人体参数化运动学模型建立方法的研究

1、人体参数化运动学模型建立方法的研究高嵩峰 1, 张春林 2(1. 北京 建筑工程学院 , 北京 100044; 2. 北京理工大学机械与车辆工程学院 , 北京 100081摘要 :目的 通过广义坐标变换 , 构建人体参数化运动学模型 , 应用于人体的相对运动和绝对运动分析 。 方法 通过对人体环节的划分和人体系统的机械化处理建立人体的多刚体模型 , 根据人体运动的特点 , 采用其次矩阵和广义坐标变换建立人体参数化运动学模型 。 结果 通过运动分析和矩阵变换建立了通 用的人体参数化运动学模型 。 结论 通过坐标变换原理 , 使用齐次矩阵描述人体各个环节的相对运动方 程和绝对运动方程 , 从而给出

2、人体模型在特定运动条件的运动特征 , 并用以进行人体的步行 /跑 步运动 分析 。关键词 :坐标变换 ; 运动方程 ; 人体模型中图分类号 :R857 1 文献标识码 :A 文章编号 :1002 0837(2009 05 0351 07Research on the M ethod of Building Para m eter SportM odel of H u man Body GAO Song feng , Z HANG Chun lin . Space M edic i n e&M ed ica lEng ineeri n g , 2009, 22(5:351357Abst

3、ract :Objective To buil d the para m eter sportm ode l of hum an body thr ough the transfor m ati o n o f general ized coordinate , for apply i n g to t h e ana lysis of re lati v e sports and abso l u te spo rts o f hum an body . M ethods A c cord i n g to the classificati o n of the po i n ts of h

4、u m an body and the m echan ica l resolution o f hum an body syste m, t h e m u lti rig i d body m odel o f hum an body w as bu il. t A ccor d i n g to the sport characteristics of hum an body , the para m eter sportm odel of hum an body w as established w ith subordinate m atri x and the transfor m

5、 ati o n of gener alized coo r d i n ate . R esults Through sport ana l y sis and m atri x transf o r m ation, a generalized para m eter sport m ode l of hum an body had been bu il. t Conclusion Based on the princ i p le o f the coordinate transfor m ation , the f u nctions o f the re lative sports

6、and the absolute sports of the each po i n t of the hum an body are descri b ed w ith criter i o n m atri x . The sport traits o f hum an body m ode l under particu lar sport cond iti o n, such as in app lication for w alking /r unning sport analysis of hum an body are de m onstrated .K ey w ords :c

7、oordinate transfor m ation ; sport equati o ns ; hu m an body mode lAddress repr i n t requests t o :GAO Song feng . B eiji n g I nstitute of C i v il Eng i n eering and Architecture , B ei ji n g 100044, Ch i n a人体运动是一个非常复杂的过程 , 有着丰富 的动作 , 单凭理论研究的方法是不能够完全解决 的 , 目前有关人体运动学的研究都采用了理论与 实验结合的方法。在理论研究方面 ,

8、 目前学术界提出的各种人 体运动学模型都是基于 H anavan 1在 1964年提 出的多刚体模型 , 即将人体各环节简化为形状简 单的刚体 , 各环节之间通过球铰链连接。在此基 础上 , 不同的学者对模型进行了不同的修改 , 有的 将人体划分成 15个刚体 , 有的将人体划 分成 16个刚体 , 还有的将人体划分成 19个刚体等。在分 析过程中 , 采用多刚体系统运动分析的方法 , 通过 矩阵分析和坐标变换建立人体运动的数学方程 , 并借助计算机进行求解。在实验研究方面 , 目前常用的人体运动分析 方法有 2种 :一是在人体的各个关节部位分别加修回日期 :2009 07 13cea . e

9、du . cn 上传感器 , 在人体运动过程中 , 传感器会不断地将 各关节的空间位置返回给计算机 , 这样计算机就 可以精确地获得人体在各个时刻的运动信息 ; 二 是对图像序列进行分析 , 图像序列可以是单个摄 像机摄制的 , 也可以是多个摄像机同时从各个视 角摄制的。在模型的应用方面 , 虽然已经提出了人体运 动的整体模型 , 但由于整体模型的自由度数比较 多 (大于 20, 使得运动方程的建立和求解非常复 杂 , 因此目前只能针对具体的运动形式建立具体 的运动方程。另外 , 真实人体具有 200个以上的 自由度 , 而且人体还有肌肉系统和神经系统 , 将人 体看作一个由铰链链接起来的刚体

