常用坐标系及其间的转换

1、第一章 常用坐标系与变质量力学原理1.1常用坐标系及其变换在飞行力学中，为方便描述影响火箭运动的物理杲及建立火箭运动方程，嗖建立多 种坐标系。这里介绍其中常用的一些坐标系及这些坐标系的相互转换关系。另一些坐标 系将在具体章节中进行介绍和引用。1.1.1常用坐标系1. 地心惯性坐标系oe-xiyi乙该坐标系的原点在地心处。QX/轴在赤道面内指向半春分点，由于春分点随 时间变化而具有进动性，根据1796年国际天文协会决议，1984年起采用新的标准历元, 以2000年1月1.5 H的平春分点为基准。乙轴垂直一赤道平而，与地球H转重介， 指向北极。OeX轴的方向是使得该坐标系成为右手愕血角坐标系的方向

2、。该坐标系可有來描述洲际弹道导弹、运载火箭的飞行弹道以及地球卫星、飞船等的 轨道。2. 地心坐标系OE - XeYeZe坐标系原点在地心在赤道平而内指向某时刻的起始子午线（通常取格林威治天文台所在子午线），OZe轴垂H F赤道平面指向北极。OE - XeYeZe组成 右手杆角朋标系。由丁呼标OEXE与所指向的子午线骼地球一起转动，因此这个朋标系为一动参考系。地心坐标系对确定火箭相地丁地球表面的位置很适用。3. 发射坐标系O-xyz坐标原点与发射点ol古1连，ox轴在发射点水平面内，指向发射瞄准方向，oy轴垂 血丁发射点水平面指向上方。oz轴与my而相垂11并构成右手坐标系。由于发射点。随 r地

3、球一起旋转，所以发射坐标系一动坐标系。以上是该坐标系的一燉泄义。当把地球分别看成是関球或椭球时，其坐标系的具体 含意是不同的。因为过发射点的圆球表而的切平面与椭球表面的切平面不重合，即圆球 时oy轴与过。点的'匕径尺重介，如图1.1所示，而椭球时专轴与椭圆过o点的主法线 重合，如图1.2所示。它们与赤道平而的夹角分别称为地心纬度（记作0。）和地理纬度 （记作心）。在不同的切平而ox轴与子午线切线正北方向的夹角分别称为地心方位角 （记作）和射击方位角（记作观），这些角度均以对着y看去顺时针为正。利用该坐标可建立火箭相对丁地而的运动方程，便于描述火箭相对大气运动所受到 的作用力。4. 发射

4、惯性坐标系。八-心儿乙火箭起E瞬间，与发射点o币:合，各坐标轴与发射坐标系各轴也相应页合。火 箭起飞后，心点及坐标系各轴方向在惯性空间保持不动。利用该坐标來建立火箭任惯性空间的运动方程。5. 平移坐标系oT-xTyTzT该坐标系原点根据需耍可选择在发射坐标系原点o,或是火箭的质心q,空始终 与。或q亜但其坐标轴与发射愤性坐标系各轴始终保持半行。该坐标系用来进行惯性器件的对准和调平。6. 箭体坐标系q xpi© （弹体坐标系）坐标原点q为火箭的质心。q召为箭体外壳对称轴，指向箭的头部。q%在火箭的 主对称面内，该平面在发射瞬时与发射坐标系xoy平面重合，轴垂苴召轴。勺轴重 氏于主对称面

5、，顺着发射方向看去，©轴指向右方。01-无必勺为右手起角坐标系。该坐标系在空间的位置反映了火箭在空中的姿态。图1.1发射坐标系之一图1.2发射坐标系之：7. 速度坐标系o-xvyvzv坐标系原点为火箭的质心。q叽轴沿E行器的E行速度方向。q儿轴在火箭的主对 称面内,重oxy轴,O乙轴垂苴于兀,。必平面，顺着飞行方向看出,乙轴指向右方, 0 X、, yv乙亦为右手rt角坐标系。用该坐标系与其它坐标系的关系反映出火箭的飞行速度矢最状态。1.1.2坐标系间转换1地心惯性坐标系与地心坐标之间的方向余弦阵由泄义可知这两坐标系的空乙，空比是重合的，而OeX,指向平春分点OeX”指 向所讨论的时刻

