分区域D既是既是X型型:, bxa )()(21xyx , dyc )()(21yxy 但可作出适中选择但可作

4、出适中选择.xyO(4) 假设区域如图假设区域如图,在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式. D(用积分区域的可加性质用积分区域的可加性质)D1、D2、D3都是都是X型区型区域域那么必需分那么必需分割割. 321DDDxyO3D2D1D例例解解1d22Dxy d2211xxxxy 9.4 1:12,Dxyxx d22xyy d21x d22,2,DxDxyxy 求求其其中中 是是由由直直线线和和1.xy 双双曲曲线线围围成成的的闭闭区区域域将将D看成看成X型区域型区域1xxxyOyx 2x 1xy )d231( xxx 例例解解2d22Dxy 9.4 111:

5、1,22Dyxyd22xxy d112y d22,2,DxDxyxy 求求其其中中 是是由由直直线线和和1.xy 双双曲曲线线围围成成的的闭闭区区域域将将D看成看成Y型区域型区域1y2xyOyx 2x 1xy D1D22:12,2Dyyx dd122222DDxxyy d22xxy d21y y2第第一一种种方方法法计计算算量量小小例例yyxxdsind1012 siny2 对对y的积的积分分而它对而它对x的积分的积分交换积分次序的方法是交换积分次序的方法是:改写改写D为为:oxy 分析分析所以将二次积分先所以将二次积分先将所给的积分域将所给的积分域(1)(2) 画出积分域的草图画出积分域的草

6、图(3)计算二次积分计算二次积分不能用根本积分法算出不能用根本积分法算出,xy )1 , 1(可用根本积分法算出可用根本积分法算出.交换积分次序交换积分次序. .用联立不等式表示用联立不等式表示 D:, 10 x1 yx, 10 yyx 0yyxxdsind1012 yxyyd)(sin0102 yyydsin102 2102dsin21yy )1cos1(21 xyydsin02 10dyoxyxy )1 , 1(, 10: yDyx 0例例 交换积分次序：交换积分次序：解解 积分区域积分区域: xxxyyxfxyyxfx20212010d),(dd),(d2原式原式= 10dyy 2 xy

7、xfd),(211y 22xxy xy 2xyO12又是能否进展计算的问题又是能否进展计算的问题. .计算二重积分时计算二重积分时, , 恰当的选取积分次序恰当的选取积分次序非常重要非常重要, , 它不只涉及到计算繁简问题它不只涉及到计算繁简问题, , 而且而且凡遇如下形式积分凡遇如下形式积分: :,dsinxxx ,d2xex ,lnd xx等等等等, ,一定要放在一定要放在后面积分后面积分. .,dsin2xx ,dcos2xx ,d2xex ,dxexy 解解 121d)(xeexxee2183 xeyxeyIyyxyyxydddd121212141 计算积分计算积分xexyd 不能用初

8、等函数表示不能用初等函数表示,先交换积分次序先交换积分次序.yexyd x2x xd I211112141xy 2xy 21Oxy例例 求两个底圆半径为求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程且这两个圆柱面的方程分别为分别为 及及222Ryx .222Rzx 解解 d DyxRd22 332R 313168RVV d),(1 DyxfV22xRy 求所围成的求所围成的立体的体积立体的体积.xoyzoxyDR22xR 22xR 0 xd0R22xRz 曲曲顶顶2xy 解解 (1)先去掉绝对值符号先去掉绝对值符号,如图如图 d)(12 Dxy 12112d)(dxyxyx1115 例例 d2 Dx

9、ydd21210()xxxyy d)(22 DyxDD1D2xyO11 11 d2.Dyx 计计算算(1):11, 01Dxy 所所确确定定的的范范围围；(2):22, 01Dxy 所所确确定定的的范范围围；D22xy 解解 (2) 仿照仿照(1)的方法，同时充沛利用可加性的方法，同时充沛利用可加性 d)(12 Dxydd211212()xxyxy 225 例例 d2 Dxydd21220()xxyy d)(22 DyxDD1D2xyO22 1d2.Dyx 计计算算(2):22, 01Dxy 所所确确定定的的范范围围；D2D1d122()Dyx d212()DDxy 例例 求证求证 axaxx

10、fxayyfx000d)()(d)(d 左边的累次积分中左边的累次积分中,积分域积分域可表为可表为提示提示 xayyfx00d)(d ayaxyfyd)(d0 ayyfya0d)()( axxfxa0d)()(不能详细计算不能详细计算.所以所以,)(yf是是y的笼统函数的笼统函数,)0( a,0ax xy 0,0ay axy aayyxyf0d)(证毕证毕.先交换积分次序先交换积分次序. .axyOa),(aa 计算二重积分计算二重积分,dd,max22 Dyxyxe其中其中.10 , 10),( yxyxDxyO 解解 112D1D设设, 10),( 1 xyxDxy 0, 10),( 2

11、xyxD1 yx Dyxyxedd,max22 122dd,maxDyxyxe 222dd,maxDyxyxe 12ddDxyxe 22ddDyyxe xxyex010dd2 yyxey010dd2. 1 eirr iirrr i 21()2iiiiir rr iiir r OADi ii i ( ,)iir 21()2iiirr212iir cos,iiir siniiir 二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分iiinif ),(lim10iiinif ),(lim10即即 Dyxf d),( Dyxyxfdd),(也即也即d dr r 极坐标系中的面积元素极坐标系中的面

