2019版高中数学全程学习方略配套：1211解三角形的实际应用举例——距离问题ppt课件

1、【考虑】【考虑】【点拨】【点拨】 可到达的两点的距离问题可到达的两点的距离问题【名师指津】解三角形应用问题的一般步骤：【名师指津】解三角形应用问题的一般步骤：(1)(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个数学模型；集中在有关的三角形中，建立一个数学模型；(3)(3)求解：利用正弦定理和余弦定理有顺序地解出三角形，求求解：利用正弦定理和余弦定理有顺序地解出三角形，求得数学模型的解；得数学模型的解；(4)

2、(4)检验：检验上述所求的三角形是否具有实际意义，从而得检验：检验上述所求的三角形是否具有实际意义，从而得出实际问题的解出实际问题的解. .【特别提醒】建立数学模型就是构造出三角形【特别提醒】建立数学模型就是构造出三角形. .【例【例1 1】如图，】如图，ACDACD是等边三角形，是等边三角形，ABCABC是等腰直是等腰直角三角形，角三角形，ACB=90ACB=90，BDBD交交ACAC于于E E，AB=2.AB=2.(1)(1)求求cosCBEcosCBE的值；的值；(2)(2)求求AE.AE.【审题指导】由三角形的性质可求出【审题指导】由三角形的性质可求出CBECBE的度数，从而可解的度数

3、，从而可解出出cosCBEcosCBE的值；求的值；求AEAE，可在，可在ABEABE中利用正弦定理求得中利用正弦定理求得. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)因为因为BCD=90BCD=90+60+60=150=150,CB=AC=CD,CB=AC=CD,所以所以CBE=15CBE=15, ,cosCBE=cos(45cosCBE=cos(45-30-30)=)=(2)(2)在在ABEABE中，中，AB=2AB=2，故由正弦定理得，故由正弦定理得62.4AE2,sin 4515sin 9015122sin302AE62.cos15624【变式训练】在【变式训练】在ABCABC中，已知中，

4、已知A=45A=45，(1)(1)求求cosCcosC的值；的值；(2)(2)若若BC=10,DBC=10,D为为ABAB的中点，求的中点，求CDCD的长的长. .【解析】【解析】(1) (1) 且且0 0B B180180, ,cosC=cos(180cosC=cos(180-A-B)=cos(135-A-B)=cos(135-B)-B)=cos135=cos135cosB+sin135cosB+sin135sinBsinB4cosB .54cosB,523sinB1 cos B.524232().252510 (2)(2)由由1)1)可得可得由正弦定理得由正弦定理得即即解得解得AB=14A

5、B=14，BD=7.BD=7.CD2=BD2+BC2-2BDBCcosBCD2=BD2+BC2-2BDBCcosB=72+102-2=72+102-27 71010 =37, =37,所以所以2227sinC1cos C1()21010 ，BCAB,sinAsinC10AB722102，45CD37.【误区警示】【误区警示】(1)(1)问中的符号容易出现错误从而导致第问中的符号容易出现错误从而导致第(2)(2)问中的结果出现错误问中的结果出现错误. . 不可到达的两点的距离问题不可到达的两点的距离问题【名师指津】测量不可到达的两点的距离要注意的问题：【名师指津】测量不可到达的两点的距离要注意的

6、问题： 测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为求三角形的边长问题，首先是明确题意，根据条件问题转化为求三角形的边长问题，首先是明确题意，根据条件和图形特点寻找可解的三角形，然后利用正弦定理或余弦定理和图形特点寻找可解的三角形，然后利用正弦定理或余弦定理求解，另外基线的选取要恰当求解，另外基线的选取要恰当. .【特别提醒】构造数学模型的时候，尽量把已知元素放在一个【特别提醒】构造数学模型的时候，尽量把已知元素放在一个三角形中三角形中. .【例【例2 2】如图，在河的对岸可以看到两个目】如图，在河的对岸可以看到两个目标物标物M

7、 M，N N，但不能到达，在河岸边选取相距，但不能到达，在河岸边选取相距4040米的两个目标物米的两个目标物P P，Q Q两点，测得两点，测得MPN=MPN=7575，NPQ=45NPQ=45,MQP=30,MQP=30，MQN=45MQN=45, ,试求两个目标物试求两个目标物，N N之间的距离之间的距离. .【审题指导】根据已知条件与求解目标，在相应三角形中，分【审题指导】根据已知条件与求解目标，在相应三角形中，分别利用正弦定理和余弦定理求解别利用正弦定理和余弦定理求解. .【规范解答】根据题意，知【规范解答】根据题意，知PQ=40PQ=40，PMQ=30PMQ=30, ,PNQ=60PN