6、格林威治天文台所在子午线一赤道的交点，与“Xe的夹角要通 过天文年历年表查算得到，记该角为G&,显然，这两个坐标系之间仅存在一个欧拉角(1.1)Gg，因此不难写出两个坐标系的转换矩阵关系。崔=EZZe.乙其中E/cos Qg-siii Q(;0sin cosQ(；0(1.2)2. 地心处标系与发射坐标系Z间的方向余弦阵设地球为一圆球，发射点在地球表面的位置可用经度入、地心纬度來表示，ar 指向射击方向，该轴与过o点的子午北切线夹角为地心方位角內，如图1.3所示。如图1.3所示，要使这两个坐标系各轴相应平行，可先绕QZe轴反转90°-%，图1.3。已X£Y£

7、Z£与0 xyz关系图然后绕新坐标系OEXf lE向转00,即可将OyY轴转至与o.v轴平行，此时再绕与QV平行的新的第二轴反转90° +兔，即使得两坐标系相应各轴平行。而-（90'-入）、必、-（90° +勺）即为三个欧拉角。方向余弦阵关系式为：其屮sma0 cos 入-cosa0 sin 施 sin人cos a sin 入cos aQ cos 20 + sin aQ sin(ftQ sin 20一 sm a0 sm 入 一 cos aQ sm 札 cos 入cos號cos入一 cos cLq sin Ao + sm aQ sm 札 cos 20（1.3

8、） COS a。COS asin a-sin a。cos 玄若将地球考虑为总地球椭球体，则发射点在椭球体上的位置可用经度入，地理纬丿爻仇确定，OX轴的方向则以射击方位角人表示。这样阴坐标系间的方向余弦阵只需将式(1.4)中之0o、勺分别用B。、人代替。即可得到。3. 发射坐标系与箭体坐标系间的欧拉角及方向余弦阵这两个坐标系的关系用以反映箭体相对丁发射坐标系的姿态角。为使一般一状态下 这两坐标系转至相应轴平行，现采用下列转动顺序：先绕仗轴正向转动卩角，然后绕 新的轴正向转动肖角，最后绕新的召轴止向转了角。两坐标系的欧拉角关系如图1.4 所示,该图是将它们原点巫合在一起的。这样不难写出两个坐标系的

9、方向余弦关系。(1.5)13#其中COS0COS0B(; = cos (p sin (/ sin y - sin (p cos / cos (p sill 屮 cos y + sin 0 sin ysin。cosysin sin 屮 sin y + cos 0cos ysin 0sin 屮 cos / 一 cos y sin /_sinpcos 屮 sin y#(1.6)由图1.4可看出各欧拉角的物理意义。图14发射坐标系9箭体坐标系欧拉角关系图角（P称为俯为俯仰角，为火箭纵轴马在射击平面xoy上的投影最与x轴的夹角， 投影帚:在x的上方为正角：角0称为偏航角，为轴OX与射击平而的夹角，网在射

10、击平而的左方，肖角取止 值；角厂称为滚动角，为火箭绕兀轴旋转的角度，当旋转角速度矢竄与為轴方向一致, 则该角了取为止值。4. 发射坐标系与速度坐标系间的欧拉角及方向余弦阵两个坐标系的转动至T：行的顺序及欧拉角如图1.5所示，图中将两个坐标系原点雨 介，绕oz轴止向转动0角（速度倾角），接着绕y轴止向转动b角（航迹偏角），最后 绕轴正向转动v角（倾侧角），即可使地而坐标系与速度坐标系相重合，上述 0、b、v角即为三个欧拉角，图1.5中表示的各欧拉角均定义为正值。不难写出这两 个坐标系的方向余弦阵关系。图1.5发射坐标与速度坐标欧拉角关系图15(1.7)£ =VG y°其中匕为

