一个刻画相对知识和相对信念的逻辑

1、一个刻画相对知识和相对信念的逻辑提交日期： 2007-1-10. A Logic for Relative Knowledge and Relative Belief李小五作者简介：李小五（1955-），男，河北涞水人，中山大学哲学系逻辑与认知研究所教授。(中山大学哲学系逻辑与认知研究所)【摘要】主体的相对知识和相对信念是指主体相对某个条件而言的知识和信念，它们是对主体绝对知识和绝对相信的相对化。我们认为，研究这样的知识和信念是有意义的。本文我们首先构造一个刻画相对知识和相对信念的系统RKB，给出它的证明论的一些结果。其次，我们引入一个命题择类语义，给出RKB的特征公理的框架条件，从而证明RK

2、B的框架可靠性和框架完全性。最后，我们证明RKB的一个扩充系统相对这样的语义有模型可靠性和模型完全性。 【关键词】相对知识；相对信；命题择类语义；框架可靠性；框架完全性Abstract: By an agents relative knowledge and relative belief, we mean the agents knowledge and belief relative to some condition. They are relativization of the agents abstract knowledge and abstract belief. We beli

3、eve that this kind of research for knowledge and belief is meaningful. In this paper, firstly, we construct the system RKB for relative knowledge and relative belief, and give some results of its proof theory. Secondly, we introduce a propositional class-selection semantics, give the frame condition

4、s of the character axioms of RKB, and thus prove the frame soundness and frame completeness of RKB. Finally, we prove the model soundness and model completeness of an extension of RKB.Key words：relative knowledge; relative belief; propositional class-selection semantics; frame soundness; frame compl

5、eteness主体的相对知识和相对信念是指主体相对某个条件而言的知识和信念，它们是对主体的绝对知识和绝对相信的相对化。我们认为，研究这样的知识和信念是有意义的。因为我们通常所具有的知识和信念大部分是相对化的。真正绝对的知识和信念少而又少。谁也不否认“人总是要死的”是我们的知识，但仔细想想后我们会发现，这实际是一个相对化的知识而不是一个绝对知识。可以想像，当科学发展到一定的程度，人可以不死。本文的主要工作是要建立一个刻画单个理性主体的相对知识和相对信念的逻辑，表述关于相对知识和相对信念的规律和推理模式。本文提到但未定义的概念和记号，请参见李小五的1。第一节 语言、形式系统及其证明论我们先给出经典

6、句子语言和公理化系统：定义1.1(1) 定义L0是经典句子语言的字母表：句符：p1, , pn,；句子联结符：Ø, Ù；括号：(, )。(2) 经典句子语言Form0递归定义如下：p1, , pn, Î Form0；若j, y Î Form0，则Øj, j Ù y Î Form0。(3) 经典句子系统PC0由以下公理(模式)和推演规则构成：对所有j, y, q Î Form0，(TA1) j ® y ® j，(TA2) (j ® y ® q) ® (j ®

7、 y) ® j ® q，(TA3)(Øj ® y) ® (Øj ® Øy) ® j。(MP) j, j ® yy。下面给出能表述相对知识和相对信念的语言和公理化系统：定义1.2(1) 定义L是能表述相对知识和相对信念的语言的字母表： 句符：p1, , pn,； 句子联结符：Ø, Ù； 二元算子：K, B； 括号：(, )。(2) 递归定义能表述相对知识和相对信念的语言Form如下： p1, , pn,Î Form； 若j, y Î Form，则Ø

8、j, j Ù y, K(j, y), B(j, y) Î Form。(3) 缩写符号Ú，®和«如通常定义。此外，我们也用下列缩写：T =df p1 Ú Øp1, =df ØT;Kjy =df K(j, y), Bjy =df B(j, y);Kj =df KTj = K( T, j), Bj =df BTj = B( T, j)。说明：(1) 本文若不特别说明，以后总用j, y, q(带或不带下标)表示Form中的公式。(2) 为了叙述方便，规定下列联结符的结合力从左到右依次减弱：Ø, K, B, 