10、系统显然是不 能完全反映人体的运动。参数化运动学模型就是在人体参数模型的基 础上 , 结合人体运动方程 , 通过坐标变换原理 , 在 人体参数化模型中加入运动学特征 , 从而可以得第 22卷 第 5期 航天医学与医学工程 V o. l 22 N o . 5 2009年 10月 Space M ed ici ne &M ed i ca l Eng i neer i ng O ct . 2009根据人体解剖学和运动的特点 , 将人体运动 系统视为一个多自由度的刚体系统 , 采用机器人 运动学和机构学的原理 , 建立人体运动的数学模 型和运动方程 1。通过对人体进行环节划分并将人体系统机械

11、化 , 建立人体运动的多刚体模型 , 选定系统的刚体 数和自由度数 , 根据人体运动的特点建立人体运 动的层次结构 , 是用数学方程描述人体运动的基 础。建立人体运动的坐标系系统 , 基于坐标变换 原理采用具有解剖学意义的广义坐标 , 建立人体 相邻两环节间的运动方程 , 推导运动链上末端节 点的绝对运动方程 2 5。模型建立经解剖分析表明 , 构成人体架构的大部分骨 骼可以看成是刚体。因此 , 可以把人体的各个环 节简化成刚体 , 而把人体各个关节用机械运动副 代替 6。在选择人体的环节数目时 , 应考虑人体各个 环节参数的获取是否方便以及模型的通用性。本 文将人体简化为 15个环节。在本文

12、中将颈关节、 胸关节、 髋关节、 肩关节 用机械球铰代替 , 而膝关节、 踝关节和腕关节用机 械转动副代替 , 肘关节用机械万向联轴节代替 , 这 样人体运动系统一共有 15个环节、 14个运动副、 28个自由度 , 如图 1所示。头颈对躯干的左转、 右转仅改变头颈的方向 , 并不改变头颈的位置 , 左歪和右歪运动引起人体 的不舒适 ; 上臂和前臂绕自身轴线的旋转仅改变 手臂和手掌的朝向 , 不改变它们的位置 ; 大腿绕自 身的旋转仅改变腿的指向 , 不改变腿和脚踝的位 置。因此 , 如果将这些自由度限制住 , 则人体运动 的自由度将减少为 20个。另外 , 如果不考虑手和 脚的位姿 , 而仅

13、考虑腕关节和踝关节的位置 , 则人 体模型可简化为 11环节、 10个运动副、 18个自由 度。如 果 仅 考 虑人 体 的 平 面 运动 (如 步 行 /跑 步 , 则 又可以 将模 型中的 某些 自由 度约 束死。 由此可见 , 虽然人体 15刚体运动模型的自由度数 较多 , 但针对不同的研究部位和不同的运动形式 可以将某些自由度约束住 , 从而减少系统自由度 数 , 进而减少计算量。图 1 人体环节的划分F ig . 1 The partition of various sport parts of hu m an body统描述为图 2所示的树状层次结构 , 节点代表各 环节 , 节点

14、间的连线代表运动副 8 10。以下躯干为根节点 , 头颈、 手、 足为末端节点 , 父节点的运动会带动子节点一起运动 , 通过子节 点的运动可以确定父节点的运动 , 这样就形成了 5条运动链 :1 下躯干 -上躯干 -头颈 ; 2 下躯干 -上躯干 -右上臂 -右前臂 -右手 ; 3 下躯干 -上躯干 -左上臂 -左前臂 -左手 ; 4 下躯干 -右 大腿 -右小腿 -右脚 ; 5 下躯干 -左大腿 -左小 腿 -左脚。通过这 5条运动链可以清晰地描述人体的各 种运动 , 是本文人体运动方程的建立基础。 下面图 2 人体运动系统的层次结构F ig . 2 T he t i er stru ct

15、ure of the s ports syste m of hu m an body352 航天医学与 医学工程 第 22卷给出人体运动方程的建立过程。要建立人体的运动方程 , 首先需建立人体运 动系统的坐标系和选择合理的广义坐标。人体坐 标系的建立常采用解剖学上的定 义 :矢状轴 (人 体前后方向 、 冠状轴 (人体侧向 、 垂直轴 (垂直 地面向方 , 常用的广义坐标坐标为欧拉角和 D H角 (Denav t H artenber g 11。用这两种角在建立运 动方程时可以参考有关机器人运动方程的建立过 程 , 方法比较成熟 , 但他们表示的只是关于所建坐 标系轴的转角 , 不能直接反映解