11、方向余弦阵COS0COSCTcos 0 sin(J sin v - sin 0 cos vcos 0 sin <j cos v + sin 0 sin vsin 0 cos asin 0 sin cr sin v + cos 0 cos ysin 0 sin a cos v 一 cos B sin v一 sin crcos(7 sill vcos cr cosv(1.8)5. 速度坐标系与箭体坐标系间的欧拉角及方向余眩阵据定义，速度坐标系轴在火箭主对称平面屛。内。因此，这两个坐标系间的转换关系只存在两个欧拉角。将速度坐标系先绕q儿转0角，角称为侧滑角；然庙 绕新的侧轴。忆1转动Q角，a角

12、称为攻角。即达到两个坐标系重合。两个坐标系的欧拉角关系如图1.6所示。图中之a、0均为止值方向。因此，可得两个坐标系的方向余m i.6速度朋标系m箭体唯标系关系图=By才弦关系为(1.9)其中，By表示宙速度坐标系到箭体坐标系的方向余弦阵cospcos aBv = - cos p sin asiii/7sin acos a0-sin 0 cos asin p sin acos/7(110)13#由图16可看出这两个欧拉角的点义足:。內任主对称而右方侧滑角P是速度轴忑，与箭体主对称而的夹角，顺o內看乩 为正;攻角Q是速度轴在主对称面的投影与。內的夹角，顺。內轴看去，速皮轴的投 影量在0/1的下方

13、为止。6. 平移坐标系或发射惯性坐标系与发射坐标系的方向余弦阵设地球为一関球。据定义，发射惯性坐标系在发射瞬时与发射坐标系是巫合的，只 是由丁地球旋转，使固定在地球上的发射坐标系在惯性空间的方位发生变化。记从发射 瞬时到所讨论时刻的时间间隔为/，则发対耶标系绕地轴转动（DJ角O显然，如果发射坐标系与发射惯性坐标系各有一轴与地球转动相平行，那它们Z间 方向余弦阵将是很简单的。一燉情况下，这两个坐标系对转动轴而言是处丁任意的位置。 因此，首先考虑将这网个坐标系经过一定的转动使得相应的新坐标系各有一轴与转动轴 平行，而J1耍求所转动的欧拉角是己知参数。一般情况下两个坐标的关系如图1.7所示。 由此我

14、们可先将oA-xAyAzA与o-xyz分别绕儿 y轴转动角a。，这即使得、x转 到发射点5、o所在子午而内，此时Za与z即转到垂氏丁各门子午而在过发射点的纬 圈的切线方向。然后再绕各门新的侧轴转给角，从而得新的坐标系冬及 o-勺疋,此时鼻轴与孑轴均平行丁地球转动轴。最后，将新的坐标系与各H原有坐图1.7发射惯性坐标系与发射坐标系关系图标系固连起來，这样，Oa -临G仍然为惯性坐标系，O-JQN也仍然为随地球一起 转动的相对坐标系。不难根据上述坐标系转动关系写出下列转换关系式A£7°=A/z°cos aQ cos % A= - cos aQ sin(f)Qsin %

15、 一 siii aQ cos %cos % sin aQ sin %(1.12)其中,(1.13)sin aQ0cos aQ#注意到在发射瞬时r = 0处，。人一泅心与。一松重合,且気、§的方向与地#球鬥转轴Q的方向一致。那么，任意瞬时时，这两个坐标系存在一个绕的欧拉角cot.故它们Z间有下列转换关系:7°=B<°JB= 0 CQSCOt0 -sin a)etsin cotcos co,t根据转换矩阵的传递性,由式(1.11).(1.12)及式(1.14)可得到:=Gaz°(1.14)其中,(1.15)(1.16)15#其屮Ga为发射惯性坐标系与发

