23二次函数的三种解析式(公开课)

1、二次函数的三种解析式二次函数的三种解析式1.一般式一般式y=ax2+bx+c(a0）2.两根式两根式y=a(x-x1)(x-x2)(a0)3.顶点式顶点式y=a(x+m)2+k (a0)一般式 y=ax2+bx+c(a0）a , b同号同号a , b异号异号C0C0经过原点经过原点xyoCxyoCxyoCxyoCxyoC与与y轴正半轴相交轴正半轴相交与与y轴负半轴相交轴负半轴相交对称轴在对称轴在y轴的左侧轴的左侧对称轴在对称轴在y轴的右侧轴的右侧C =03. C的作用的作用（决定与（决定与y轴交点）轴交点）2. a,b的作用的作用（决定对称轴）（决定对称轴）对称轴为对称轴为y轴轴b=01.系数

2、系数a的作用：的作用： （决定开口方向与开口大小（决定开口方向与开口大小 以及函数最值情况）以及函数最值情况）|a|越大，抛物线的张口越小；越大，抛物线的张口越小；|a|越小，抛物线的张口越大，越小，抛物线的张口越大，|a|相同的抛物线通过平移相同的抛物线通过平移（或旋转）一定能重合（或旋转）一定能重合。与与x轴交点的求法：轴交点的求法：令令y=0,得到得到ax2+bx+c=0与与x轴交点情况：轴交点情况：当当b2-4ac0时有两个交点时有两个交点当当b2-4ac=0时有一个交点时有一个交点当当b2-4ac0时没有交点时没有交点顶点在顶点在y轴上轴上 b=0 顶点在顶点在x轴上轴上 042 a

3、cbxyoxyoxyo顶点在原点顶点在原点b=c=0 xyoxyo与与y轴交点的求法：令轴交点的求法：令x=0,得到得到y=c 即（即（0，c）例例1 已知二次函数已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如的图像如图所示，那么下列判断中不正确的有图所示，那么下列判断中不正确的有（ ）A.abc0B.b2-4ac0C.2a+b0D.4a-2b+c0-11xyo典型例题举例：典型例题举例：D022120baabab0242cbayx时 练习:已知二次函数已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所的图象如图所示示,下列结论下列结论a+ b + c0 abc0 b=2a。其中正确的结论的。其中正确的结

4、论的个数是（个数是（ ）A 1个个 B 2个个 C 3个个 D 4个个xyO-11mnD例例2 （1）若二次函数）若二次函数y=x2+2(m-1)x+2m-m2的图像经过原点，求的图像经过原点，求m的值的值（2）若二次函数）若二次函数y=x2+2(m-1)x+2m-m2的的图像关于图像关于y轴对称，求轴对称，求m的值的值2m-m2=0,m=2或m=0102) 1(2mm2axy 当当m0时时,向左平移向左平移当当m时向上平移当k时向下平移kmxay2)(的图象：的图象：对称轴是对称轴是 _， 顶点坐标是顶点坐标是 _。直线直线x=-m(-m, k)顶点式顶点式 y=a(x+m)2+k（所有一般

5、式 y=ax2+bx+c(a0）都可以配成顶点式来考虑）平移规律平移规律 ：m正左负右正左负右 k正上负下正上负下当k时向上平移kaxy2当当m0时时,向左平移向左平移当当m0时时,向右平移向右平移例例3 （1）抛物线Y=2(x-1)2+3向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的图像的函数解析式为 。（2）二次函数二次函数y=3x2-6x+5的图象可由怎样的的图象可由怎样的二次函数的图象经过如何平移变换得到？二次函数的图象经过如何平移变换得到？（3）二次函数的图像可由函数）二次函数的图像可由函数y=ax2-1的图像的图像 向左平移向左平移2个单位得到，且过点个单位得到，且过点M(-1,-3

6、)1)2(2xay（4） 把抛物线把抛物线y=ax2+bx+c向下平移向下平移2个单位，个单位，再向左平移再向左平移6个当单位，所得的抛物线顶点为个当单位，所得的抛物线顶点为(-3,-1)，且，且a+b+c=9，求原抛物线解析式，求原抛物线解析式)9 , 1 (, 91)3(, 21)63(1)3(222得抛物线经过又即原来的抛物线解析式是平移后的抛物线为cbaxayxayxay（5）已知抛物线）已知抛物线L2与抛物线与抛物线L1：y=x2-2x-3关关于于X轴对称，求抛物线轴对称，求抛物线L2的解析式的解析式xyoP(1,- 4)AB-13-3P(1,4)由由a和顶点坐和顶点坐标确定函数解标

7、确定函数解析式析式若关于若关于y轴对称呢轴对称呢?若关于原点对称呢若关于原点对称呢?L1若绕着顶点旋转1800 ？yOCx1x2AB二次函数与方程、不等式的关系二次函数与方程、不等式的关系0002222cbxaxcbxaxcbxaxcbxaxy思考：满足什么条件时，思考：满足什么条件时，二次函数值恒大于二次函数值恒大于0？恒？恒小于小于0？xyo1-3-2 二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示的图象如图所示对称轴对称轴x=_顶点坐标顶点坐标:_当当x=_时时,y有最有最_值是值是_函数值函数值y0时时,对应对应x的取值范围是的取值范围是_函数值函数值y=0时时,对应对应x的取值范