16、剖学意义上人体 关节的运动角度。本节将采用具有解剖学意义的 广义坐标。假设人体以标准姿势站立 , 双臂自然下垂 , 各 环节的编号如图 3。在标准站姿下 , 建立人体的 3种坐标系 :地面坐标系 oxyz与地面固定 , 坐标原点可根据具体的运动而 定 , x 轴由身后指向身前并与地面平行 , y 轴由身 体右侧指向左侧并与地面平行 , z 轴 由下而上并 与地面垂直 , xyz 遵守右手法则。全局坐标系 o 1x 1y 1z 1与下躯干固定 , 随下躯干的运动而运动 , 坐标 原点位于下躯干的质心处 , 3个坐标轴的方向与 oxyz 平行。环节坐标系 o i x i y i z i (i =2

17、, 3 , 15与身体各环节固定 , 随各环节的运动而运动 , 坐标原点位于各关节处 , z i 轴位于环节的轴线上 , 指向运动链上该环节的子节点 , y i 轴由身体右侧 指向左侧并与 z i 轴垂直 , 指向左侧 , x i 轴由右手 法则确定。对于头颈、 手和足 , 它们的坐标轴方向 与运动链上的各自父节点的坐标轴方向一致。这种坐标系系统对于描述人体一般的全身运 动比较方便 , 通过坐标变换可以描述人体某一环 节相对于地面或其它环节的运动情况。但对于某 些特定的运动 , 地面坐标系和全局坐标系的这种 取法并不是最佳的 , 需作适当的调整 , 以使整个分 析过程和方程的建立更为简便。例如

18、 , 若下躯干 和下肢都静止 , 此时欲描述手的运动情况 , 可将地 面坐标系固定在胸关节处 , 而将全局坐标系取在 肩关节处并与上躯干固连 , 其方向与标准站姿时 的 o 4x 4y 4z 4一致 , 这样在建立运动学方程时将更 12图 3 人体坐标系系统Fig . 3 The coordinate system of hu m an body本文的人体运动模型选择了具有解剖学意义 的广义坐标 , 采用机器人运动学和机构运动学中 的坐标变换原理 , 分析了人体手、 前臂、 上臂、 足、 小腿、 大腿、 头颈、 上躯干和下躯干的位姿情况 , 建 立了相应的运动方程 , 这些运动方程是分析人体

19、绝对运动和 整体运动的基 础 , 所推 导的人体 手、 足、 头颈的绝对运动方程 , 推导方法具有通用性。 下面以手到下躯干运动链为例建立如下的运 动方程 :手相对于前臂的位姿方程 以右手 (B 9 为图 4 右手位姿 (图中所示为手伸 , q 1的值为正 F ig . 4 T he ge sture of righ t hand (q 1to be positi ve val u ede m on stra ted extensi on of right hand353第 5期 高 嵩峰 , 等 . 人体参数化运动学模型建立方法的研究例 , 它只能绕右手坐标系 o 9、 x 9、 y 9、

20、z 9的 x 9轴旋转 (即解剖学上手的屈和伸 , 以旋转角 q 1(伸为 +, 屈为 - 为广义坐标 , 如图 4所示。设前臂的长度为 L qb , 则右手坐标系 o 9x 9y 9z 9绕 x 9旋转 -q 1度、 沿 z 9平移 -L qb 就变换到前臂坐 标系 o 8x 8y 8z 8, 坐标变换矩阵为 :sh A qb =Rot (x , -q 1 Trans (0, 0, -L qb = 100 0cos(-q 1 -sin(-q 10si n (-q 1 cos(-q 10001000 0100 001-L qb 0001sh A qb = 1000 0cos q 1sin q

21、1-L qb ! sin q 10-si n q 1cos q 1-L qb ! cos q 10001(1前臂相对于上臂的位姿方程 设上臂的长度 为 L sp , 则前臂坐标系 o 8x 8y 8z 8绕 y 8旋转 q 1、 绕 z 8 旋转 -q 2、 沿 z 8平移 -L sb 就变 换到上 臂坐标 系 o 7x 7y 7z 7, 坐标变换矩阵为 :qb A sb =Ro t (y, q 1 Ro t (z, -q 2 Trans ( 0, 0, -L sb =cos q 10sin q 1010-sin q 10cos q 1000cos(-q 2 -si n (-q 2 0si n