16、射坐标系Z间的方向余弦阵:(1.17)由于A为止交矩阵，故有A-1 = Ar o将式(1.13)、(1.15)代入式(1.17),运用矩阵乘法可得到矩阵G"中的每个元素。令表示G”中的第门亍第j列元素，则有gii = cos2 aQ cos2 )(1- cos coet) + cos coetgl2 = cos aQ sin 必 cos 必(1 一 cos coet) 一 sin aQ cos 必 sin coetgi3 = - sin aQ cos aQ cos2(1 - cos coet) - sin(/)Q sin cotg2i = cos aQ sin g cos 如1 一

17、cos coet) + sin aQ cos 观 sin coetg22 = sin2 (1 - cos coet) 4- cos coet(1.18)g23 = 一 sin a0 sin % cos 观(1 一 cos cot) + cos aQ cos 0° sin cotgji = - sin a0 cosa0 cos2 如1 - cos©) + sin g sin cotg32 = 一 sin aQ sin % cos 如1 一 cos coet) 一 cos cr0 cos % sin coetg3i = sin2 aQ cos2 (1 - cos coet) +

18、 cos coet将式(1.18)中含的iE弦、余弦两数展成0/的幕级数，略去三阶及三阶以上的各项,即(1.19)COS cot = 1 一丄(仪°2sin coet = coet并将®,，在地而坐标系内投影，如图1.8所示。各投影分鼠可按下列步骤求取：苗先在 过发射点o的子午面内将®°,分解为oy方向和水平(垂直oy)方向的两个分帚:，然后 再将水平分星分解为沿ox轴方向与血轴方向的分最。由此可得化.在地面坐标系的三 个分量为厂%cos cos aQ%sinj%一 cos % sin aQ(1.20)将(1.19)式及(1.20)式代入式(1.18),

19、则得Ga准确至©f的二次方项的形式。1 , %"严®v广 1_*(研 _必"1 2 一+卞叫广12-coeyt + -coexG)e7r1,%r +严/1-*(研_必"2(1.21)#如果将G“进一步近似至卩/的一次项，则由上式可得#17图1.83丁在O 上投彩(1.22)#不难理解，由J：平移朋标系与发射惯性朋标系冬轴始终保持平行，因此，这两个朋标系与地而坐标系Z间的方向余弦阵应是相同的，即如果将地球考虑成标准椭球体，则只盂将上述方向余弦阵元索屮Z地心方位角勺 和地心纬度%分别代入以犬地方位角A）及大地纬度Bq即可。以上介绍了一些坐标系之间的

20、方向余弦阵，虽未给出所有常用坐标系中任意两个坐 标系间的方向余弦关系，但运用转换矩阵的递推性是不难找到的。1.1.3 一些欧拉角的联系方程在实际运用中，一些描述坐标系关系的欧拉角可通过转换矩阵的递推性找到它们之 间的联系方程。这样，当知道某些欧拉角后，就可以通过联系方程來求取另外一些欧拉角。1.速度坐标系、箭体坐标系及发射坐标系Z间欧拉角联系方程 由发射坐标系转换到速度坐标系，既可血接进行转换也可利用转换矩阵的递推性，通过箭体坐标系再转换到速度坐标系1£z°比较上两式可知该式的展开形式为:COS 0 COS (7cos 0 sin(J sin v 一 sin 6 cos v

21、cos 0 sin a cos v + sin 0 siii vsin 0 cos(7sin 0 sin a sin v + cos 0 cos vsin 0 sin cr cos v 一 cos 0 siii v-sin(7cos cr sin vcos cr cosvcos 0 cos asin a一 cos p sin acos asin p0 J一 siii p cos asin p siii acos。cos pcos (p sin 屮 sin y 一 sin (p cos ycos (p siii 0 cos 丫 + sin cp siii ysin 0 cosy-sin 屮sin

