不等式总结老师版

1、方法篇第1讲 不等关系与不等式1.比较原理：两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a>b;a<b;a=b；2不等式的性质：（1）对称性:， （2）传递性:， （3）可加性:. 移项法则: 推论：同向不等式可加. （4）可乘性:，推论1：同向(正)可乘: 推论2：可乘方(正): (5) 可开方(正): 考点1 不等关系及不等式题型1.建立不等关系例1 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？解析 假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根

2、.根据题意，应有如下的不等关系：（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm；（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；（3）解得两钟钢管的数量都不能为负。由以上不等关系，可得不等式组：题型2用:比较法两个数的大小例2. 比较与（其中，）的大小解析：，所以考点2 不等式的性质题型：验证或推导简单不等式的有关结论例1. 已知：mn，ab，求证：manb.证法一：由mn知mn0，由ab知ba0.（ma）（nb）（mn）（ba）0manb；证法二：ab ab又mn m（a）n（b）manb.例2.已知下列三个不等式;,以其中两个作为条件,余下一个作结论,则可组成几个正确命题.

3、 解析(1)对变形,由得成立,.(2)若,则,.(3)若,则,.综上所述可组成3个正确命题.考点3 不等式性质综合应用题型1.用比较法证函数的单调性例1. （广东省揭阳二中2009届高三上学期期中考试）已知函数的定义域为对定义域内的任意、，都有 （1）求证：是偶函数； （2）求证：在上是增函数； （3）解不等式解析；（1）证明因对定义域内的任意、都有，则有又令 再令于是有（2）设 由于从而，故上是增函数 （3）由于于是待解不等式可化为，结合（1）（2）已证结论，可得上式等价于解得题型2.用比较法处理数列中的不等关系.例2. （广东省揭阳市2008年高中毕业班高考调研测试改编）已知数列满足，且。

4、（1）求数列的通项公式；（2）数列是否存在最大项？若存在最大项，求出该项和相应的项数；若不存在，说明理由。【解题思路】先由递推关系求通项公式，再用比较法判断数列的单调性解：（1）由得-由一元二次方程求根公式得 (2) 解： ,，即数列有最大项，最大项为第一项。第2讲 一元二次不等式及其解法 知 识 梳理 一.解不等式的有关理论（1） 若两个不等式的解集相同，则称它们是同解不等式；（2） 一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的同解变形；（3） 解不等式时应进行同解变形；（4） 解不等式的结果，原则上要用集合表示。二.一元二次不等式的解集 二次函数（）的图象

5、一元二次方程有两相异实根有两相等实根 无实根 R 三.解一元二次不等式的基本步骤：（1） 整理系数，使最高次项的系数为正数；（2） 尝试用“十字相乘法”分解因式；（3） 计算（4） 结合二次函数的图象特征写出解集。四.高次不等式解法：尽可能进行因式分解，分解成一次因式后，再利用数轴标根法求解（注意每个因式的最高次项的系数要求为正数）五.分式不等式的解法：分子分母因式分解，转化为相异一次因式的积和商的形式，再利用数轴标根法求解；考点1 一元二次不等式的解法题型1.解一元二次不等式例1 不等式的解集是( ) A B. C. D. 解析由得,所以解集为,故选D;别解:抓住选择题的特点,显然当时满足不

6、等式,故选D.题型2.已知一元二次不等式的解集求系数.例2已知关于的不等式的解集为,求的解集.【解题思路】由韦达定理求系数解析 由的解集为知,为方程的两个根,由韦达定理得,解得,即,其解集为.考点2 含参数不等式的解法题型1：解含参数有理不等式例1：解关于的一元二次不等式【解题思路】比较根的大小确定解集解析：，当，不等式解集为； 当时，不等式为，解集为；当，不等式解集为题型2：解简单的指数不等式和对数不等式例2. 解不等式loga(1)1 【解题思路】借助于单调性进行分类讨论解析(1)当a1时，原不等式等价于不等式组由此得1a.因为1a0，所以x0，x0.(2)当0a1时，原不等式等价于不等式