22、 (-q 2 cos(-q 2 00010001000 0100 001-L s b 0001经化简后得到 :qb A sb =cos q 1! cos q 2cos q 1! si n q 2sin q 1-L sb ! si n q 1-sin q 2cos q 200-sin q 1! cos q 2-si n q 1! si n q 2cos q 1-L s b ! cos q 10001(2上臂相对于上躯干的位姿方程 设肩关节相 对于胸关节的位置用 D 1, D 2描述 , 那么上臂坐标 系 o 7x 7y 7z 7绕 x 7旋转 -q 1、 绕 y 7旋转 -q 2、 绕 z 7旋

23、 转 -q 3、 沿 y 7和 z 7分 别平移 D 1, D 2、 绕 y 7旋 转 180 就变换到上躯干坐标系 o 2x 2y 2z 2, 坐标变换矩 阵为 :sb A sqg =Rot (x, -q 1 Ro t (y, -q 2 Rot (z -q 3 T rans (0, D 1, D 2 Rot (y , 180= 1000cos (-q 1 si n (-q 10sin (-q 1 cos (-q 1000cos (-q 2 9si n (-q 2 010 -sin (-q 2 0cos (-q 2 00 cos (-q 3 -si n (-q 3 0si n (-q 3 co

24、s (-q 3 00010001000010D 1001D 2000cos 0si n 010 -sin 0cos 000sb A sqg =-C 2C 3C 2S 3S 2D 1C 2S 3-D 2S 2-S 1S 2S 3+C 1S 3S 1S 2S 3+C 1C 3-S 1C 2D 1(S 1S 2S 3-C 1C 3 +D 2S 1C 2-C 1S 2C 3-S 1S 3C 1S 2S 3-S 1C 3-C 1C 2D 1(C 1S 2S 3-S 1C 3 +D 2C 1C 20001(3式中 S i , C i 分别表示 si n q i , cos q i (i =1, 2, 3

25、。 上躯干相对于下躯干的位姿方程 设胸关节 354 航天医学与 医学工程 第 22卷相对于下躯干质心 (全局坐标系 o 1x 1y 1z 1的原点 的位置用 D 1表示 , 则上躯干坐标系 o 2x 2y 2z 2绕 x 2旋转 -q 1、 绕 y 2旋转 -q 2、 绕 z 3旋转 -q 3、 沿 z 2平 移 -D 1就变换到全局坐标系 o 1x 1y 1z 1, 坐标变换 矩阵为 :sqg A xqg =Rot (x,-q 1 Ro t (y, -q 2 Rot (z , -q 3 T rans (0, 0, -D 1 经计算化简得到 :s qg A xqg =C 2C 3C 2S 3-

26、S 2D 1! S 2S 1S 2C 3-C 1S 3S 1S 2S 3+C 1C 3S 1C 2-D 1! S 1C 2C 1S 2C 3+S 1S 3C 1S 2S 3-S 1C 3C 1C 2-D 1! C 1C 20001(4式中 S i , C i 分别表示 si n Q i , cos q i (i =1, 2, 3 。 下躯干相对于地面的位姿方程 下躯干是运 动链的根节点 , 它的位姿应该用下躯干相对于地 面的运动参数来表示 , 包括位置参数和姿态参数。 位置参数用全局坐标系 o 1x 1y 1z 1的原点 o 1(下躯 干的质心 在地面坐标系 oxyz 中的坐标 (x, y,

27、z 来表示 , 姿态 参数用 o 1x 1y 1z 1的 RPY 角 来表示。 o 1x 1y 1z 1的 RPY 角定义为 :o 1x 1y 1z 1依次绕 z 1旋转 q 3、 绕 y 1旋转 q 2、 x 1旋转 q 1后得到期望的姿态 , 3 个角分别称为滚动角、 俯仰角、 偏航角。根 据 RPY 角 的 定 义 可 知 , 全 局 坐 标 系 o 1x 1y 1z 1经绕 x 1旋转 -q 1、 绕 y 1旋转 -q 2、 绕 z 1旋 转 -q 3、 沿 x 1平移 -x 、 沿 y 1平移 -y 、 沿 z 1平移 -z 就变换到地面坐标系 oxyz , 坐标变换矩阵为 : sq