22、 (p sin 屮 sin y + cos (p cos ysiii (p siii 屮 cos 丫 一 cos (p sin /cos 屮 sin /(1.24)等式右端的方向余弦阵中有三个欧拉角：次 b.而等式右端的方向余弦阵中包含 五个欧拉角:(p.屮、y、a、0,由丁方向余弦阵中的八个元素只有五个是独立的, 因此由式(1.24)只能找到三个独立的关系性。选泄三个联系方程的方法是必须是在不 同一行或同一列的二个方向余兹元素°在式(1.24)中，可选下列二个联系方程.sin a = cos a cos 0 sin 屮 + sin a cos 0 cos 屮 sin y 一 sin

23、 0 cos 屮 cos y(1.25)cos er sin v = - sill 屮 sin a + cos a cos 屮 sin ycos 0 cos er = cos a cos 0 cos (p cos - siii cr cos 0(cos (p sin 屮 sin y一 sin (p cos /) + sin 0 (cos cp sini/ cos y + sin cp sin或另选三个方程sin p = cos(& (p) cos a sin 屮 cos y + sin(° - 0) cos cr sin y - sin a cos 屮 cos /-sin a

24、 cos B = cos(& (p) cos a sin 屮 sin y a(1.26)+ sin(0 - cp) cos a cos / 一 sin a cos 屮 sin /sin v = i (cos <y cos ” sin y - sin 屮 sin a) cos cr式(1.25)与式(1.26)是等价的，应用时可任选一组，看那组方便为主。因0、<7、V. 0和/均较小,将它们的正弦、余弦量展成台劳级数取至一阶数量,并将上述各量Z阶微量的乘积作为高阶微星略去，则上式可简化、整理为cr= pcosa + ysina-0v = /coscr-sina(1.27)B

25、=(p-a将a也视为小量，按上述原则作进一点简化可得：b =屮一卩v=v(1.28)0 =(p-a由上而讨论可知，在这八个欧拉角中，只有五个是独立的，当知道其中的五个，即 可通过三个联系方程将其他三个欧拉角找到。2.箭体坐标系相对丁发射坐标系的姿态角与相对丁平移塑标系姿态角间的关系已知箭体坐标系与发射坐标系的方向余弦阵为Gp,其中三个欧拉角顺序排列为(P、屮、丫，箭体坐标系与平移坐标系之间的歐拉角亦可按顺序排列记为4、屮T、 丫“其方向余弦阵与形式上相同，为cos冯cos片 cos冯sii咯sin歼一sin殍cos27 cos仔sin炸cos/y +sin殍smyrT/ = sui cpj.

26、cos 屮丫 sin cpj sui 屮丁 sm Yt + cos % cos Yt SU1G SU1 屮t cos 歼 一 cos 冯 sin yTsin#?.cos旳 su%cos7. cos/y.(1.29) 由转换矩阵的递推性有T, = TgG,(120)其中I、Gr的矩阵可由式(1.21)、(1.6)得到考虑到必 丫、幻、“和均为小量，将它们的匸弦、余弦展成台劳级数取至一阶微最，则可将式(1.30)写成展开式后准确至一阶微帚:的形式cos(pT 一 sin(pT 屮丫 cos(pT+ yT sin(prsin (pCOS (pT屮T sin 5-yTCQS(pT一屮TYt1- (1.

27、31)1 -叫-咎cos (p 一 sin (p 屮 cos (p+y sin (p% 1-sin (p cos (p i/sin(p-y cos (p0/ 1 _一 0Y1.在上而矩阵等式中选取不属同一行或同一列的三个元素建立三个等式，即可找到两 种状态角的关系式(pr =(p+coezt屮t =屮 七(% cos (p - % sin(p)t(1.32)Yt =/ + (%- sin <P + % cos(p)t其中，相应姿态角的差值是由地球旋转影响地而坐标系方向轴的变化引起的。1.2坐标系间矢量导数的关系设有原点重合的两个右手血角坐标系，其中o-xyz坐标系相对丁另一坐标系P以角

