弹性力学徐芝纶版第3章

1、第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 取满足相容方程的 一、逆解法和半逆解法一、逆解法和半逆解法（一）逆解法的基本步骤：（一）逆解法的基本步骤：求出应力分量 xyyx,根据边界条件求出面力 考察能解决什么问题 3-1 逆解法与半逆解法逆解法与半逆解法 多项式解答多项式解答024422444yyxx第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 （二）半逆解法的基本步骤：（二）半逆解法的基本步骤：根据问题的特点设出部分应力分量 求出应力函数 是否满足相容方程 求出其他应力分量 结束是否满足边界条件 否是是否第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解

2、答 二、平面问题的多项式解答二、平面问题的多项式解答不难验证： 332222, 1yxxyyxyxyx等项及它们的线性组合均满足相容方程。下面用逆解法确定一下各种多项式能解决的问题。 1.一次式 cybxa当不计体力时，对应的应力状态为： 0 xyyx相应边界条件为： 0yxff可见线性函数对应于无面力无应力的状态。故: 应力函数中加减一次式，不影响应力。应力函数中加减一次式，不影响应力。024422444yyxx第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 2.二次式 22cybxyax先来看 2ax不计体力时， 0,2 , 022222yxaxyxyyx如取矩形板（或无限长柱

3、体），则对应于两侧受拉（a0）或两侧受压(ah，试考察应力函数 能解决什么样的受力问题？)43(2223yhxyhFyxol h/2 h/2 ( l h)第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 解：按逆解法。 1. 将 代入相容方程，可见 是满足的。 有可能成为该问题的解。04 2. 由 求出应力分量,).41 (23, 0,1222222322hyhFyxxhFxyyxyyx第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 3. 由边界形状和应力分量反推边界上的面力。 在主要边界（大边界） 上， 2/hy , 02hyy2/hy 因此，在 的边界面上，无任何面力

4、作用，即0yxff0).41 (232222hyhyxyhyhF第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 在在x = 0，l 的次要边的次要边界（小边界）上，界（小边界）上，).41 (23)(,12)();41 (23)(, 0)(02232200hyhFyhFllxhyhFxlxxylxxxxyxx , ,xyxxy第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 ;, 0;, 0, 00222222220FdyFFlydyMdyFlxFdyFMFxhhlxxyShhlxxhhlxxNhhxxySN , ,其主矢量和主矩其主矢量和主矩第三章第三章 平面问题的直角

5、坐标解答平面问题的直角坐标解答 FFMFl由此，可得出结论：上述应力函数可以解决悬臂梁在x = 0处受集中力F作用的问题。第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲如图，纯弯曲矩形梁，不计体力，试求其应力及位移。 解解：本题可取为平面应力问题或平面应变问题，取决于梁的宽度。先视为平面应力问题，取单位宽度。 h/2 h/2lyx ( l h)oMM第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 应力函数为： 3ay对应的应力分量式： 0, 0,6xyyxay这一函数已满足了相容方程，只要对应的应力满足了应力边界条件，即为正确解答（单连通体

6、）。在上下边界应满足： 0)( , 0)(22hyxyhyy显然满足。 第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 0 , 0lxxy或：而小边界的正应力边界条件显然无法精确满足，只能用圣维南原理使其满足积分边界条件。即：第一三式总能满足，第二式要求： 32hMa 22, 0hhlxxydy22, 0hhlxxdy226hhaydy02226hhdyayM022, 0hhlxxydy第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 即应力解答为： 0, 0,123xyyxyhM注意到梁截面的惯性矩是 1213hI上述解答和材料力学中是一致的。 试用应力函数2cy求图示

7、问题的应力。PPh1IMyx第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 0, 0,2xyyxc利用小边界条件可求得：Pchdyhhx222022dyyhhxhPc 20 xy022hhxydy或：PPh10 , 0 ,xyyxhP第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 下面求位移分量， 0, 0,xyyxyIM代入物理方程（平面应力）得： yEIMxyEIMy0 xy h/2 h/2lyx ( l h)oMM第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 再代入几何方程，得：yEIMxuyEIMyv0 xvyu前两式积分得： yfxyEIMu1