9、17;, Ú, ®, «。同时我们还规定同类联结符满足右向结合原则，因此Kj(y ® q) ® Kjy ® Kjq就是Kj(y ® q) ® (Kjy ® Kjq)。(3) 下面常用符号Û表示“当且仅当”，用Þ表示“若则”。(4) K( , )和B( , )称为相对认知算子。Kjy直观表示主体“相对j知道y”，Bjy表示“相对j相信y”。所以Kjy可以解释为相对j来说y是主体的相对知识(relative knowledge)，Bjy解释为相对j来说y是主体的相对信念(relative

10、belief)。(5) Kj表示主体（无条件地）绝对知道j，Bj表示主体（无条件地）绝对相信j。换句话说，Kj和Bj表示主体的绝对知识和绝对信念。(6) 我们的创新就在于把经典认知概念Kj和Bj相对化。在我们看来，这样的相对化是有意义的，也是自然的。定义1.3刻画相对知识和相对信念的系统RKB是在PC0中加入下列公理和规则得到的系统：(RKK)Kj(y ® q) ® Kjy ® Kjq，(RKB) Bj(y ® q) ® Bjy ® Bjq，(SK) Kjj， (返知公理)(RKB)Kjy ® Bjy， (知信关联公理)(R

11、KI) Kjy ® j ® y， (相对知识蕴涵公理)(RD) ØB，(R4K) Kjy ® KKjy，(相对化的知识正反思)(R4B) Bjy ® BBjy， (相对化的信念公理)(R5K) ØKjy ® KØKjy， (相对化的知识负反思公理)(R5B) ØBjy ® BØBjy， (相对化的信念负反思公理)(RRN)yKjy，(REAK) j « yKjq « Kyq，(REAB) j « yBjq « Byq。说明：(1) SK - R5

12、B称为RKB的特征公理，以后我们会看到这样的称谓是正当的，因为在语义中使它们有效需要框架条件。(2) RKB表示：若y是主体的相对知识，则它也是他的相对信念。理性的主体总是相信自己获得的知识，即使这是相对知识。这很自然。(3) 我们总想刻画具有较高智能的主体，所以这里我们添加了正反思公理和负反思公理。(4) 注意公理ØB不能相对化为ØBj，因为从RKB和SK能推得B，况且B也很自然。定义1.4(1) j表示j是RKB的内定理，即j在RKB中有一个形式证明：存在一个公式序列j1, , jn使得对每一个1 £ i £ n，ji是RKB的某个公理的代入特例，或

13、者ji是通过RKB的规则从它前面的公式得到。(2) RKB的全体内定理的集合记为Th(RKB)。(3) 我们也用 j表示j Ï Th(RKB)。引理1.5下面是RKB的内定理和导出规则：(1) Bjj，（据RKB和SK）(2) yBjy，（据RRN和RKB）(3) y1 ÙÙ yn ® yKjy1 ÙÙ Kjyn ® Kjy，这里约定n = 0时，(3)就是RRN。(4) y1 ÙÙ yn ® yBjy1 ÙÙ Bjyn ® Bjy，这里约定n = 0时，(4)就是

14、(2)。(5) K(y ® q) ® Ky ® Kq，B(y ® q) ® By ® Bq，(6) KT，BT，(7) Ky ® By，(8) Ky ® y，(9) Ky ® KKy，By ® BBy，(10) ØKy ® KØKy，ØBy ® BØBy，(11) yKy，yBy，(12) Kjy ® BjKjy。证明：(3) - (4)的证明如通常。(5) - (11)的证明据相应的公理和规则以及缩写定义，其中(8)是从RK

