随机水文学-第2章

1、2.1 随机过程的概念2.2 随机过程的分布函数2.3 随机过程的数字特征2.4随机过程的分类2.5平稳随机过程2.6马尔柯夫过程注：(1)随机过程 X( t ) 或时间序列 Xt 中的t通常表示时间，但也可以表示空间、长度等其他非时间变量。(2)随机过程和时间序列在许多方面存在相互平等的理论，但两者不完全相同，在实际工作中有时没有加以严格区分。(3)不管是随机过程还是时间序列，它的一个显著特征是预测值前后的相依性，因此，数据的时间顺序十分重要。(4)一个随机变量 X 与它的一个样本值 x，意义不同。维数越大，随机过程的统计特性的描述也越趋完善。 一般认为，分布函数族(F1，F2，)完全地确定

2、了随机过程的全部统计特性。5. 变差系数描述随机过程对于均值的相对偏离程序。)()()(tttCv6. 偏态系数描述随机过程对于正态分布的相对偏离程序。)()()()(33tttXEtCs均值、方差、变差系数、偏态系数描述了随机过程 X(t) 在各个孤立时刻 t 的统计特性，称为随机过程的统计参数。统计参数的值反映了随机过程的数字特征。统计参数是随时间变化的。如表2-1按是否相依：相关随机过程、独立随机过程按变量多少：多变量随机过程、单变量随机过程按参数是否随机时间变化： 平稳随机过程、非平稳随机过程按随机过程的分布函数的不同性质： 独立随机过程、平稳随机过程、 独立增量随机过程、马尔柯夫随机

3、过程1. 独立随机过程随机过程任意时刻的截口与其他时刻的截口之间互不影响。 相关系数为零2. 独立增量随机过程在任意时间间隔上过程状态的改变并不影响未来任一时间间隔上过程状态的改变。平稳随机过程在水文水资源计算中最为常用。平稳随机过程在水文水资源计算中最为常用。一、平稳随机过程的概念 一个随机过程 X(t) ，若对任何 n 与 k ， X(t)的 n 维分布函数满足： 则X(t) 被称为被称为平稳随机过程平稳随机过程，否则被称为，否则被称为非平稳非平稳随机过程随机过程。),;,(),;,(21212121knkknnnnntttxxxFtttxxxF 平稳随机过程的 n 维分布函数不因所选开始

4、时刻的改变而不同，即平稳随机过程的统计特性与所选取的时间起点无关。 也就是说，平稳随机过程的统计特性不随时间 t 的变化而改变。 例如：利用相当长的年径流序列，计算的任一年径流量n维分布函数是相等的。 若产生随机过程的主要物理条件在时间进程中没有变化，则该随机过程的统计特性也不会随机随时间而变化。如果产生年径流的气候条件与下垫面条件都没有重大变化，则年径流的统计特性也不会随时间而变化，因而不同开始时刻的年径流n维分布函数也不会有变化。平稳随机过程具有一系列简单的特性，使问题的分析计算大为简化，实际应用广泛。二、平稳随机过程的数字特征1、均值平稳根据平稳过程的定义，当n=1时，对任意有当= -

5、t时时，即平稳过程 X(t) 的一维分布函数和一维概率密度与时间t无关。均值与时间t无关，为常数。平稳随机过程的均值平稳，又称一阶平稳。),(),(11txFtxFdxxxfdxtxxft)(),()(11)(),(),()(),(),(111111xfttxftxfxFttxFtxF2、方差平稳、方差平稳方差函数平稳随机过程 X(t) 的方差函数2与时间t无关，为常数，称为方差平稳，又称二阶平稳。同理标准差函数(x)也是平稳的。21212)()(),()()(dxxfxdxtxftxtD3、偏态系数平稳、偏态系数平稳平稳随机过程 X(t) 的偏态系数与时间t无关，为常数，称为偏态系数偏态系数

6、平稳。ssCtdxxfxtdxtxftxtC)()()(),()()(3133134、协方差平稳、协方差平稳根据平稳过程的定义，当n=2时，对任意 k 有令k= - t1， t2-t1= 时时，即平稳过程 X(t) 的二维分布函数与时间t无关，只与时间间隔有有关关 。自协方差函数与时间t无关，只与时间间隔有关有关。称自协方差平稳。 21212212121212221121);,(),;,()()(),(dxdxxxfxxdxdxttxxftxtxttCov);,(), 0 ;,(),;,(21221221212xxfxxfttxxf),;,(),;,(2121221212ktktxxfttxx

