中国人民大学中级微观经济学

1、1第第 9 讲讲成本函数2成本的定义成本的定义 区分会计成本和经济成本非常重要 会计意义上的成本概念强调掏兜花费、历史成本、贬值和其他簿记项 经济学家们则更关注经济成本3成本的定义成本的定义 劳动成本 对于会计师而言, 劳动支出为当期花费，因此也就是当期的生产成本 对经济学家来说, 劳动是一个确切的成本 劳动服务可依据和约获得某个确定的小时工资 (w)，这一小时工资也是在其他地方就业所能获得的收入4成本的定义成本的定义 资本成本 会计师使用资本的历史价格，并采用某些贬值规则来计算当期成本 经济学家将资本的原始价格称为“沉淀成本”，转而考虑资本的内在成本，即其他人为了使用这些资本而愿意支付的价格

2、 我们使用 v 来表示资本的出租率5成本的定义成本的定义 企业家成本 会计师相信企业的拥有者也应该拥有所有利润 在支付所有的投入成本后剩下收益或损失 经济学家们则考虑企业家贡献给自己企业的时间和资金的机会成本 部分会计利润会被经济学家认为是企业家成本6经济成本经济成本 任一投入的经济成本是能保持该投入在目前使用状况下的支出 这一投入能在其他最佳的使用情况下得到的补偿7两个简单化假设两个简单化假设 有两种投入 同质劳动 (l), 以劳动小时衡量 同质资本 (k), 以机器小时衡量 企业家成本包含在资本成本中 要素市场为完全竞争市场 厂商在生产要素市场上为价格接受者8经济利润经济利润 厂商的总成本

3、被给定为总成本 = C = wl + vk 厂商的总收益被给定为总收益 = pq = pf(k,l) 经济利润 () 等于 = 总收益 总成本 = pq - wl - vk = pf(k,l) - wl - vk9经济利润经济利润 经济利润是所使用的资本和劳动投入量的函数 我们来检验一个厂商怎样选择k 和 l 来最大化利润劳动和资本投入的“引致需求”理论 现在, 我们假设厂商已经选择了其产出水平(q0)，来最小化其成本10成本最小化投入选择成本最小化投入选择 为了最小化某一产出水平的成本,厂商会选择等产量线上的一点，满足 RTS 等于 w/v 在生产过程中用k 可换得的 l 与市场上一致11成

4、本最小化投入选择成本最小化投入选择 数学上, 我们希望在给定q = f(k,l) = q0 的前提下最小化成本 我们通过建立拉格朗日函数来最小化总成本:L = wl + vk + q0 - f(k,l) 一阶条件为L/l = w - (f/l) = 0L/k = v - (f/k) = 0L/ = q0 - f(k,l) = 012成本最小化投入选择成本最小化投入选择 将前两个等式相除可得/ ( )/wfRTSkvfkll 对 成本最小化厂商应使其两种投入的边际技术替代率（RTS） 等于两种投入要素的价格之比13成本最小化投入选择成本最小化投入选择 交叉相乘, 我们得到wfvfkl 在成本最小

5、化的前提下，花费在任何要素上的一元的边际生产率都应相等。14成本最小化投入选择成本最小化投入选择 注意这一公式的倒数也是有意义的kfvfwl 拉格朗日乘子表示略微放松产出约束所带来的成本增量15q0给定产出 q0, 我们希望在等产量线上找到成本最小点C1C2C3成本被表示成斜率为 -w/v的平行线成本最小化投入选择成本最小化投入选择l 每期k 每期C1 C2 MC, AC 一定下降如果 AC MC, AC 一定上升min AC36一些成本函数的例子一些成本函数的例子 假定固定比率的生产函数q = f(k,l) = min(ak,bl) 生产发生在 L-形等产量线顶点 (q = ak = bl)