8、围是的取值范围是_-1(-1,-2)-1 小小-2-3x1x1-3或或1例例4.求满足下列条件的二次函数解析式：求满足下列条件的二次函数解析式：（1）二次函数的图像与）二次函数的图像与x轴交于点轴交于点A(2,0), B(4,0),且图像过点且图像过点C(1,6)（2）二次函数当）二次函数当x=1时有最大值时有最大值y=4,且且x=0时时 y=0)4)(2(xxay设4) 1(2xay设（3）图象在图象在x轴上截得的线段长为轴上截得的线段长为4，图象，图象 的顶点坐标为的顶点坐标为P（3，-2）。）。xyOP(3,-2)15)5)(1(xxay设例例5.已知点已知点A（-1，-1）在抛物线）在

9、抛物线y=(k2-1)x2-2(k-2)x+1上上（1）求抛物线的对称轴；）求抛物线的对称轴；（2）若）若B点与点与A点关于抛物线的对称轴对称，点关于抛物线的对称轴对称， 问是否存在与抛物线只交于一点问是否存在与抛物线只交于一点B的直线？的直线？ 如果存在，求符合条件的直线；如果不存如果存在，求符合条件的直线；如果不存 在，说明理由。在，说明理由。解（解（2） B点与点与A点关于抛物线的对称轴对称点关于抛物线的对称轴对称B点坐标为（点坐标为（x,-1），又），又B点在抛物线点在抛物线 上，上，11082xxy110812xx解得解得B点坐标为点坐标为) 1,41(K=-3,y=8x2+10 x

10、+1课堂小结：课堂小结：1. 抛物线的三种解析式？抛物线的三种解析式？3. 各种解析式对称轴、顶点坐标求法？各种解析式对称轴、顶点坐标求法？2. 如何选择这三种解析式求抛物线的解析式？如何选择这三种解析式求抛物线的解析式？4. 抛物线的平移旋转规律？抛物线的平移旋转规律？5. 抛物线与抛物线与x轴两交点距离的求法？轴两交点距离的求法？( 1 )图象过图象过A(0，1) 、B（1，2）、）、C（2，-1）三点）三点已知抛物线已知抛物线y=ax2+bx+c满足下列条件满足下列条件,求函数的解析式求函数的解析式.（1）解：设抛物线的解析式为）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c图象过图象过A(

11、0，1) 、B（1，2）、）、C（2，-1）三点）三点122211100222cbacbacba132cbay= -2x2+3x+1巩固练习巩固练习xyo解：解：A(1，0)，对称轴为，对称轴为x=2抛物线与抛物线与x轴另一个交点轴另一个交点C应应为（为（3，0）设其解析式为设其解析式为y=a(x-1)(x-3)B（0，-3）-3=a（0-1）（）（0-3）a= -1y= -(x-1)(x-3)（2）图象经过）图象经过A（1，0）、）、B（0，-3），且对称轴是直线），且对称轴是直线x=21AB -3C32（4）图象和）图象和x轴交于（轴交于（-2，0）、（）、（4，0）两点且顶）两点且顶点为

12、（点为（1，-9/2）解：由于题中告诉了图象与解：由于题中告诉了图象与x轴的交点坐标，又告诉轴的交点坐标，又告诉了顶点坐标，所以既可以用两根式又可以用顶点式了顶点坐标，所以既可以用两根式又可以用顶点式来设其解析式来设其解析式设两根式为：设两根式为：y=a(x+2)(x-4)-9/2=a(1+2)(1-4)顶点为（顶点为（1，-9/2） a= -1/2y= -1/2(x+2)(x-4)（5）图象顶点是）图象顶点是M（1，16）且与）且与x轴交于两点，已知轴交于两点，已知两交点相距两交点相距8个单位。个单位。解：解： 顶点顶点M坐标为（坐标为（1，16），对称轴为），对称轴为x=1，又交点，又交点

13、A、B关于直线关于直线x=1对称，对称，AB=8A（-3，0）、）、B（5，0）此函数解析式可设为此函数解析式可设为 y=a（x-1）2+16 或或y=a（x+3）（）（x-5）xyo116AB- 35(6)经过点经过点A（2，4），），B（-1，0）且在）且在x轴轴上截得的线段长为上截得的线段长为2解：解： B（-1，0）且在）且在x轴上截得的线段长为轴上截得的线段长为2抛物线与抛物线与x轴的另一个交点坐标为轴的另一个交点坐标为C（-3，0）或）或C（1，0）设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为y=a（x- x1）（）（x- x2）当抛物线经过当抛物线经过B、C三点时，三点时，解析式为解析式为y=a（x+1）（）（x+3）又又抛物线经过抛物线经过A（2，4）4=a（2+1）（）（2+3）当抛物线经过当抛物线经过B、C 三点时，解析式为三点时，解析式为y=a（x+1）（）（x-1）xyoB-1- 31CCa=154y= （x