7、组： 由 得x1或x0，由得0 x，1x.综上，当a1时，不等式的解集是x|x0，当0a1时，不等式的解集为x|1x.考点3 分式不等式及高次不等式的解法例5 解不等式: 421-1x【解题思路】先分解因式,再标根求解解析原不等式,各因式根依次为-1,1,2,4,在数轴上标根如下: 所以不等式的解集为.考点4 简单的恒成立问题题型1:由二次函数的性质求参数的取值范围例1.若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.解析当时,不等式解集不为,故不满足题意;当时,要使原不等式解集为,只需,解得 综上,所求实数的取值范围为第3讲 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题(一)二元一次不等式表示的区域

8、对于直线(A>0) 当B>0时, 表示直线上方区域; 表示直线的下方区域.当B<0时, 表示直线下方区域; 表示直线的上方区域.（二）线性规划(1)不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于z=Ax+By又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数. 另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题. (3)那

9、么，满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（）和（）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解. 线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z=0，画出直线l0.3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.(5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，

10、即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.考点1 二元一次不等式(组)与平面区域题型1. 求约束条件及平面区域的面积例1 .双曲线的两条渐近线与直线x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（ ）A. B. C. D. 【解题思路】依据平面区域的画法求解.ABC解析双曲线的两条渐近线方程为，两者与直线围成一个三角形区域时有，故选A。例2.不等式组表示的平面区域的面积为_【解题思路】作出平面区域,再由平面几何知识求面积.解析不

11、等式表示直线上及右上方的平面区域,表示直线 上及右上方的平面区域,表示直线上及左边的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如图8-3-1中的阴影部分,其中,故所求面积题型2.求非线性目标函数的最大（小）值例3. 已知，求：（1）的最小值;（2）的范围【解题思路】分别联想距离公式和斜率公式求解【解析】作出可行域，并求出顶点的坐标、（1）表示可行域内任一点到定点的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故的最小值是（2）表示可行域内任一点到定点连线斜率的两倍；因为，故的取值范围为考点2 线性规划中求目标函数的最值问题题型: 求目标函数的最值l0例1. 设，式中变量满足条件，求的最大

12、值和最小值.【解题思路】按解题步骤求解.解析作出可行域如图8-3-6所示,作直线:上, 作一组平行于的直线：，可知:直线往右平移时，随之增大。由图象可知,当直线经过点时，对应的最大，当直线经过点时，对应的最小，所以，考点3 线性规划在实际问题中的应用题型:在线性规划模型下的最优化问题.例1.(2008·揭阳一模) 为迎接2008年奥运会召开，某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志“中国印·舞动的北京”和奥运会吉祥物“福娃”.该厂所用的主要原料为A、B两种贵重金属，已知生产一套奥运会标志需用原料A和原料B的量分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需用原料A和原料B的量

13、分别为5盒和10盒.若奥运会标志每套可获利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该厂月初一次性购进原料A、B的量分别为200盒和300盒.问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大，最大利润为多少？解析:设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为套，月利润为元，由题意得 （）目标函数为作出可行域如图所示目标函数可变形为，当通过图中的点A时，最大，这时Z最大。解得点A的坐标为（20,24），10分将点代入得元答:该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为20，24套时月利润最大，最大利润为42800元.第4讲 基本不等式1.基本形式:,则;,则,当且仅当时等号成立.2求最

14、值:当为定值时,有最小值;当或为定值时,有最大值().3.拓展：若时,当且仅当时等号成立.考点1 利用基本不等式求最值(或取值范围)题型1. 当积为定值时,求和最小值例1 . 已知且满足,求的最小值.【解题思路】利用，构造均值不等式解析：, ,当且仅当时等号成立,即,又, 当时,有最小值18.题型2. 当和为定值时, 求积最大值例2. 已知x>0，y>0，且3x+4y=12，求lgx+lgy的最大值及此时x、y的值 【解题思路】这是条件最值问题，但目标式与已知条件的联系较隐蔽，不易发现. 应将lgx+lgy转化成lgxy考虑解析x>0，y>0，3x+4y=12， ， l

15、gx+lgy=lgxylg3 由 解得 当x=2，y=时，lgx+lgy取得最大值lg3 题型3.灵活运用基本不等式求取值范围例3. 若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_ 【解题思路】可通过多种途经将等式化为可利用重要不等式的不等关系求解解法一 由a、bR+，由重要不等式得a+b2，则ab=a+b+32+3，即3， ab9 解法二 a、b为正数， ab=a+b+3>0，两边立方得 a3b334aba2b234，ab>0，ab9 解法三 原条件式变为ab-3=a+b， a、b均为正数，故式两边都为正数，两边平方得a2b2-6ab+9=a2+b2+2ab， a2+b2