15、I推得的。(12) 据R4K和RKB。说明：易见RKB本质上是经典认知系统S5和经典信念系统KD45的扩充(例如，在这两个系统中增加知信关联公理RKB)。由此可见，RKB是大多数逻辑学家都能接受的经典知信系统的一个自然扩充。这意味，经典知信系统能表述的规律在RKB中被全部保留下来，而且RKB能更丰富地表达前者不能表达的规律，即刻画相对知识和相对信念以及它们与绝对知识和绝对信念之间关系的规律。定理1.6基本置换定理 若 y « q，则 j « j(q / y)，其中j(q / y)表示用y替换j中q的若干出现得到的公式。证明：施归纳于公式j的结构，详细证明如通常。下面我们来研

16、究RKB与PC0的关系。我们要证明前者是后者的协调概括，或者说前者可以协调地退化为后者。定义1.7 (1) 定义从Form到Form0 的翻译映射t如下：t(p) = p，对所有句符p；t(Øj) = Øt(j)；t(j Ù y) = t(j) Ù t(y)；t(Kjy) = t(j) ® t(y)；t(Bjy) = t(j) ® t(y)。(2) 对每一公式j Î Form，称t(j)是j的t-翻译。据上面的定义，易证t(j Ú y) = t(j) Ú t(y)，t(j ® y) = t(j)

17、 ® t(y)，t(j « y) = t(j) « t(y)。定义1.8令S和T是任意两个公理化系统。称S能t-退化为T，当且仅当S的所有内定理都能t-翻译为T的内定理。定理1.9RKB能t-退化为PC0，证明：易证(1) 若j是RKB的公理，则j的t-翻译是PC0的内定理；(2) 若R是RKB的规则，则R的t-翻译是PC0的导出规则。所以(3) 若j是RKB的内定理，则j的t-翻译是PC0的内定理。定义1.10称公理化系统S是协调系统，当且仅当不存在j使得j和Øj都是S的内定理。定理1.11RKB是协调的。证明：我们知道PC0是协调。假设RKB不协调，

18、则存在j使得j和Øj都是RKB的内定理，则据上面的定理，t(j)和Øt(j)都是PC0的内定理，矛盾于PC0的协调性。第二节 命题型的择类语义和框架可靠性定理择类语义有两类：命题型的择类语义和句子型的择类语义。本文只选择命题型的择类语义来匹配RKB。定义2.1(1) 称三元组F = áW, f, gñ是双算子的命题型择类框架，简称F是框架，当且仅当 W是非空的可能世界集， f和g都是从Ã(W) ´ W到Ã(W)中的映射，其中Ã(W)表示W的幂集。(2) 称四元组M = áW, f, g, ñ是双

19、算子的命题型择类模型，简称M是模型，当且仅当áW, f, gñ是框架且 是从全体句符到Ã(W)的指派映射。 也称为框架áW, f, gñ上的指派映射。(3) 所有框架组成的框架类记为Frame。说明：可能世界也可以看作是状态。定义2.2 (真值集定义)令M = áW, f, g, ñ是模型。对每一复合公式j，定义j相对M的真值集j如下：对任意w Î W，(1) w Î Øj Û w Ï j，(2) w Î j Ù y Û w Î j且w

20、 Î y，(3) w Î Kjy Û f(j, w) Í y，(4) w Î Bjy Û g(j, w) Í y。说明：基于框架定义的模型和定义复合公式的真值的真值集定义，两者合在一起称为语义，因为由此可以在任何一个模型的任意可能世界中对任何一个公式赋予一个意义(真值)。上面给出的语义就是命题型的择类语义。定义2.3(1) 称áW, f, gñ是知信择类框架，简称F是RKB-框架，当且仅当下列框架条件成立：对任意w, u Î W和X Í W，(sk) f (X, w) Í X

21、，(rkb) g(X, w) Í f (X, w)，(rki) w Î X Þ w Î f (X, w)，(rd) g(W, w) ¹ Æ，(r4k) u Î f (W, w) Þ f (X, u) Í f (X, w)，(r4b) u Î g(W, w) Þ g(X, u) Í g (X, w)，(r5k) u Î f(W, w) Þ f (X, w) Í f (X, u)，(r5b) u Î g(W, w) Þ g(X,