28、速度转动co转动。X°、y°、为转动坐标系的单位矢彊，则任意矢竄A可表示为(1.33)21#将上式微分，得(1.34)色=如亡+理亍+匹r+G空+么型空dt dt dr ° di z dt y dt z di定义,/A3t =xo+±LYo+zo dt dt dt(135)#该SA/St是处丁转动坐标系o-xvz内得观测者所见到得矢最A随时间的变化率。对于该观测者而言，只有A的分量能变，而唱位矢帚x°、y°、才是固定不动的。但对 丁处于P坐标系内的观测者來说，d/dt是具有位置矢最x°的点由丁转动®而造成的速度。由

29、理论力学可知该点的速度为dxdt=co X x°,#同理可得= (0XZ° dt将上述关系式代入（1.34）式即得dA JA ,(136)dt 6t将8X1 St称为在转动坐标系o-xyz中的“局部导数”（或称“相对导数”）。dA/dr 称为“绝对导数”，和当丁站在惯性坐标系中旳观测者所看到的矢帚A的变化率。需耍强调的是，实际推导中并末用到惯性坐标系的假设，因此，对丁任意两个冇相对转动的坐标系,关系式(1.36)是普遍成立的。1.3变质量力学原理当研究火箭的运动时，在每一瞬时，只将在该瞬时位丁“规定”表而以内的质点作 为它的组成。这一“规定”的表而，通常是取火箭的外表而和喷

30、管的出口断而。火箭发 动机匸作时，燃料燃烧后的气体质点不断地由火箭内部喷岀，火箭的质量不断减小，因 此，整个火箭运动过程的一变质最系，实际上火箭质最变化原因除燃料(占起飞时质最 的十分Z八、九)消耗外，还有控制发动机系统及冷却系统工作的工质消耗，以及作为 再入大气层的弹头或飞行器烧蚀影响等，这些都使火箭整体不是一个定质点系。这样， 动力学的经典理论就不能乩接用來研究火箭的运动，因而有必要介绍有关变质就系运动 的基木力学原理。1.3.1变质量质点运动的力学原理设有一质就随时间变化的质点，其质最在F时刻为,并具有绝对速度V,此时该质点的动晟为Q(r) = /n(r)V (1.37) 在d/时间内，

31、有外界作用在系统质 点上的F且质点M向外以相对速度V, 喷射出元质量一dm,如图1.9所示意。显然= + (138)假设在dt时间内质点m(t + dt)具 有的速度增最为t/V,那么在/ + d/时 刻，幣个质点的动屋应为(139)(1.40)(1.41)(1.42)Q(r + dt) = m(t) - (-J/n)(V + dV) + (-dm)(V + V )略去dmdV项，则Q(f + dt) =+ d7) 一 dm7r比较(137). (1.40)两式，可得整个质点在d/时间内的动屋变化最dQ = mdr 一 dmVr根据常质量质心动最定理有dt式中F是指外界作用在榕个质点上的力。即

32、有(1.43)drdmm= F dVrdtdt r该方程为密歇尔斯某方程，即为变质最质点基本方程。对于不变质量质点,dm/dt = 09则由式(1.43)得到熟知的牛顿第二定律的一般(1.44)表达式m dt如果将式(1.43)中具有力的因次项(dm/dt)Vr视为作用在质点M上的力，记为P o则可将式(1.43)式写成如下形式m = F + P,(1.45)dtr其中匕称为喷射反作用力。对于物体而言，為/刃0,故喷射反作用力的方向与V,方向相反，是一个加速力。由上可知，物体产生运动状态的变化，除外界作用力外，还可通过物体本身向所需运动反方向喷射物质而获得加速度，这称为鬥接反作用原理。根据密歇