8、Q=60, ,在在MPQMPQ中，由正弦定理，得中，由正弦定理，得即即在在NPQNPQ中，由正弦定理，得中，由正弦定理，得MQPQsinMPQsinPMQ，PQsinMPQ40sin120MQ40 3.sinPMQsin30NQPQsinNPQsinPNQ，即即在在MQNMQN中，由余弦定理，知中，由余弦定理，知N2=MQ2+NQ2-2MQNQcosMQNN2=MQ2+NQ2-2MQNQcosMQN故故MN2=MN2= 从而从而故两个目标物故两个目标物M M，N N之间的距离是之间的距离是 米米. .PQsinNPQ40sin4540 6NQ.sinPNQsin6033 20040 64 80

9、0240 3cos4533 8 0003，40 15MN3，40 153【互动探究】本题条件若改为：【互动探究】本题条件若改为：MP=PQ=40MP=PQ=40米，米，米，米，MPQ=120MPQ=120,NQP=75,NQP=75, ,又如何求又如何求MNMN的距离呢？的距离呢？【解题提示】可先由余弦定理求出【解题提示】可先由余弦定理求出MQMQ，再求出，再求出MQP,MQP,进而进而求出求出MQN,MQN,然后由余弦定理求得然后由余弦定理求得MN.MN.40 6NQ3【解析】【解析】MP=PQ=40MP=PQ=40，MPQ=120MPQ=120，在，在MPQMPQ中，由余弦中，由余弦定理得

10、定理得MQ2=MP2+PQ2-2MPPQcosMPQMQ2=MP2+PQ2-2MPPQcosMPQ=402+402-2=402+402-2404040cos12040cos120=4 800=4 800，又又MP=PQ,MPQ=120MP=PQ,MPQ=120, ,MQP=30MQP=30, ,MQ40 3.又又NQP=75NQP=75,NQM=45,NQM=45，在，在MNQMNQ中由余弦定理得中由余弦定理得MN2=MQ2+NQ2-2MQNQcosNQMMN2=MQ2+NQ2-2MQNQcosNQM 即两个目标物即两个目标物M M，N N之间的距离为之间的距离为 米米. .240 640 6

11、8 0004 800()240 3cos45,333 40 15MN3，40 153【例】如下图，【例】如下图，a a是海面上一条南是海面上一条南北方向的海防警戒线，在北方向的海防警戒线，在a a上点上点A A处处有一个水声监测点，另两个监测点有一个水声监测点，另两个监测点B B，C C分别在分别在A A的正东方的正东方20 km20 km处和处和54 km54 km处处. .某时刻，监测点某时刻，监测点B B收收到发自静止目标到发自静止目标P P的一个声波，的一个声波，8 s8 s后监测点后监测点A A、20 s20 s后监测点后监测点C C相继收到这一信号相继收到这一信号. .在当时气象条

12、件下，声波在水中的传播速在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是度是1.5 km/s.1.5 km/s.(1)(1)设设A A到到P P的距离为的距离为x kmx km，用，用x x表示表示B B、C C到到P P的距离，并求的距离，并求x x的值；的值；(2)(2)求静止目标求静止目标P P到海防警戒线到海防警戒线a a的距离的距离.(.(结果精确到结果精确到0.01 km)0.01 km)【审题指导】【审题指导】(1)PA(1)PA、PBPB、PCPC长度之间的关系可以通过收到信长度之间的关系可以通过收到信号的先后时间建立起来；号的先后时间建立起来；(2)(2)作作PDaPDa，垂足为，垂

13、足为D D，要求，要求PDPD的长，的长，只需求出只需求出PAPA的长和的长和cosAPDcosAPD即可即可. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)依题意，依题意，PA-PB=1.5PA-PB=1.58=12(km)8=12(km)，PC-PC-PB=1.5PB=1.520=30(km).20=30(km).因而因而PB=(x-12) kmPB=(x-12) km，PC=(18+x) km,PC=(18+x) km,在在PABPAB中，中，AB=20 kmAB=20 km，同理，在同理，在PACPAC中可求得中可求得222222PAABPBcosPAB2PA ABx20 x123x32,2