12、积元素 d d( cos , sin )rDf rrr r d d( cos , sin )rDf rrr r nif1(cos,iir iiirr sin)iir 0lim )(1 r)(2 r Drrrrfdd)sin,cos(1) 积分区域积分区域D:, )()(21 rAOD d)(1 rrrrfd)sin,cos()(2 OAD)(1 r)(2 rD )(0d)sin,cos(drrrrf(2)积分区域积分区域D(曲边扇形曲边扇形):, )(0 r Drrrrfdd)sin,cos(AOAO D )( r)( r Drrrrfdd)sin,cos( )(020d)sin,cos(dr

13、rrrf(3) 积分区域积分区域D:,20 )(0 rDoA)( r解解yxeDyxdd22 arrre020dd2)1(2ae a例例 计算计算,dd22yxeDyx 其中其中D是由中心在原点是由中心在原点,半径为半径为a的圆周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区域.在极坐标系下在极坐标系下:D,20 ar 0 xOyR2解解0, 0,| ),(2221 yxRyxyxD0, 0,2| ),(2222 yxRyxyxD0 ,0| ),(RyRxyxS 022 yxe Syxyxedd22 222ddDyxyxe求反常积分求反常积分20d .xex例例显然有显然有21DSD 122ddDyxyxe

14、R1DS2DyxO Rxxe0d220)d(2 Rxxe)1(2Re 又又yxeISyxdd22 yxeIDyxdd1221 yxeIDyxdd2222 )1(422Re 4 Ryye0d2 0, 0,| ),(2221 yxRyxyxD0, 0,2| ),(2222 yxRyxyxD0 ,0| ),(RyRxyxS ,41 I42 I,4 I21III )1(4)d()1(4222220RRxRexee 夹逼定理夹逼定理,R 当时,R 故当时即即4)d(202 Rxxe所求反常积分所求反常积分20d2xex),1(421ReI )1(4222ReI ,)d(202 RxxeI解解 sinco

15、sryrx Dyxyxfdd),( rrrrfd)sin,cos(d例例 写出积分写出积分的极坐标二次积分的极坐标二次积分 Dyxyxfdd),(其中积分区域其中积分区域形式形式,10 ,11),(2 xxyxyxD在极坐标系下在极坐标系下圆方程为圆方程为1 r直线方程为直线方程为 sincos1r1 cossin1 02 yxO11122 yx1 yxD将直角坐标系下积分将直角坐标系下积分: 22240214110d),(dd),(dxxxyyxfxyyxfx化为极坐标系下的累次积分化为极坐标系下的累次积分.oxy解解rrrrf 2120d)sin,cos(d原式原式=2 r21 r103

16、yx解解32 61 sin4r sin2ryxyxDdd)(22 rrrdd2)32(15 03 xy计算计算,dd)(22yxyxD 为为由由圆圆其其中中D所围成的平面闭区域所围成的平面闭区域.例例yyxyyx4,22222 及直线及直线, 03 yx03 xy sin4 sin26 3 xOyyyx222 yyx422 4 计算计算16:22 yxD因被积函数因被积函数422 yx4:221 yxD164:222 yxDD2 d)4(221yxID d)4(222 yxD d|4|22 DyxI例例分析分析故故 80 422 yx的的在积分域内变号在积分域内变号.2xoyD1 计算计算,d

17、d|)|(| Dyxyx0, 1|:| xyxD解解 积分区域积分区域D关于关于x轴对称轴对称,被积函数关于被积函数关于y为偶函数为偶函数.原式原式=记记D1为为D的的y0的部分的部分. yxyxdd|)|(| 1dd)(2Dyxxy xyxyx1001d)(d2那那么么21D32 xyoD111 1 yx1 1 yx三、二重积分的换元法三、二重积分的换元法设被积函数设被积函数),(yxf在区域在区域D上连续上连续,假设变假设变换换),(),(vuyyvuxx 满足如下条件满足如下条件:(1)的的点点平平面面上上的的区区域域将将 DuOv一对一地变为一对一地变为D上的点上的点;(2),(),(

18、vuyvux上上在在 D有连续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数,且雅可比行列式且雅可比行列式 ),(),(vuyxJvyuyvxux Dyxf d),(0 f D),(vux),(vuy| Jvudd例例解解轴和轴和轴、轴、由由其中其中计算计算yxDyxeDxyxy,dd ,2uvx Dxyo2 yx Duvo0 y2 yx.2所所围围成成的的闭闭区区域域直直线线 yx,xyu 令令xyv 那那么么2uvy 即即0 xvu vu vu 2 vvu 2 vDD),(),(vuyxJ ,21 Dxyxyyxedd vvvuuevdd2120 201d)(21vvee1 ee2,2uvyuvx 21212121 vyuyvxux uvovu vu 2 v D Dvue故故vudd21 例例解解,dd12222yxbyaxD 计计算算0,0,0, 02abr 其