16、2ab， a2b2-6ab+94ab，即a2b2-10ab+90，(ab-1)(ab-9)0，由式可知ab>3， ab9 解法四 把a、bR+看作一元二次方程的两个根，此方程为x2+(3-ab)x+ab=0，则=(3-ab)2-4ab0，即 (ab)2-10ab+90， (ab-9)(ab-1)0，ab-1=a+b+2>0成立， ab9 解法五 由已知得a(b-1)=b+3，显然a>1， ，即ab9 考点2 利用基本不等式证明题型：用综合法证明简单的不等式例1. 已知,求证:.【解题思路】因为是轮换对称不等式，可考虑由局部证整体.解析 ,相加整理得. 当且仅当时等号成立.考点

17、3 基本不等式在实际中的应用题型1.处理恒成立的有关问题例1. (2008·中山)若,且恒成立,则的最小值是_【解题思路】分离系数得令求最大值即可解析: 事实上求函数的最大值,即的最大值,运用基本不等式不难得到.题型2.处理函数应用题.例2.(2008·梅县）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产千件,需另投入成本为.当年产量不足80千件时,(万元);当年产量不小于80千件时,(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润

18、最大?【解题思路】凑出基本不等式的形式.解析: (1)当时,当时,(2)当时,此时,当时,取得最大值(万元);当时,此时,当时,即时,取得最大值1000万元.所以,当产量为100千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为1000万元.题型3.处理数列应用题例3. 某乡为提高当地群众的生活水平,由政府投资兴建了甲、乙两个企业,2007年该乡从甲企业获得利润320万元,从乙企业获得利润720万元.以后每年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增,而乙企业则为上一年利润的.根据测算,该乡从两个企业获得的利润达到2000万元可以解决温饱问题,达到8100万元可以达到小康水平.（1）若以2007年

19、为第一年,则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是那一年,该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？（2）试估算2015年底该乡能否达到小康水平？为什么？【解题思路】经审题抽象出数列模型解析（）若以2007年为第一年,则第n年该乡从这两家企业获得的利润为 = 当且仅当,即n=2时,等号成立，所以第二年（2008年）上交利润最少，利润为960万元.由2000960=1040（万元）知：还需另筹资金1040万元可解决温饱问题.（）2015年为第9年,该年可从两个企业获得利润所以该乡到2015年底可以达到小康水平. 训练篇1.满足线性约束条件的目标函数的最大值是 答（C ）（A）1. （B）. （C）

20、2. （D）3.解析：当直线过点B(1,1)时，z最大值为22、若实数，满足不等式组且的最大值为9，则实数（A） （B） （C）1 （D）2解析：将最大值转化为y轴上的截距，将m等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题3、不等式的解集为 【答案】C（A） （B） （C） （D）【解析】利用数轴穿根法解得-2x1或x3，故选C4、若变量x,y满足约束条件 则z=2x+y的最大值为（A）1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】C：本题考查了线性规划的知识。 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与 与的交点为最优解

21、点，即为（1，1），当时5、不等式0的解集为 【解析】A（A） （B） （C） （D）本题考查了不等式的解法 ， ，故选A6、不等式 的解集是（ ） 【答案】 A A. B. C. D. 【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数.，解得A。或者选择x=1和x=-1,两个检验进行排除。7、设x,y满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值是（A）3 （B） 4 （C） 6 （D）8【解析】不等式表示的区域是一个三角形，3个顶点是，目标函数在取最大值6。【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐

22、标代入目标函数即可求出最大值.8、设变量满足约束条件则的最大值为（A）0 （B）2（C）4 （D）6解析：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线过点B时，在y轴上截距最小，z最大由B（2,2）知49、已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是A. 3 B. 4 C. D. 解析：考察均值不等式，整理得 即，又，10、已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是A. 3 B. 4 C. D. 解析：考察均值不等式，整理得 即，又，11、（10）设则（A）（B） (C) (D) 【解析1】 a=2=, b=In2=,而,所以a<b,c=,而,所以c<a,综上c<a<b.12、设，则的最小值是（A）1 （B）2 （C）3 （D）4解析：224当且仅当ab1,a(ab)1时等号