8、xfyEIMv222代入第三式得： 021dxxdfxEIMdyydf移项得： dxxdfxEIMdyydf21第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 可得： dyydf1 dxxdfxEIM2积分得： 0uyxyEIMu（1） 02222vxxEIMyEIMv（2） 022012)()(vxEIMxyfuyyf可得： 上式对任意的 x , y 都必须成立，故两边都必须为同一常量第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 由约束（位移边界）条件确定待定常数（1）设梁两端简支，如图 边界条件为：0, 0 yx处 0, 0vu0, ylx处 0v第三章第三章 平

9、面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 上述边界条件代入位移表达式得：, 0, 000vu0202vllEIM解得各常数代入位移表达式得： ylxEIMu2xlxEIMyEIMv222lEIM2第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 （2）若梁一端固支。如图 边界条件无法精确满足，按照材料力学固定端处： 处处在在0,ylx 0 , 0 , 0 xvvu0v0u处lx 于零，转角也等于零轴线在固定端处位移等第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 上述边界条件代入位移表达式得：, 00u0202vllEIM0lEIM解得： , 00uEIMlvEIMl2

10、,20即位移解答为： yxlEIMu2222xlEIMyEIMv第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 求图示问题的位移（平面应力） 。h10 xyyhPxPxyzxuEyxx)(1yvExyy)(1yvyuExyxy)1 (2第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 EhPxuEhPyv0 xvyu yfxEhPu1 xfyEhPv2代入第三式得： 021dxxdfdyydf移项得： dxxdfdyydf21hEPxhEPy0 xy第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 积分得： 0uyxEhPu（1） 0vxyEhPv（2） 020

11、1)()(vxyfuyyf可得： 边界条件为：0 x处 0, 0vu（1） 000u（2） 无法精确满足。可得： dyydf1 dxxdf2第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 0, 0yx0 , 0 , 0 xvvu0000vu处 PxyzxEhPu yEhPv第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 g2h1hbxy2-8 （1）解：）解： 0022hyhyvu)(1, 0hygbxxx0,010yxyyygh2b2b1gbhFNbhyygbhdx012bhyydxbx0022bhyxydx

12、002下边的等效应力边界条件：0, 0bxxxy第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 （2）解解: :( (a) )在主要边界应精在主要边界应精确满足下列边界条件：确满足下列边界条件：;, 0; 0,12/2/2/2/qqhyxyhyyhyxyhyy (b)在小边界在小边界x = 0应用圣维南应用圣维南原理，列出三个积分的近似原理，列出三个积分的近似边界条件边界条件sxhhxyxhhxNxhhxFyMyyFyd)(,d)(,d)(02/2/02/2/02/2/第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 (c)在小边界在小边界x = lqlFyqllFMlh

13、qyylqFyslxhhxyslxhhxNlxhhxd)(,22d)(,d)(2/2/212/2/12/2/ 00lxlxvu等效应力边界条件：等效应力边界条件：第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 2-9 解：首先根据静力等效的原则：q2qb3b2qb2b122qb二者面力静力等效。第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 2dd)(000qbxqbxxbyby12d2d2)(2000qbxbxqbxxbxbyby0d)(00 xybxy3dd)(2000qbxqxbxxxbyby向小边界中心O1简化：0d)(00 xybxyqxyO)0 ,2(1bO

14、向原点O简化：2dd)(000qbxqbxxbyby第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 2qb2b122qbyx2d)(00qbxyby0d)(00 xybxy2d)(00qbxyby12d2)(200qbxbxyby0d)(00 xybxy32212d)(2200qbbqbqbxxyby向小边界中心O1简化：1OO向原点O简化：第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 2-13（a）平衡方程：00000)(22yybqyxyxyxyxyx（b）边界条件：0 xyy满足上下自由边界条件22bqy第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答

15、 022axxyaxxqby也满足左右边界条件。3 相容方程：02)()(22222222222bqqbyyxyxyx不满足相容方程。所以不是原方程的解。第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 q2-16 解：解：相容方程均成立。相容方程均成立。代入平衡微分方程和代入平衡微分方程和将将0,xyyxqyx验证边界条件：验证边界条件：如图任取一点，设外法线的方向余弦分别为如图任取一点，设外法线的方向余弦分别为l和和m, 则：则：qmfqlfyx xfmql0yfqml)(0是多连通体，验证位移单值条件：是多连通体，验证位移单值条件：qqq代入：将0,xyyxq满足应力边界条件。