7、f5、自相关函数平稳、自相关函数平稳平稳随机过程 X(t) 的自相关函数与时间位置无关，只与时间间隔有关，有关，称自相关函数平稳。)()()()(),(),(2212121CovttttCovtt三、平稳随机过程的分类平稳随机过程可分为两类：u严平稳随机过程：即满足定义的平稳随机过程，又称狭义平稳过程或高阶平稳过程。现实中不存在u宽平稳随机过程：即均值和协方差平稳的过程，也称即均值和协方差平稳的过程，也称广义平稳过程或二阶平稳过程。广义平稳过程或二阶平稳过程。一般平稳过程如没加特别一般平稳过程如没加特别说明都是指宽平稳过程。说明都是指宽平稳过程。水文水资源系统中，当影响它的主要因素（气候、下垫

8、水文水资源系统中，当影响它的主要因素（气候、下垫面及人类活动等）相对稳定时，以年为时间尺度的水文序面及人类活动等）相对稳定时，以年为时间尺度的水文序列可近似作为平稳随机序列。列可近似作为平稳随机序列。年降水量序列、年径流序列、年降水量序列、年径流序列、年蒸发量序列年蒸发量序列等。等。四、平稳随机过程的各态历经性通过大量的样本函数计算的各截口数字特征，能真实反映随机过程的统计特性。在水文学中，经常难以获取大量的样本函数，实际上仅仅有其中一个样本函数。在这种情况下，能否用一个样本函数来分析随机过程的统计特性？1、平稳随机过程的各态历经性【定义】在一定条件下，平稳随机过程的一个相当长的样本资料可以用

9、来分析计算平稳随机过程的统计特性。这样的随机过程称为具备各态历经性或遍历性。该随机过程称为各态历经过程。在样本容量很大的情况下，每个样本函数能够代表过程的所有可能样本函数。因而任何一个样本函数都可以代表平稳过程的统计特性，可以由任何一个样本函数估计平稳过程的统计特征。非平稳随机过程不具备各态历经性，平稳随机过程也不全具备各态历经性。水文水资源系统，假定平稳随机过程具有各态历经性。2、基于时间域的数字特征计算 设平稳随机过程X(t)的任意一个样本函数x(t)(0tT) 当 T 或 n 足够长时，平稳过程计算的数字特征，时间平均等于统计平均。一、马尔柯夫过程的定义及特征一、马尔柯夫过程的定义及特征

10、 若随机过程 X(t) 满足： 则X(t) 被称为被称为马尔柯夫过程马尔柯夫过程。 称为称为马尔柯夫过程从时刻马尔柯夫过程从时刻 tn 状态状态 Xn，转移到时刻，转移到时刻 tn+k 状态状态 Xn+k 的概率，简称转移概率。的概率，简称转移概率。)0( );( ),;,;(1111ktxtXFtttXXXtXFnnknknnnnnknkn)()();(nnknknnnknknXtXXtXPtxtXF 在在 tn 时刻所处的状态已知的条件下，时刻所处的状态已知的条件下， 马尔柯夫过程在马尔柯夫过程在时刻时刻 tn+k 所处的状态只与其在所处的状态只与其在 tn 时刻所处的状态有关，而时刻所处

11、的状态有关，而与其在与其在tn 时刻以前所处的状态无关。这种特性称为马尔柯时刻以前所处的状态无关。这种特性称为马尔柯夫过程的无后效性。夫过程的无后效性。过程过程“现在现在”的状态已知，其的状态已知，其“将来将来”的状态与的状态与“过去过去”的状态无关。的状态无关。马尔柯夫过程的统计特性完全由它的马尔柯夫过程的统计特性完全由它的初始分布和转移概初始分布和转移概率率确定，因此，研究马尔柯夫过程，只需确定初始分布和确定，因此，研究马尔柯夫过程，只需确定初始分布和转移概率。转移概率。马尔柯夫过程可以分为三类：马尔柯夫过程可以分为三类：n时间和状态都连续的马尔柯夫过程时间和状态都连续的马尔柯夫过程维纳过

12、程维纳过程n时间连续、状态离散的马尔柯夫过程时间连续、状态离散的马尔柯夫过程散粒噪声过程散粒噪声过程n时间和状态都离散的马尔柯夫过程时间和状态都离散的马尔柯夫过程马尔柯夫链马尔柯夫链马尔柯夫链是最简单的马氏过程，在水文学中广泛应用马尔柯夫链是最简单的马氏过程，在水文学中广泛应用二、马尔柯夫链设马尔柯夫链有设马尔柯夫链有m个状态（如径流的特丰、个状态（如径流的特丰、丰、中、枯、特枯），记转移时刻为。某一时丰、中、枯、特枯），记转移时刻为。某一时刻的状态为刻的状态为m个状态之一。个状态之一。为过程从时刻为过程从时刻 tn状态状态 ai 经经过过 k 步转移到状态步转移到状态 aj 的概率。的概率。