22、w) Í g(X, u)。(2) 所有RKB-框架组成的框架类记为Frame(RKB)。说明：最后两组条件合起来就是u Î f (W, w) Þ f (X, u) = f (X, w)，u Î g(W, w) Þ g(X, u) = g (X, w)。定义2.4有效性定义令F = áW, f, gñ是框架，M = áW, f, g, ñ是模型。(1) 称j在M中有效，记为M j，当且仅当j = W；否则称j在M中不有效，记为M j 。(2) 称j在F中有效，记为F j，当且仅当，对F上的任意指派映射 ，有

23、j = W；否则称j在F中不有效，记为F j 。(3) 称规则j1, jny相对M保持有效性，当且仅当，j1 = = jn = W Þ y = W 。如通常易证：引理2.5令áW, f, g, ñ是上述任意模型。则(1) Øj = W - j，j Ù y = j Ç y，j Ú y = j È y， = Æ， T = W。(2) j Ç j ® y Í y。(3) j ® y = W Û j Í y。(4) j « y = W 

24、9; j = y。定义2.6令S是一个系统，且令C是一个框架类。(1) 称S相对C是框架可靠系统，当且仅当，S的内定理在C的所有框架中有效。(2) 称S相对C是框架完全系统，当且仅当，在C的所有框架中有效的公式是S的内定理。定理2.7 (框架可靠性定理)RKB相对Frame(RKB)是框架可靠的。证明：任给RKB-框架F = (W, f, g)和F上赋值 。只须验证RKB的每一公理相对M = (F, )有效且推理规则相对M保持有效性。验证公理TA1 - 3和规则MP：显然。验证公理RKK：任给w Î Kj(y ® q) Ç Kjy。据引理2.5和定义2.2，有 f

25、(j, w) Í y ® q，且 f(j, w) Í y。再据2.5，有f(j, w) Í q，所以w Î Kjy。同理可验证公理RKB。验证公理SK：据定义2.3的(sk)，对任意j，有f(j, w) Í j，所以w Î Kjj。验证公理RKB：任给w Î Kjy。则f(j, w) Í y。据2.3的(rkb)，有g(j, w) Í y，所以w Î Bjy。验证公理RKI：任给w Î Kjy Ç j。则 f (j, w) Í y，且 w Î j

26、。据和定义2.3的(rki)，w Î f (j, w)。再据，有w Î y。验证公理RD：据2.3(rd)，有g(W, w) ¹ Æ，因此g(W, w) Æ，再据2.5，有g( T , w) ，再据2.2，有w Î ØB。验证公理R4K：任给w Î Kjy。要证w Î KKjy，为此只须证 f( T , w) Í Kjy，即f(W, w) Í Kjy。任给u Î f(W, w)，要证u Î Kjy，为此只须证 f(j, u) Í y。据u Î f

27、(W, w)和(r4k)，有 f (j, u) Í f (j, w)。据w Î Kjy，有f(j, w) Í y。再据，有。据2.3的(r4b)，公理R4B的验证类似。验证公理R5K：任给w Î ØKjy。要证w Î KØKjy，为此只须证： f(W, w) Í ØKjy。任给u Î f(W, w)，要证u Î ØKjy，为此要证u Ï Kjy，最后只须证： f(j, u) y。据w Î ØKjy，有w Ï Kjy，因此f(j, w)

28、y，所以存在v Î W使得 v Î f(j, w)，且 v Ï y。据u Î f(W, w)，和(r5k)，有v Î f (j, u)。再据，有。据2.3的(r5b)，公理R5B的验证类似。验证规则RRN：设y = W。任给w Î W，有f(j, w) Í y，所以w Î Kjy。据w的任意性，有Kjy = W。验证规则REAK：设j « y = W。据2.5，有j = y。因此对所有w Î W，有f(j, w) Í y Û f(y, w) Í y，所以w 