6、C(w,v,q) = vk + wl = v(q/a) + w(q/b)( , , )vwC w v qqab37一些成本函数的例子一些成本函数的例子 假设柯布-道格拉斯生产函数q = f(k,l) = k l 成本最小化要求 lkvw l vwk38一些成本函数的例子一些成本函数的例子 代入生产函数，解出 l, 得到/1vwql 同样方法得到/1vwqk39一些成本函数的例子一些成本函数的例子 因此，总成本函数为/1),(wBvqwvkqwvCl 其中/)(B 这是一个常数，仅仅包括参数 和 40一些成本函数的例子一些成本函数的例子 假设 CES 生产函数q = f(k,l) = (k +

7、l )/ 为了获得总成本, 我们利用同样的方法得到/ )1(1/1/1)(),(wvqwvkqwvCl1/111/1)(),(wvqqwvC41成本函数的性质成本函数的性质 齐次性 成本函数是要素价格的一次齐次函数 成本最小化要求要素价格之比等于 RTS, 所有要素价格增长一倍不会改变要素的购买量 纯粹、均匀的通货膨胀不会影响厂商的投入决策，但会使成本曲线上移42成本函数的性质成本函数的性质 对于 q, v, 和 w 是非减的 成本函数由成本最小化推出 来自函数自变量扩大的成本降低都是自相矛盾的43成本函数的性质成本函数的性质 对于投入价格是凹的 当厂商面临的投入价格围绕一个给定水平波动的时候

8、，厂商的成本低于面临这一固定价格的时候 厂商可以改变投入组合利用这种波动44C(v,w,q1)因为厂商的投入组合会发生变化, 实际成本会小于 Cpseudo ，例如 C(v,w,q1)Cpseudo当 w 变化时，厂商继续购买相同的投入组合，其成本函数是 Cpseudo成本函数的凹性成本函数的凹性w成本在 w1, 厂商成本是 C(v,w1,q1)C(v,w1,q1)w145成本函数的性质成本函数的性质 某些性质可推广至平均成本和边际成本 齐次性 v, w, 和 q 的作用是模糊的46投入替代投入替代 某种投入价格的改变会使得厂商改变投入组合 我们希望分析在保持 q 不变的情况下，k/l 如何对

9、于 w/v 的变化作出反应vwkl47成本线的移动成本线的移动 画出成本线的假设是要素价格和技术水平不变 这些因素的改变会引起成本线移动48投入替代投入替代 把这个写成比例的形式)/ln()/ln(/)/()/(vwkkvwvwkslll 这是替代弹性的另一种定义 在两要素情况下 s 一定是负的 s 值较大表示在投入价格变化的时候，厂商可以更大幅度地改变其要素组合49偏替代弹性偏替代弹性 在价格为wi 和 wj 的情况下，两种要素(xi 和 xj) 的偏替代弹性是)/ln()/ln(/)/()/(ijjijiijijjiijwwxxxxwwwwxxs 与 相比，Sij 是一个更加灵活的概念，因

10、为它允许当投入价格变化的时候，厂商改变xi 和 xj 以外的要素使用量50成本曲线移动幅度成本曲线移动幅度 成本的上升在很大程度上由生产过程中投入的相对重要程度决定 如果厂商能够很容易地用另外一种投入替代价格上升的投入, 成本上升就会较少51技术进步技术进步 技术进步会降低成本曲线 假定总成本 (规模报酬不变) 是C0 = C0(q,v,w) = qC0(v,w,1) 52技术进步技术进步 因为在零期生产一单位产出的投入在 t 期可以生产 A(t) 单位产出Ct(v,w,A(t) = A(t)Ct(v,w,1)= C0(v,w,1) 总成本为Ct(v,w,q) = qCt(v,w,1) = q