13、 一般情况下，一般情况下，pij(n,k)与与 i, j, k和和 n 有关，当有关，当pij(n,k) 与与n (初始时刻初始时刻)无关时，称为齐次马尔柯夫链。无关时，称为齐次马尔柯夫链。maaa,21nttt,21)(),(1111nnknknnnnnknknaXaXPaXaXaXaXP)(),(injknijaXaXPknp实际工作中，一般考虑齐次马尔柯夫链。实际工作中，一般考虑齐次马尔柯夫链。取取k=1，则，则 称为一步转移概率称为一步转移概率。由一步转移概率可构成一步转移概率矩阵由一步转移概率可构成一步转移概率矩阵 式中：式中：)(1injnijaXaXPpmmmmmmppppppp

14、ppP 212222111211)1(1 , 101mjijijpp当当k2时变成多步转移概率矩阵。时变成多步转移概率矩阵。一步转移概率矩阵与多步转移概率矩阵关系：一步转移概率矩阵与多步转移概率矩阵关系： 令时刻令时刻t的无条件概率分布或边际概率分布为的无条件概率分布或边际概率分布为 Pt=pt(1), pt(2), , pt(m) 若时刻若时刻t已发生，则已发生，则Pt 已知，已知，t+1时刻的条件分布为时刻的条件分布为 kkPP)1()()1(1PPPtt例：桂江流域中游控制站平乐站例：桂江流域中游控制站平乐站48年年(1952-1999年年)径径流量资料。流量资料。经计算，年径流样本均值

15、经计算，年径流样本均值402 m3/s，样本标准差，样本标准差96.2 m3/s 。将年径流划分为将年径流划分为5个状态：枯、偏枯、平、偏丰、丰。个状态：枯、偏枯、平、偏丰、丰。分别用分别用1，2，3，4，5表示。表示。解题过程：解题过程：1、列出平均流量状态表。列出平均流量状态表。2、统计一步转移频率矩阵。、统计一步转移频率矩阵。11 4 111321 1136 142102220421)(55ijfF3、一步转移概率矩阵。一步转移概率矩阵。125. 0 512. 0 500. 0 125. 0 125. 0125. 0 375. 0 250. 0 125. 0 125. 0066. 0 2

16、00. 0 400. 0067. 0 267. 0286. 0 142. 0 000. 0286. 0 286. 00.222 0.000 445. 0222. 0 111. 0)1(P4、估算概率。估算概率。1999年为径流平水年年为径流平水年,则无条件概率分布为则无条件概率分布为 P1999 = 0, 0, 1, 0, 0则则2000年径流概率分布为年径流概率分布为066. 0 200. 0 400. 0067. 0 267. 0 125. 0 512. 0 500. 0 125. 0 125. 0125. 0 375. 0 250. 0 125. 0 125. 0066. 0 200.

17、0 400. 0067. 0 267. 0286. 0 142. 0 000. 0286. 0 286. 00.222 0.000 445. 0222. 0 111. 0 0 0 1 0 0)1(19992000PPP 某河年平均流量资料见下表，当某河年平均流量资料见下表，当Q 535m3/s时，为枯水年；当时，为枯水年；当535m3/sQ 775m3/s时，为中水年；当时，为中水年；当Q 775m3/s时，为丰水年时，为丰水年 。试。试估算估算2005年径流为丰、中、枯状态的概率。年径流为丰、中、枯状态的概率。 解题过程：解题过程：1、列出平均流量状态表。、列出平均流量状态表。2、统计一步转

18、移频率矩阵。、统计一步转移频率矩阵。151 5 13 4141 )(33ijfF3、写出一步转移矩阵。、写出一步转移矩阵。143. 0714. 0143. 0227. 0591. 0182. 0166. 0667. 0167. 0) 1 (P4、估算概率。、估算概率。2004年为径流中水年年为径流中水年,则无条件概率分布为则无条件概率分布为 P2004=0,1,0则则2005年径流概率分布为年径流概率分布为227. 0591. 0182. 0143. 0714. 0143. 0227. 0591. 0182. 0166. 0667. 0167. 0010) 1 (20042005PPP 某地区年降水量资料见下表，当某地区年降水量资料见下表，当Q 350mm时，为干旱年；当时，为干旱年；当350mmQ 500mm时，为半干旱年