29、6; Kjq Û w Î Kyq。据w的任意性，有Kjq = Kyq。据引理2.5，有Kjq « Kyq = W。同理可验证规则REAB。注意： RKK, RKB, RRN, REAK和REAB的有效性不需要框架条件保证，这就是我们不称它们为特征公理和特征规则的原因。第三节 完全性定理定义3.1令S是一个系统，且令w是公式集。(1) 称w是S-一致集，当且仅当，对所有有穷序列j1, jn Î w，有 S Ø(j1 ÙÙ jn)。(2) 称w是极大集，当且仅当，对所有j Î Form，j Î w或Ø

30、;j Î w。(3) 称w是S-极大一致集，当且仅当，w既是S-一致的又是极大的。(4) 称S是一致系统，当且仅当，Th(S)是S-一致的。说明：在不致混淆之处，我们省略上述记号中的下标S和参数S-。引理3.2RKB是一致的。证明：假设RKB不一致。则Th(RKB)不一致，所以存在有穷序列j1, jn Î Th(RKB)使得 Ø(j1 ÙÙ jn)。另一方面，因为j1, jn Î Th(RKB)，所以易证 j1 ÙÙ jn。据定义1.10，RKB不是协调的，矛盾于定理1.11。因为RKB是PC的扩充，所以如通常证明

31、 参见李小五2。，我们有下列结果。引理3.3令w是公式集。(1) j属于每一以w为子集的极大一致集，当且仅当，存在j1, jn Î w使得 j1 ÙÙ jn ® j。(2) 若w是极大一致的，则Øj Î w Û j Ï w，j Ù y Î w Û j Î w且y Î w，j Ú y Î w Û j Î w或y Î w，j Î w且 j ® y Þ y Î w，j Î

32、w且j ® y Î w Þ y Î w。(3) Th(RKB) Í w。(4)(Lindenbaum-引理)每一一致集都可以扩充为一个极大一致集：若u是一致集，则存在极大一致集w使得u Í w。(5) 若 j，则存在极大一致集w使得j Ï w；若 j ® y，则存在极大一致集w使得j Î w且y Ï w。定义3.4 |j| =df w | w是极大一致集使得j Î w。引理3.5(1) |Øj| = W - |j|， 其中W是所有极大一致集的集合，|j Ù y| =

33、 |j| Ç |y|，|j Ú y| = |j| È |y|，| | = Æ，| T | = W。(2) |j| Ç |j ® y| Í |y|。(3) |j ® y| = W Û |j| Í |y| Û j ® y。(4) |j « y| = W Û |j| = |y| Û j « y。证明：据上一引理易证。定义3.6令w是公式集。Kj- w =df y | Kjy Î w，Bj- w =df y | Bjy Î

34、w；特别地，K- w =df KT- w且B- w =df BT- w。引理3.7令w是极大一致集。则(1) Kjy Î w Û 任给极大一致集u，若Kj- w Í u，则y Î u。(2) Bjy Î w Û 任给极大一致集u，若Bj- w Í u，则y Î u。证明：(1)“Þ”：设Kjy Î w。任给极大一致集u使得Kj- w Í u。易见y Î u。“Ü”：设 任给极大一致集u，若Kj- w Í u，则y Î u。这意味y属于每一以Kj-

35、 w为子集的极大一致集。据3.3，存在y1, yn Î Kj- w使得 y1 ÙÙ yn ® y。据引理1.5，有 Kjy1 ÙÙ Kjyn ® Kjy。 因为y1, yn Î Kj- w，所以Kjy1, , Kjyn Î w，因此据和引理3.3，有Kjy Î w。同理可证(2)。定义3.8 (1) 定义RKB的典范框架(W, f, g)如下： W = w | w是极大一致集；1 f(|j|, w) Í |y| Û Kjy Î w，对所有w Î W和公式j

36、, y；2 g(|j|, w) Í |y| Û Bjy Î w，对所有w Î W和公式j, y。(2) 定义RKB的典范模型(W, f, g, )如下：(W, f, g)是RKB的典范框架，且 p = |p|，对每一句符p。说明：(1) RKB的(命题型的)典范框架相对系统RKB不是惟一的，因为当X Í W且不存在j使得|j| = X时，还没有规定f(X, w)和g(X, w)的具体状况。(2) 据引理3.2，RKB是一致的，所以W是非空的。(3) 这里还要证明如上定义的择类映射f(|j|, w)和g(|j|, w)是良定义的。设|j1| =