16、满足应力边界条件。第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 代入物理方程得：代入物理方程得：将将0,xyyxq0 1 1xyyxqEqEqExu1qEyv10 xvyu代入几何方程得：代入几何方程得： yfqxEu11 xfqyEv21 021dxxdfdyydf第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 dxxdfdyydf21 dyydf1 dxxdf2 0201vxxfuyyf01uyqxEu01vxqyEv满足位移单值条件。满足位移单值条件。第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 2-17 解：（1）由材料力学公式：)4(6 ,12

17、0223*3yhhFbISFxyhFyIMsxyxyyx1hF第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 （2）平衡微分方程0 , 0 12 ,12 33xyyhFyyhFxxyyxyx不计体力时，代入平衡微分方程均满足0yxxyx0 xyxyy)4(6 , 0 ,12 2233yhhFxyhFxyyx第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 满足相容方程。（3）相容方程0 , 0 0 , 0 22222222xyyxyxyx0)(2222yxyx)4(6 , 0 ,12 2233yhhFxyhFxyyx第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解

18、答 022hyxyhyy满足主要边界条件。（4）边界条件。yx1hF)4(6 , 0 ,12 2233yhhFxyhFxyyx第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 x=0小边界，利用圣维南原理（4）边界条件。yx1hF, 0d 02/2/-yxxhh）（, 0d 02/2/-yyxxhh）（,d 02/2/-Fyxxyhh）（)4(6 , 0 ,12 2233yhhFxyhFxyyx第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 x=l小边界，先换为应力边界，再利用圣维南原理以上应力可以认为是正确解答。yxF, 0d 2/2/-ylxxhh）（,d 2/2/-

19、Flyylxxhh）（,d 2/2/-Fylxxyhh）（本题解答已满足平衡方程，则最后一个边界的本题解答已满足平衡方程，则最后一个边界的积积分应力边界条件分应力边界条件必然满足，可以不再校核。必然满足，可以不再校核。FFl)4(6 , 0 ,12 2233yhhFxyhFxyyx第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 3-3 简支梁的受均布载荷力学模型第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 进一步将位移边界条件化为应力边界条件： 第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 解：挤压应力解：挤压应力 y显然不为显然不为0。 由于在上下边界

20、由于在上下边界 y不随不随x变化，设变化，设 yfy则则 yfxy22积分得：积分得： yfyxfx1 yfyxfyfx2122第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 将上式代入相容方程，得：将上式代入相容方程，得： 0222224244144424422444dyyfddyyfddyyfdxdyyfdxyyxx上式可以看作是上式可以看作是x的二次方程，要求在的二次方程，要求在x的定义域的定义域内恒成立，即有无穷多解，则：内恒成立，即有无穷多解，则： 044dyyfd 0414dyyfd 0222424dyyfddyyfd第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐

21、标解答 前两个方程要求：前两个方程要求： GyFyEyyfDCyByAyyf23123,注意：注意： 此处略去了此处略去了 yf1的常数项。的常数项。 WHY?代入以上第三式：代入以上第三式： BAydyyfddyyfd412222424注意：此处略去了注意：此处略去了 yf2的常数项及一次项。的常数项及一次项。 23452610KyHyyByAyf yfyxfyfx2122第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 KHyByAyFEyxBAyxx2622)26()26(2232DCyByAyy23)23()23(22GFyEyCByAyxxy首先考虑对称性：首先考虑对称性：

22、 yx,应是应是x偶函数，偶函数， xy是是x的奇函数。的奇函数。234523232610)()(2KyHyyByAGyFyEyxDCyByAyx第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 KHyByAyFEyxBAyxx2622)26()26(2232DCyByAyy23)23()23(22GFyEyCByAyxxyyx,应是应是x偶函数，偶函数， xy是是x的奇函数。的奇函数。026 FEy0 , 0FE0232GFyEy0 , 0 , 0GFE第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 可得：可得：E=F=G=0 （1） 下面利用边界条件：下面利用边界条件

