2019级第20次课第五节函数的极值与最大值最小值ppt课件

1、第五节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值一、函数极值的定义一、函数极值的定义二、函数极值的求法二、函数极值的求法三、最大值最小值的求法三、最大值最小值的求法四、应用举例四、应用举例上一页下一页返回一、函数极值的定义一、函数极值的定义oxyab)(xfy 1x2x4x5x6xoxyoxy0 x0 x上一页下一页返回.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一个极小值的一个极小值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点的一个极大值的一个极大值是函

2、数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点内的一个点内的一个点是是内有定义内有定义在区间在区间设函数设函数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定义定义函数的极大值与极小值统称为极值函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值点极值的点称为极值点.上一页下一页返回二、函数极值的求法二、函数极值的求法 设设)(xf在点在点0 x处具有导数处具有导数, ,且且在在0 x处取得极值处取得极值, ,那末必定那末必定0)(0 xf. .定理定理1(1(必要条件必要条件) )

3、定义定义.)()0)(的驻点的驻点做函数做函数叫叫的实根的实根即方程即方程使导数为零的点使导数为零的点xfxf 注意注意:.,)(是是极极值值点点但但函函数数的的驻驻点点却却不不一一定定点点的的极极值值点点必必定定是是它它的的驻驻可可导导函函数数xf例如例如,3xy , 00 xy.0不不是是极极值值点点但但 x上一页下一页返回(1)(1)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, , 有有0)( xf，则，则)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值. .(2)(2)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，则，则

4、)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值. .(3)(3)如果当如果当),(00 xxx 及及),(00 xxx时时, , )(xf符号相同符号相同, ,则则)(xf在在0 x处无极值处无极值. .定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件) )xyoxyo0 x0 x (是极值点情形是极值点情形)上一页下一页返回xyoxyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(xf 求导数求导数;0)()2(的根的根求驻点，即方程求驻点，即方程 xf;,)()3(判断极值点判断极值点在驻点左右的正负号在驻点左右的正负号检查检查xf .)4(求极值求极值(不是极值点情形不是极值点情形)上一页

5、下一页返回例例1 1解解.593)(23的的极极值值求求出出函函数数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得得驻驻点点列表讨论列表讨论x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 极大值极大值极小值极小值)3(f极小值极小值.22 )1( f极大值极大值,10 )3)(1(3 xx上一页下一页返回593)(23 xxxxfMm图形如下图形如下上一页下一页返回 设设)(xf在在0 x处处具具有有二二阶阶导导数数, ,且且0)(0 xf, , 0)(0 xf, , 那那末末( (1 1) )当当0)(0 xf时时, , 函函数数)(xf

6、在在0 x处处取取得得极极大大值值; ;( (2 2) )当当0)(0 xf时时, , 函函数数)(xf在在0 x处处取取得得极极小小值值. .定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件) )证证)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 异异号号，与与故故xxfxxf )()(00时时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 时时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 所以所以,函数函数)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值上一页下一页返回例例2 2解解.20243)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf.

7、 2, 421 xx得得驻驻点点)2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故故极极大大值值,60 )2(f, 018 )2(f故故极极小小值值.48 20243)(23 xxxxf图形如下图形如下上一页下一页返回Mm注意注意: :. 2,)(,0)(00仍仍用用定定理理处处不不一一定定取取极极值值在在点点时时xxfxf 上一页下一页返回例例3 3解解.)2(1)(32的极值的极值求出函数求出函数 xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在时时当当xfx 时，时，当当2 x; 0)( xf时，时，当当2 x. 0)( xf.)(1)2(的的极极大

8、大值值为为xff .)(在该点连续在该点连续但函数但函数xf注意注意: :函数的不可导点函数的不可导点, ,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点. .M上一页下一页返回小结极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念: :极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值, ,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值. .驻点和不可导点统称为临界点驻点和不可导点统称为临界点. .函数的极值必在临界点取得函数的极值必在临界点取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)上一页下一页返回三、最值的求法三、最值的求法oxyoxybaoxyabab.,)(

9、,)(在在上的最大值与最小值存上的最大值与最小值存在在为零的点，则为零的点，则并且至多有有限个导数并且至多有有限个导数处可导，处可导，上连续，除个别点外处上连续，除个别点外处在在若函数若函数baxfbaxf上一页下一页返回步骤步骤: :1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比比较大小较大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个就那个小那个就是最小值是最小值;注意注意: :如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值, ,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(.(最大值或最小值最大值或最小值) )上一页下

10、一页返回四、应用举例四、应用举例例例4 4解解)1)(2(6)( xxxf.4 , 314123223上的最大值与最小值上的最大值与最小值的在的在求函数求函数 xxxy得得解方程解方程, 0)( xf. 1, 221 xx计算计算 )3(f;23 )2(f;34 )1(f;7;142 )4(f上一页下一页返回，最大值最大值142)4( f比较得比较得. 7)1( f最最小小值值14123223 xxxy上一页下一页返回实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意: :(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;值值或或最最小小函函数数值值即即为为所所求求的的最最点点，则则该该点点的的若若目

11、目标标函函数数只只有有唯唯一一驻驻)(上一页下一页返回例例5 5 某房地产公司有某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定套公寓要出租，当租金定为每月为每月180元时，公寓会全部租出去当租元时，公寓会全部租出去当租金每月增加金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费而租出去的房子每月需花费20元的整修维护元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？费试问房租定为多少可获得最大收入？解解 设房租为每月设房租为每月 元，元，x租出去的房子有租出去的房子有 套，套， 1018050 x每月总收入为每月总收入为)(xR)20( x 1018050 x

12、上一页下一页返回 1068)20()(xxxR 101)20(1068)(xxxR570 x 0)( xR350 x（唯一驻点）（唯一驻点）故每月每套租金为故每月每套租金为350元时收入最高。元时收入最高。最大收入为最大收入为 1035068)20350()(xR)(10890 元元 上一页下一页返回点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例6 6形面积最大形面积最大所围成的三角所围成的三角及及线线处的切线与直处的切线与直使曲线在该点使曲线在该点上求一点，上求一点，曲边曲边成一个曲边三角形，在成一个曲边三角形，在围围及抛物线及抛物线，由直线由直线808022 xyxyxyxy上一页下一页返回解：解：如图如图,),(00yxP设所求切点为设所求切点为为为则切线则切线PT),(2000 xxxyy ,200 xy ),0,21(0 xA)16, 8(200 xxB ),0, 8(CTxyoPABC)16)(218(212000 xxxSABC )80(0 x上一页下一页返回, 0)1616643(41020 xxS令令解得解得).(16,31600舍舍去去 xx8)316( s. 0 .2174096)31