37、|j2|，|y1| = |y2|。据引理3.5，有 j1 « j2， y1 « y2。据 j1 « j2，REAK和REAB，易得 Kj1y1 « Kj2y1， Bj1y1 « Bj2y1。再据 y1 « y2，引理1.5，易得 Kj2y1 « Kj2y2，Bj2y1 « Bj2y2。所以据引理3.3，对所有w Î W，易证Kj1y1 Î w Û Kj2y2 Î w，且Bj1y1 Î w Û Bj2y2 Î w。再据上面的1和2，有f(|j1|,

38、 w) Í |y1| Û f(|j2|, w) Í |y2|，且g(|j1|, w) Í |y1| Û g(|j2|, w) Í |y2|。定理3.9典范模型基本定理令(W, f, g, )是RKB的典范模型。(1) q Î w Û w Î q，对每一w Î W和公式q。(2) |q| = q，对每一公式q。证明：(2)从(1)易得。所以只须证(1)。施归纳于q的结构。句符的情况据定义3.8的。布尔联结词Ø和Ù的情况如通常所证。令q = Kjy。则w Î q 

39、19; w Î KjyÛ f(j, w) Í y 据真值集定义2.2Û f(|j|, w) Í |y| 据归纳假设Û Kjy Î w 据上一定义的1Û q Î w。令q = Bjy。则据上一定义的2同理可证。定理3.10令M = (W, f, g, )是RKB的典范模型。则对每一公式j，有M j Û j。证明： j Û |j| = W据引理3.3Û j = W 据上一定理Û M j 据有效性定义2.4。定义3.11定义RKB的适当结构(proper structur

40、e) M* = (W, f, g, )如下：(1) W = w | w是极大一致集。(21) f是从Ã(W)×W到Ã(W)中的映射使得对任意X Í W和w Î W，u | Kj- w Í u，存在j使得|j| = X；f(X, w) = X， 否则。(22) g是从Ã(W)×W到Ã(W)中的映射使得对任意X Í W和w Î W，u | Bj- w Í u，存在j使得|j| = X；g(X, w) = X， 否则。(3) p = |p|，对每一句符p。说明：易见适当结构对一个系

41、统来说是惟一的。引理3.12令M* = (W, f, g, )如上定义。则F* = (W, f, g)是RKB的典范框架。证明：据定义3.8，只须证：1 f(|j|, w) Í |y| Û Kjy Î w， 对所有w Î W和公式j, y；2 g(|j|, w) Í |y| Û Bjy Î w， 对所有w Î W和公式j, y。证明1：据上一定义的(21)和(22)，有(a1) f(|j|, w) = u Î W | Kj- w Í u， 对所有w Î W和公式j；(a2) g(|j|

42、, w) = u Î W | Bj- w Í u，对所有w Î W和公式j。因此任给公式y，有Kjy Î w Û "u Î W(Kj- w Í u Þ y Î u) 据引理3.7Û "u Î W(u Î f(|j|, w) Þ u Î |y|) 据(a1)Û f(|j|, w) Í |y|。据引理3.7和(a2)，同理可证2。定理3.13 (框架完全性定理)RKB相对Frame(RKB)是框架完全的。证明：据上一引理

43、，F*是典范框架。所以为了证明RKB相对Frame(RKB)是框架完全的，据定理3.10，只须证明F*属于Frame(RKB)，为此只须证F*满足定义2.3的框架条件：任给w Î W和X Í W。 验证(sk)：任给u Î f(X, w)。要证u Î X。情况1存在j使得|j| = X。则u Î f(|j|, w)。据3.12的证明中的(a1)，有(#) Kj- w Í u。另一方面，据引理3.3，公理SK在w中，所以Kjj Î w，因此据(#)，j Î u，所以u Î |j|，即u Î X。情