11、C0(v,w,1)/A(t) = C0(v,w,q)/A(t) 53柯布柯布-道格拉斯成本函数的移动道格拉斯成本函数的移动 柯布-道格拉斯成本函数是/1),(wBvqwvkqwvCl 其中/)(B 如果我们假定 = = 0.5, 可以很大简化总成本曲线:5.05.02),(wqvwvkqwvCl54柯布柯布-道格拉斯成本函数的移动道格拉斯成本函数的移动 如果v = 3，w = 12, 成本qqqC12362),12, 3( C = 480 来生产 q =40 AC = C/q = 12 MC = C/q = 1255柯布柯布-道格拉斯成本函数的移动道格拉斯成本函数的移动 如果v = 3，w =

12、 27, 成本qqqC18812),27, 3( C = 720 来生产 q =40 AC = C/q = 18 MC = C/q = 1856条件要素需求条件要素需求 可以从成本函数中获得厂商各种投入的条件需求 谢泼德引理 任何投入的条件需求函数为总成本函数对这种投入价格的偏微分57条件要素需求条件要素需求 假定我们的技术是固定比例的 成本函数是bwavaqvwC),(58条件要素需求条件要素需求 对于这个成本函数, 条件需求函数相当简单:aqvqwvCqwvkc),(),(bqwqwvCqwvc),(),(l59条件要素需求条件要素需求 如果是柯布-道格拉斯技术 成本函数是/1),(wBv

13、qwvkqwvCl60条件要素需求条件要素需求 对于这个成本函数，求导有些繁琐:/1/1 ),(vwBqwBvqvCqwvkc61条件要素需求条件要素需求/1/1 ),(vwBqwBvqwCqwvcl 要素的条件需求依赖于所有要素的价格62短期和长期的区别短期和长期的区别 在短期, 经济参与者行动的灵活度有限 假设资本投入保持在 k1，厂商自有改变劳动投入 生产函数变为q = f(k1,l)63短期总成本短期总成本 厂商的短期总成本SC = vk1 + wl 存在两种短期成本: 短期固定成本是使用量固定的要素的成本 (vk1) 短期可变成本是使用量可变的要素的成本 (wl)64短期总成本短期总

14、成本 短期成本不是生产各种产量的最小成本 厂商无法改变投入组合 为了在短期内改变产出, 厂商必须使用非最优的投入组合 RTS 不一定等于要素价格之比65短期总成本短期总成本l 每期k 每期q0q1q2k1l1l2l3因为资本量固定在 k1,厂商不能使得 RTS等于投入价格之比66短期边际和平均成本短期边际和平均成本 短期平均总成本 (SAC) 函数是SAC = 总成本/总产出 = SC/q 短期边际成本 (SMC) 函数是SMC = SC改变量/产出改变量 = SC/q67短期和长期成本的关系短期和长期成本的关系产量总成本SC (k0)SC (k1)SC (k2)长期 C 可以通过改变 k 的

15、水平获得q0q1q2C68短期和长期成本的关系短期和长期成本的关系产出成本短期和长期的AC 和 MC 如图q0q1ACMCSAC (k0)SMC (k0)SAC (k1)SMC (k1)69短期和长期成本的关系短期和长期成本的关系 在 AC 曲线的最低点: MC 与 AC 曲线相交 在这点MC = AC SAC 曲线和 AC 曲线相切 (对于某个水平的 k) SAC 也在AC的这个产出水平上最小 在这点SMC 与 SAC 相交AC = MC = SAC = SMC70要点回顾要点回顾: 希望在生产某个产出的时候最小化成本的厂商应该选择使得技术替代率 (RTS) 等于投入租赁价格之比的要素投入组合71要点回顾要点回顾: 重复应用最小化程序得到厂商的扩展线 扩展线表示了随着产出增加要素投入的增加 也表示了产出水平和总成本的关系 这个关系可以用总成本函数C(v,w,q)概括72要点回顾要点回顾: 厂商的平均成本 (AC = C/q) 和边际成本 (MC = C/q) 可以从总成本函数中获得 如果总成本曲线是广义的立方形状, AC 和 MC 曲线是 u 形73要