23、： 先看主要边界条件先看主要边界条件 0)( ,)( , 0)(222hyxyhyyhyyq（2） 将应力分量代入（将应力分量代入（2）中，并注意（）中，并注意（1）得：）得：024823DChBhAhqDChBhAh24823第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 0432xChBAh联立解得：联立解得： 2,23, 0,23qDhqCBhqA对于左右侧面，边界条件无法精确满足，只能引对于左右侧面，边界条件无法精确满足，只能引入圣维南原理，入圣维南原理，220)(hhlxxdy（1） 220)(hhlxxydy（2） 0432xChBAh第三章第三章 平面问题的直角坐标解

24、答平面问题的直角坐标解答 22)(hhlxxyqldy（3） 由（由（1）（）（2）解得：）解得： hqhqlHK10, 032代入（代入（3）经验证成立。）经验证成立。 )4(6223yhhqxxy第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 即应力分量的解答为：即应力分量的解答为：)534()(622322hyhqyhyxlqx2)21)(1 (2hyhyqy)4(6223yhhqxxy第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 ,)(21)( 2xlqxlqMx);()()(3212yfyxfyfxxx x 的二次函数：为可假设),(xlqqlFsxy );

25、()(21yfyxfxyxy x 的一次函数：为可假设本题按 按半逆解法求解时，也可以参照材力参照材力假设应力：由材力sxFM,第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 试取应力0y不计体力求解轴向受拉杆的其它应力。 yfyxf21 024244144422444dyyfddyyfdxyyxxPPh1yx022xy第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 0414dyyfd 0424dyyfd 232231,EyDyyfCyByAyyfCxyyEBxyDAx23)()()23(2)(62CByAyEBxyDAxxyxPPh1yx第三章第三章 平面问题的直角坐

26、标解答平面问题的直角坐标解答 边界条件：上下边界均满足。左边界：0 ,1xyxPEhhhPE 00 xyyxhP由对称性（关于x、y均对称）：A=B=C=D=00,xyxEPPh1yx第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 3-4 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力 应力应力（量纲L-1MT-2 (N/m2)）显然与显然与 g、 g （量纲L-2MT-2 (N/m3)和坐标和坐标（量纲L (m)）有关，所以必为坐有关，所以必为坐标的纯一次式。标的纯一次式。采用量纲分析法：采用量纲分析法：作用：辅助进行应力分析方法：首先找到可能与分析的量相关的所有量，通过分析他们的

27、量纲，找到与所分析量之间的关系。第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 体力: gffyx , 0dycxxfyxx6222（1） gybyaxyfxyy2622（2） cybxyxxy222（3） 所以应力函数必为坐标的纯三次式 ,由此设 :3223dycxyybxax第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 在左面， gyxx000 xxy将（1）（3）式代入得： 02,6cygydy即： 0,6cgd 第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 斜面的方程为： ytgx 方向余弦 sin)90cos(,cos0ml应力边界条件是：0)

28、()(ytgxxyytgxxml0)()(ytgxyytgxxymln由此解得： 3236,2ctggctggactggb 第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 代入得应力解答：223)()2(gxctggygctggctggctggyxyyy 注意：注意：1.1.沿着坝轴，坝身往往具有不同的截面，而且坝身也不是无限沿着坝轴，坝身往往具有不同的截面，而且坝身也不是无限长的。因此，严格说来，这里不是一个平面问题。长的。因此，严格说来，这里不是一个平面问题。2.2.这里假定楔形体下端无限长，因此对于坝身底部来说，上面这里假定楔形体下端无限长，因此对于坝身底部来说，上面的解答是

29、不精确的。的解答是不精确的。3.3.坝顶总有一定的宽度，因此在靠近坝顶处，以上解答也不适坝顶总有一定的宽度，因此在靠近坝顶处，以上解答也不适用。用。第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 思考与练习（P49） 3-4 3-5 3-7 3-8第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 2-17 解：（1）由材料力学公式：)4(6 ,120223*3yhhFbISFxyhFyIMsxyxyyx1hF第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 （2）平衡微分方程0 , 0 12 ,12 33xyyhFyyhFxxyyxyx不计体力时，代入平衡微分方程均满足0yxxyx0 xyxyy)4(6 , 0 ,12 2233yhhFxyhFxyyx第三章第三章 平