28、g Adm =Ro t (x, -q 1 Rot (y, -q 2 Ro t (z , -q 3 T rans (-X, -Y , -Z 经计算简化后得到 :xqg A dm =C 2C 3C 2S 3-S 2 P 1S 1S 2C 3-C 1S 3S 1S 2S 3+C 1C 3S 1C 2P 2C 1S 2C 3+S 1S 3C 1S 2S 3-S 1C 3C 1C 2P 3000(5式中 :P 1=-C 2C 3! X -C 2S 3! Y +S 2! ZP 2=-(S 1S 2C 3-C 1S 3 ! X -(S 1S 2S 3+ C 1C 3 ! Y +S 1C 2! ZP 3=-(

29、C 1S 2C 3+S 1S 3 ! X -(C 1S 2S 3-S 1C 3 ! Y -C 1C 2! ZS i , C i 分别表示 si n q 1, cos q i (i =1, 2, 3 。 其它位姿方程建立过程类似 , 这里不再给出。 上面给出了描述相邻两环节相对运动的齐次 矩阵。在分析人体的运动时 , 除了需要知道每一 时刻人体的位姿情况外 , 还需要了解人体各环节 或某些环节相对于地面的绝对运动情况。以右手的运动为例 , 考虑 #下躯干 -上躯干 -右上臂 -右前臂 -右手 这条运动链。前面已 经建立了右手到右前臂、 右前臂到右上臂、 右上臂 到上躯干及上躯干到下躯干的坐标变换

30、矩阵 , 分 别为 s h A qb 、 qb A sb 、 sb A sqg 、 sqg A xqg , 见式 (1 式 (4 。 根据坐标变换原理 , 右手坐标系到下躯干坐标系 的变换矩阵为 :s h A xqg = sh Aqb (q 1qb Asb (q 2, q 3sb Asqg (q 4,5sqg Axqg (q 7, q 8, q 9 (6式中 q 1、 q 2 q 9为广义坐标 , 用来描述各环节 的位姿情况。sh Aqb (q 1 与式 (1 式相同 , 将式 (2 中的 q 1、 q 2分别用 q 2、 q 3代替即可得到 qb A sb (q 2, q 3, 将式 (3

31、中的 q 1、 q 2、 q 3分别用 q 4、 q 5、 q 6代替得到 sb A xqg (q 7, q 8, q 9, 将式 (4 中的 q 1、 q 2、 q 3分别用 q 7、 q 8、 q 9代 替得到 s qg A xqg (q 7, q 8, q 9 。需要已知的人体结构参数有前臂长 L qb , 上臂 长 L sb , 肩关节相对于胸关节的位 置 D 1, D 2, 胸关 节相对于下躯干质心的位置 D 3。将式 (6 式右乘下躯干到地面的变换矩阵得 到右手到地面的变换矩阵 :sh Adm =sh Axqg (q 1, q 2, , q 9xqg Ad m (q 10, q 1

32、1, q 12, X, Y , Z (7 式中 q 10、 q 11、 q 12、 X 、 Y 、 Z 为广义 坐标 , 将 式 (5 中的 q 1、 q 2、 q 3分别用 q 10、 q 11、 q 12代替得到 xqg A dm (q 10, q 11, q 12, X, Y , Z 。式 (7 描述了手相 对于地面的绝对运动 , 从 中可见 :如果已知运动链上各环节的相对运动 , 则 7 , 355第 5期 高 嵩峰 , 等 . 人体参数化运动学模型建立方法的研究356 航天医学与 医学工程 第 22卷 正运动学 (或运动学正解 ; 相反, 如果仅已知手 在空间的位置, 则根据式 (

33、7 还不能唯一确定运 动链上其它环节的运动, 称为 逆运动学 (运动学 逆解 。因为手在 空间的位姿只需 6个变量 (就 如下躯干的位姿一样 即可完全确定, 而运动方 程式 ( 7中有 12个角度变量和 3个位置变量, 因 此将有无数组解, 即存在一定的冗余度。这无数 组解代表不同的姿态, 需要通过多目标参数优化 的方法或者通过增加运动链上其它环节的约束条 件来确定合理的姿态。 方程式 ( 7描述的是人体在没有受到任何约 束时的空间三维运动情况, 很复杂。实际上人体 的运动是有很多约束条件的, 如步行或跑步时可 将人体的运动视为二维平面运动, 这时用以描述 人体运动的广义坐标数量将减少很多,