44、况2不存在j使得|j| = X。据定义3.11的(21)，我们有f(X, w) = X。因为u Î f(X, w)，所以w Î X。验证(rkb)：任给u Î g(X, w)。要证u Î f(X, w)。情况1存在j使得|j| = X。则u Î g(|j|, w)。据3.12的证明中的(a2)，(%) Bj- w Í u。为了证明u Î f(|j|, w)，只须证Kj- w Í u。任给y Î Kj- w，则Kjy Î w。据引理3.3，公理RKB在w中，因此Bjy Î w，再据(%)

45、，y Î u。情况2不存在j使得|j| = X。据3.11的(21)和(22)，f(X, w) = X = g(X, w)。因为u Î g(X, w)，所以u Î f(X, w)。验证(rki)：任给w Î X。要证w Î f (X, w)。情况1存在j使得|j| = X。则w Î |j|，因此j Î w。据引理3.3，公理RKI在w中，所以对任意y，有Kjy ® j ® y Î w，所以据j Î w和引理3.3，易证Kjy Î w Þ y Î w。所以据

46、y的任意性，Kj- w Í w，据3.12的证明中的(a1)，w Î f (|j|, w)，即w Î f (X, w)。情况2不存在j使得|j| = X。据3.11的(22)，f (X, w) = X。因为w Î X，所以w Î f (X, w)。验证(rd)：据3.5，只须证g(| T |, w) ¹ Æ。为此只须证：存在u Î g(| T |, w)。据3.12的证明中的(a2)，只须证：存在u Î W使得B- w Í u。据Lindenbaum-引理(3.3)，我们只须证B- w是一致的。

47、假设B- w不一致，则存在y1, yn Î B- w使得 y1 ÙÙ yn ® 。据引理1.5，有 By1 ÙÙ Byn ® B。 因为By1, , Byn Î w，故B Î w。矛盾于公理RD属于w和w是极大一致集的事实。验证(r4k)：设u Î f (W, w) = f(| T |, w)且v Î f (X, u)。要证 v Î f (X, w)。情况1存在j使得|j| = X。则v Î f (|j|, u)，据3.12的证明中的(a1)，有 Kj- u 

48、05; v。为了证，本情况要证v Î f (|j|, w)，据3.12的证明中的(a1)，要证 Kj- w Í v。任给y使得Kjy Î w。据引理3.3，公理R4K在w中，所以据3.3，有Kjy Î w Þ KKjy Î w。因此据给定，KKjy Î w。因为u Î f(| T |, w)，所以K- w Í u，因此有Kjy Î u，再据，有y Î v。因此证明了。情况2不存在j使得|j| = X。据3.11的(21)，f (X, w) = f (X, u) = X。据最开始的设定，

49、v Î f (X, u)，所以有。验证(r4b)：类似(r4k)的验证。验证(r5k)：设u Î f(W, w)且v Î f (X, w)。要证 v Î f (X, u)。情况1存在j使得|j| = X。则v Î f (|j|, w)，据3.12证明中的(a1)，有 Kj- w Í v。为了证，本情况要证v Î f (|j|, u)，只须证： Kj- u Í v。任给y使得 Kjy Î u。假设y Ï v。据，y Ï Kj- w。据定义3.6，Kjy Ï w，所以 Ø

50、;Kjy Î w。另一方面，据引理3.3，公理R5K在w中，所以据3.3，有ØKjy Î w Þ KØKjy Î w。因此据，有KØKjy Î w。因为u Î f(| T |, w)，所以K- w Í u，因此ØKjy Î u，所以，Kjy Ï u，矛盾于，因此y Î v。这样我们证明了。 情况2不存在j使得|j| = X。据3.11的(21)，f (X, w) = f (X, u) = X。据最开始的设定，v Î f (X, w)，所以有。验证

