2017-2018学年高中数学选修2-1学案：2.1.1曲线与方程

1、2. 1.1 曲线与方程【学习目标】1了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系2 初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的 关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法.ET问题导学-知识点一曲线与方程的概念思考 i 设平面内有一动点 p,属于下列集合的点组成什么图形？(1) P|FA = PB(A, B 是两个定点)；(2) P|PO = 3 cm( O 为定点).思考 2 至俩坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么?梳理 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元

2、方程 f(x, y)= 0 的实数解建立了如下的关系:(1)_ 都是这个方程的解；_上的点，锥曲线与方程2.1曲线与方程(2)以这个方程的解为坐标的点都是那么，这个方程叫做 _;这条曲线叫做 _.知识点二曲线的方程与方程的曲线解读思考 1 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x, y) = 0 的解，能否说 f(x, y) = 0 是曲线 C 的方程? 试举例说明.思考 2 方程 JX筋=0 能否表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线？方程x y= 0呢？梳理(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法曲线C 的点集和方程 f(x, y) = 0 的解集之间是-对

3、应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上.定义中的条件说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏.曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x, y)建立了_关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲 线的性质.题型探究类型一曲线与方程的概念理解与应用命题角度 i 曲线与方程的判定例 1 命题“曲线 C 上的点的坐标都是方程f(x, y) = 0 的解”是正确的，下列命题中正确的是()A .方程 f(x, y) = 0 的曲线是 CB .方程 f(x, y) = 0 的曲线不 -定是 CC.

4、 f(x, y)= 0 是曲线 C 的方程反思与感悟解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是否是曲线的方程或判D .以方程 f(x, y)= 0 的解为坐标的点都在曲线C 上定曲线是否是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可.判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程.跟踪训练 1 设方程 f(x, y)= 0 的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x, y)= 0 的点都在曲线 C 上”是不正确的，那么下列命题正确的是()A .坐标满足方程 f(x, y)= 0 的点都不在曲线 C 上B 曲线 C 上的点的坐标都不满足方程f(x, y

5、)= 0C .坐标满足方程 f(x, y)= 0 的点有些在曲线 C 上，有些不在曲线 C 上D .一定有不在曲线 C 上的点，其坐标满足f(x, y)= 0命题角度 2 曲线与方程的概念应用例 2 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程是 xy=c反思与感悟 解决此类问题要从两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲 线的方程.跟踪训练 2 写出方程(x+ y 1) x- 1 = 0 表示的曲线.类

6、型二曲线与方程关系的应用例 3 已知方程 x2+ (y 1)2= 10.(1)判断点 P(1 , 2), QC 2, 3)是否在此方程表示的曲线上；若点 M m，m m在此方程表示的曲线上，求 m 的值.反思与感悟 判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否 关系的命题的真假性一致判断.跟踪训练 3 若曲线 y2 xy+ 2x+ k= 0 过点(a, a)(a R)，求 k 的取值范围.当堂训练1 .曲线 f(x, y) = 0 关于直线 x y 3= 0 对称的曲线方程为()A . f(x 3, y)= 0B. f(y+ 3, x) = 0C. f(y 3, x+

7、3) = 0D. f(y+ 3, x 3) = 02 .方程 xy2x2y= 2x 所表示的曲线()A .关于 x 轴对称B .关于 y 轴对称C .关于原点对称D .关于直线 x y = 0 对称3.方程 4x2 y2+ 6x 3y= 0 表示的图形为 _ .4 .若曲线 ax2+ by2= 4 过点 A(0, 2), B(*,3)，贝 V a =_ , b=_5 .方程(x2 4)2+ (y2 4)2= 0 表示的图形是 _ .规律与方法 -11 .判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方 程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上

8、.2 .已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题.答案精析问题导学知识点一思考 1(1)线段 AB 的垂直平分线；(2)以 0 为圆心，3 cm 为半径的圆.思考 2 y= x.在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M 的坐标(xo, yo)满足 yo= xo或y=-xo,即(xo, yo)是方程 y= ix 的解；反之，如果(xo, yo)是方程 y= x 或 y= x 的解，那么 以(xo, yo)为坐标的点到两坐标轴距离相等.梳理(1)曲线上点的坐标曲线曲线的方程方程的曲线知识点二思考 1 不能.还要验证以方程 f(x, y)= o 的解为坐标的点是

9、否都在曲线上.例如曲线C 为“以原点为圆心，以 2 为半径的圆的上半部分”与“方程x2+ y2= 4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2+ y2= 4.思考 2 方程 X勺=o 不能表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线.因为第一、三象限角平分线上的点不全是方程x.y= o 的解.例如，点 A( 2, 2)不满足方程，但点 A是第一、三象限角平分线上的点.方程x y= o 能够表示第一、三象限的角平分线.梳理(2) 一对应题型探究例 1 B 不论方程 f(x, y) = o 是曲线 C 的方程，还是曲线 C 是方程 f(x, y)= o 的曲线，都必须同时满足两层含义：曲线上的点的

10、坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以 A、C、D 错误.举例如下：曲线 C: 一、三象限角平分线，方程为 |x|=|y|,显然满 足已知条件，但 A、C、D 错.跟踪训练 1 D例 2 证明 如图，设 M(xo, yo)是轨迹上的任意一点.因为点 M 与 x 轴的距离为|yo|,与 y 轴的距离为|xo|,所以|xo| |yo|= k,即(xo, yo)是方程 xy=北的解.设点 Mi的坐标(xi, yi)是方程 xy= k 的解，则 xiyi= k,即 |xi| |yi|= k.而|xi|, |yi正是点 Mi到纵轴、横轴的距离，因此点 Mi到这两条直线的距离的积是常数k,点Mi是曲线上的点.由可知，xy= k 是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k0)的点的轨迹方程.-X Xi i0 0, , ,-跟踪训练 2 解 由方程(x+ y i) - x i = 0 可得或x i = 0.|x+ y i = 0即 x+ y i= 0(x i)或 x= i,方程表示直线 x= i 和射线 x+ y 一 i = 0(x i).例 3 解/ i2+ ( 2 i)2= iO,(,2)2+ (3- i)2= 6丰i0, P(i， 2)在方程 x2+ (y i)2= i0 表示的曲线上，Q( .2, 3)不在此曲线上.(2)/M 冒,m m在方程 x2+ (y i)2= i0