34、方程的建 立和求解将大大简化, 全局坐标系和地面坐标系 原点的选取也将更加灵活。 做一定的简化, 将人体的头颈、 上躯干、 下躯干视 为一个刚体, 称之为躯干, 即将颈关节和胸关节的 自由度设为零; 将手和前臂视为一个刚体, 即将腕 关节的自由度设为零。这样, 人体将被划分成躯 干、 上臂、 前臂、 大腿、 小腿、 11个刚体。认为躯 足 干、 下肢 (大腿、 小腿、 在同一平面内做二维运 足 动, 上肢 (上臂、 前臂 在一个与躯干有 一固定内 收角度的斜平面内的运动。人体的运动自由度数 为 10 肩关节、 , 肘关节、 髋关节、 膝关节、 踝关节均 视为单自由度的铰链。考虑到人体步行与跑步

35、时 左右侧肢体运动有对称性, 这里只讨论右侧肢体 和躯干的运动。 需要建立的基本方程有: 前臂相对于上臂的 qb sb 运动 A sb ( q1, 0, 上臂相对于躯干的运动 A qg (Q, Q 2, 0 , 足相对于小腿的运动 A st ( q3 , 小腿相对 于大腿的运动 Ad t ( q 4 , 大腿相对于躯 干的运动 dt xt zu 模型验证 A qg ( 0 q5, 0, 躯干 相对 于地 面 的运 动 Adm ( 0 , , q 6, 0 x, 0 z 。 , , qg 下面根据人体实际步行 /跑 步运动的情况, 并 cos q1 0 sin q1 - L sb ! sin q

36、 1 qb A sb ( q 1, 0 = 0 - sin q1 0 1 0 0 - C2 0 cos q 1 0 0 cosQ - sin Q 0 0 - L sb ! cos q1 1 S2 - sin Q ! C 2 - cosQ ! C 2 0 - S2 ! D 6 cosQ ! D 5 + sin Q ! C 2 ! D 6 - sin Q ! D 5 + cosQ ! C 2 ! D 6 ( 8 sb A qg (Q, q2, 0 = - sin Q ! S2 - cosQ ! S 2 0 ( 9 腕关节的绝对坐标 Awgj dm dm 1 P 3 = ( - S 1 C 2C 6

37、 + cos Q! C 1S 2C 6 - S 1S 2C 6 cosQ ! C 1C 2C 6 ! L qb + Z cosQ ! L sb ! ( C 2C 6 - S2 S 6 + C 6 ! D 6 Awgj = P 1 P2 P3 1 T ( 10 P 1 = (S 1 C 2C 6 - cosQ! C 1S 2 C 6 - S 1S 2 S 6 cosQ ! C 1C 2 S 6 ! L qb + X cosQ ! L sb ! ( S2 C 6 + C 2 S6 + S 6 ! D 6 P 2 = - cos q 1 ! sin Q ! L qb - D 5 - L sb ! s

38、in Q dm 其中 S i, C i ( i= 1 2 6分别代表 sin qi , cos q i, , , 此式描述了腕关节的绝对运动情况。 肘关节的绝对坐标 A zgj dm 1 ( sin ( q 2 + q6 + Q + sin ( q 2 + q 6 - Q ! L sb + D 6 ! sin q6 + X 2 1 ( cos( q2 + q6 + Q + cos( q 2 + q6 - Q ! L sb + D 6 ! cos q 6 + Z 2 肩关节的绝对坐标 P jgj dm A zg j - sin ! L sb - D 5 Q - ( 11 1 此式描述了肘关节的绝

39、对运动情况。 第 5期 高 嵩峰, 等. 人体参数化运动学模型建立方法的研究 357 sin q6 ! D 6 + X dm P jg j = - D5 cos q 6 ! D 6 + Z 1 ( 12 此式描述了肩关节的绝对运动情况。 踝关节的绝对坐标 Ph gj - sin ( q 4 + q5 + q6 ! L xt + x + sin ( q 5 + q 6 ! Ld t dm dm P hgj = 0 - cos ( q 4 + q5 + q 6 ! Lx t + Z + cos ( q 5 + q 6 ! Ld t 1 ( 13 此式描述了踝关节的绝对运动情况。 dm 膝关节的绝对

40、坐标 Pxg j - sin ( q 5 + q 6 ! Ld t + X dm 参考文献 1 2 ZHEN G X iuyuan. Con temporary B iom echan ics of Sports M . B eijing: N ational D efence Industria l Press 2002, 185 186 , . L I Jianshe W ANG L iangm ing. Progress of research technology , on b iom echan ics of sports and stand ing p rob le J . Ch

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