51、(r5b)：类似(r5k)的验证。第四节 RKB的一个扩充系统我们认为以下公式的直观意义很自然：Ky ® Kjy，Kjy Ù Kj Ù yq ® Kjq，Kj Ú yq ® Kjq Ù Kyq。但我们目前还没有找到使它们完全的框架条件，所以下面我们给出RKB的一个扩充系统并证明它相对某个模型类是模型可靠和模型完全的。定义4.1刻画相对知识和相对信念的系统RKB+是在RKB中加入下列公理得到的系统：(ARK) Ky ® Kjy，(ARB) By ® Bjy，(RTK) Kjy Ù Kj Ù

52、; yq ® Kjq，(RTB) Bjy Ù Bj Ù yq ® Bjq，(RDAK) Kj Ú yq ® Kjq Ù Kyq，(RDAB) Bj Ú yq ® Bjq Ù Byq。说明：(1) ARK和ARB分别表示绝对知识总是相对知识，绝对信念总是相对信念。(2) RTK和RTB分别表示知识和信念的限制传递律。由它们易得一种关于绝对知识（信念）和相对知识（信念）的关系：Ky Ù Kyq ® Kq，By Ù Byq ® Bq。它们表示：相对绝对知识（信念

53、）知道（相信）的就是绝对知识（信念）。这很自然。(3) 令RDAK和RDAB中的y是，再据REAK和REAB易得Kjj ® Kj, Bjj ® Bj。再据公理SK和1.5(1)。我们有Kj和Bj。它们的直观意义是：根据常假式知信一切，或者说，相对假，什么都是知识和信念。定义4.2(1) 称áW, f, g, ñ是RKB+-模型，当且仅当下列模型条件成立：对任意w, u Î W和公式j和y，(sk) f (j, w) Í j，(rkb) g(j, w) Í f (j, w)，(rki) w Î j Þ w

54、Î f (j, w)，(ark) f(j, w) Í f ( T , w)，(arb) g(j, w) Í g( T , w)，(rtk) f (j, w) Í y Þ f (j, w) Í f (j Ç y, w)，(rtb) g(j, w) Í y Þ f (j, w) Í f (j Ç y, w)，(rd) g( T , w) ¹ ，(r4k) u Î f ( T , w) Þ f (j, u) Í f (j, w)，(r4b) u 

55、06; g( T , w) Þ g(j, u) Í g (j, w)，(r5k) u Î f( T , w) Þ f (j, w) Í f (j, u)，(r5b) u Î g( T , w) Þ g(j, w) Í g(j, u)，(rdak) f (j, w) È f (y, w) Í f (j È y, w)，(rdab) g (j, w) È g (y, w) Í g(j È y, w)。(2) 所有RKB+-模型组成的模型类记为Model(RKB

56、+)。说明：本节的语义也可以改成句子型的择类语义。定义4.3令S是一个系统，且令C是一个模型类。(1) 称S相对C是模型可靠系统，当且仅当，S的内定理在C的所有模型中有效。(2) 称S相对C是模型完全系统，当且仅当，在C的所有模型中有效的公式是S的内定理。定理4.4 (模型可靠性定理)RKB+相对Model(RKB+)是模型可靠的。证明：任给RKB+-模型M = (W, f, g, )。只须验证RKB+的每一公理相对M有效且推理规则相对M保持有效性。验证公理ARK：任给w Î Ky。则f( T , w) Í y。据4.2的(ark)，有f(j, w) Í y，所以

57、w Î Kjy。据4.2的(arb)，同理可验证公理ARB。验证公理RTK：任给w Î Kjy Ù Kj Ù yq。则f(j, w) Í y且f(j Ù y, w) Í q。据后者和2.5，有f(j Ç y, w) Í q，再据4.2的(rtk)，有f(j, w) Í q，所以w Î Kjq。据4.2的(rtb)，同理可验证公理RTB。验证公理RDAK：任给w Î Kj Ú yq。有f(j Ú y, w) Í q， 据引理2.5，有f(j È y, w) Í q，再据定义2.3的(rdak)，有f(j, w) È