33、尔斯基方程，如果质点不受外力作用，则有cN dm _.m =Vrdt dt r若设V与好反向，即有dv dmm =-vrdtdt r则,.dmdv = -vr m当喷射元质鼠的速度耳为定值，对上式积分可得、"7zv-v0 = -v 1/7(1.46)r叫其中岭、叫为起始时刻质点所具有的速度和质届。叫为物体结构质晟L与全部可喷 射物质质帚加r之和。若初始速度5 = 0，在加丁全部喷射完时，物体具仃速度则为vk =-vrln(1.47)叫此式即为苦名的齐奥尔柯夫斯基公式。用该式计算出的速度为理想速度。该式说明，物体不受外力作用时,变质晟质点在给定的7°屮，喷射物体占有质最mT愈

34、多或喷射物质质量一定，但喷射元质最的速度匕愈大，则质点的理想速度就愈大。1.3.2变质量质点系运动的力学原理当组成物体为变质最质点系，其中除有一些质点陡物体作牵连运动外，在物体内部 还有相对运动，这对物体的运动也是有影响的。此时，若对该物体运用密/尔斯基方程 來建立运动方程，则存在近似性，因此必须对变质慣质点系进行专门的讨论。在理论力学中己介绍离散质点系的动力学方程，即在o- X"为惯性参考系中，有 -质点系S,该质点系由N个质点组成，离散质点-在惯性坐标系中的矢径为£,外25界作用于系统S上的总外力F则系统S的平动方程及转动方程为N/-I(1.48)V dh；(1.49)

35、#现耍研究连续质系（即物体）的运动方程，则将物体考虑成是无数个具有无穷小质 屋的质点组成的系统。在这种情况下，方程（1.48）和（1.49）屮的求和符号必须用积 分符号來代替，丁是有(1.50)(1.51)上两式中虽只有一个积分符号，实质上，对丁一个三维系统，该积分为三重积分。这是 因为d加可以写成pdV ,其中。是质最密度，dU是体积元，故将该体积以 表示。1.连续质点系的质心运动方程设系统S对惯性坐标系有转动速度叫,而系统S中的任一质点元P在惯性坐标系 中的矢径1可以表示为系统S质心的矢径与质心到质点元P的矢帚p之和，如图1.10所示。即有(1.52)所以,(1.53)_ dX.m , d

36、：P dt1 dt2 dt1假泄刚体相对坐标系o- XKZ有一个旋转角速度a”，根据矢彊运算关系:+ cor X p(1.54)图110质点系矢世关系图这里，称务为矢量p的绝对导数，警为p的相对导数。把（1.54）代入（1.53）式, 得到dt2应+ 26X 空 + 如xp +听 x(®xp) St2 T 6t dt v 7 v r V)(1.55)将上式代入（153）式，最后得到(1.56)咚=塔+23如+酸+如xp + ®x(阿xp) dt1 dt2T St Sr dt H 丁 T "由丁p表示系统S的质点到质心的矢径,根据质心的定义有£ pdm =

37、 0 ,因此，将27#式（1.56）代入式（1.50）后，即有F伊+2忙”警如L訓(1.57)#式（1.57）为适用丁任意变质帚物体的一般运动方程，从而可得任意变质最物体的质心运动方程为m= F,+F； + F爲(1.58)#其屮29#Mo = fJ mrxMr(1.60)F；、F；r/分别称为系统S的附加哥氏力和附加相对力。2.连续质点系的转动方程由式(1.51)不娥定写出变质最质点系S在力F的作用下所产生的绕惯性坐标系原点。和绕系统S的质心的力矩方程(1.59)#顾及到以后研究导弹在空中的姿态变化是以绕质心的转动來进行的，因此，Fifiixj 式(1.60)进行讨论。将式(1.56)代入式(1.60),则力矩方程即可写为c.m訂px牛為+ 2j px(a”x学)為drSt+Lpxdm+Lpx(rxp)dm+£p X G)r X (COr X p)d7注意到£ 与质量為无关，且按质心的定义有&#