14、x205x72xcosPAC,3x由于由于cosPAB=cosPAC,cosPAB=cosPAC,即即解得解得(2)(2)作作PDaPDa，垂足为，垂足为D D，在，在RtRtPDAPDA中，中，PD=PAcosAPD=PAcosPABPD=PAcosAPD=PAcosPAB所以静止目标所以静止目标P P到海防警戒线到海防警戒线a a的距离约为的距离约为17.71 km.17.71 km.3x3272x,5x3x132x.71323323x327x17.71 km5x5，【变式备选】如图，为了解某海域海【变式备选】如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的底构造，在海平面内一条直线上的

15、A A，B B，C C三点进行测量，已知三点进行测量，已知AB=50 mAB=50 m，BC=120 mBC=120 m，于，于A A处测得水深处测得水深AD=80 mAD=80 m，于于B B处测得水深处测得水深BE=200 mBE=200 m，于，于C C处测得水深处测得水深CF=110 mCF=110 m，求，求DEFDEF的的余弦值余弦值. . 【解析】作【解析】作DMACDMAC交交BEBE于点于点N N，交，交CFCF于点于点M.M.在在DEFDEF中，由余弦定理得，中，由余弦定理得，cosDEFcosDEF222222222222DFMFDM3017010 298DEDNEN50

16、120130EFBEFCBC90120150，222222DEEFDF2DE EF1301501029816.2 130 15065【典例】【典例】(12(12分分) )如图，如图，OABOAB是等是等边三角形，边三角形，AOC=45AOC=45，A A、B B、C C三点共线，三点共线，(1)(1)求求sinBOCsinBOC的值；的值；(2)(2)求线段求线段BCBC的长的长. .【审题指导】求【审题指导】求sinBOCsinBOC的值，可以利用两角和的正弦公的值，可以利用两角和的正弦公式求得，再利用正弦定理求式求得，再利用正弦定理求BCBC即可即可. .OC2，【规范解答】【规范解答】

17、(1)(1)OABOAB是等边三角形，是等边三角形，AOC=45AOC=45,BOC=45,BOC=45+60+60, ,sinBOC=sin(45sinBOC=sin(45+60+60) 4) 4分分=sin45=sin45cos60cos60+cos45+cos45sin60sin60= 6= 6分分(2)(2)在在OBCOBC中，中， 88分分 12 12分分 26.4OCBC,sinOBCsinBOCOCBCsinBOCsinOBC26231.4sin603 【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】在【即时训练】在AB

18、CABC中，已知中，已知B=45B=45，D D是是BCBC边上的一点，边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6,AD=10,AC=14,DC=6,(1)(1)求求ADCADC的大小；的大小；(2)(2)求求ABAB的长的长. .【解析】【解析】(1)(1)在在ADCADC中，中，AD=10AD=10，AC=14AC=14，DC=6DC=6，由余弦定理得由余弦定理得 ADC=120ADC=120. .222ADDCACcosADC2AD DC10036 1961,2 10 62 (2)(2)由由1)1)得得ADB=60ADB=60, ,在在ABDABD中，中，AD=10AD=10，B=45

19、B=45，ADB=60ADB=60，由正弦定理得由正弦定理得ABAD,sinADBsinB310AD sinADB10sin602AB5 6.sinBsin45221.1.已知已知A A、B B两地相距两地相距10 km,B10 km,B、C C两地相距两地相距20 km,20 km,且且ABC=120ABC=120，则，则A A、C C两地相距（两地相距（ ）（A A10 km 10 km （B B） km km （C C） km km （D D） km km【解析】选【解析】选D.AC2=AB2+BC2-2ABBCcos120D.AC2=AB2+BC2-2ABBCcos120=700=70

20、0，AC= (km).AC= (km).10 310 510 710 72.2.如下图，在河岸如下图，在河岸ACAC测量河的宽度测量河的宽度BCBC，测量下列四组数据中，测量下列四组数据中，较适宜的是（较适宜的是（ ）（A Ac c与与a a （B Bc c与与b b （C Cc c与与 （D Db b与与【解析】选【解析】选D.D.在在a,b,c,a,b,c,五个量中，五个量中，a,c,a,c,不易测量，故不易测量，故选选D.D.3.3.江岸边有一炮台高江岸边有一炮台高3030米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为角分别为4545和和3030，且两条船与炮台底部都在一条线上，则，且两条船与炮台底部都在一条线上，则两船相距两船相距( )( )(A) (A) 米米 (B)30(B)30米米(C) (C) 米米 (D)