2019年11月10日考研第三章中值定理专题上ppt课件

1、第三章第三章中值定理及其应用中值定理及其应用二、洛比达法则及其应用二、洛比达法则及其应用一、一、 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用中值定理及导数的应用三、导数应用三、导数应用-研究曲线的性态研究曲线的性态二、中值定理的应用二、中值定理的应用一、几个中值定理一、几个中值定理中值定理及其应用罗尔定理：罗尔定理：( , )a b ( )0f (1)( ) , f xC a b (2)( )( , )f xD a b (3)( )( )f af b ( ) , f xC a b ( , )a b ( )( )( ),f bf afb a ( )( , )f xD a b 拉格朗日定理：拉格朗日

2、定理：柯西定理：柯西定理：1. 微分中值定理微分中值定理 ( ),( ) , F xf xC a b ( ),( )( , )F xf xD a b ( )( )( ),( )( )( )ff bf aFF bF a ( , )a b ( )0F x 且且一、一、 几个中值定理几个中值定理其中余项其中余项0() )no x x当当00 x 时为麦克劳林公式时为麦克劳林公式 .(1)10( )( )()(1)!nnnfR xxxn ( )2(0)(0)( )(0)(0)()2!nnnfff xffxxxxn 200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf)()(!)(00)(xR

3、xxnxfnnn 0(xx 在在与与 之之间间) )若函数若函数0( )()f xx 在在内具有内具有 n + 1 阶导数阶导数, 泰勒中值定理：泰勒中值定理：0()xx 则则当当时时，有有公公式式： 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 ( )( )f af b 微分中值定理之间的相互关系微分中值定理之间的相互关系 罗尔定理罗尔定理 ( )0f xyoab)(xfy ( )( )( )( )( )( )f bf afF bF aF ( )( )( )f bf afba ( )( )( )F xxf af b (1)110(1)!( )()nnnfxx 柯西中值定理柯西中值定理 ( )F xx x

4、yoab)(xfy 泰勒中值定理泰勒中值定理 000( )()()()f xf xfxxx ( )100!()()nnnfxxx0n 2. 零点定理与介值定理零点定理与介值定理1)零点定理零点定理 ：( ) , ,f xC a b 若若则至少有一点则至少有一点( , ),a b 且且使使( )0.f ( ) ( )0f a f b (又叫根的存在定理又叫根的存在定理).( )0( , )f xa b 即即方方程程在在内内至至少少存存在在一一个个实实根根. .2)介值定理：介值定理：( ) , ,( ),f xC a bf aA 设设且且( ),f bB AB 则对则对 A 与与 B 之间的任一

5、数之间的任一数 C ,( , ),( ).a bfC 使使推论推论: 在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值大值之间的任何值之间的任何值 .( ) , ,( , ),( )f xC a bmCMa bfC 使使即即：( ) , ,( )f xC a bmCMa bfC 使使或或3. 费马定理费马定理00( )f xxx设设函函数数在在点点 处处, ,且且在在点点可可导导处处. 0)(0 xf取得极值取得极值4. 积分中值定理积分中值定理( ) , f xC a b 若若 , ( )d( )(,)baa bf xxfb a 使使实质实质:把积分转化为

6、被积函数在某点的函数值把积分转化为被积函数在某点的函数值.( ) , 2416.()f xC aPba b 例例 若若证证区区间间明明在在, ,，开开内内,( )d( )() .baf x xfb a 至至少少存存在在一一点点 使使( )dbaf xx 积分中值定理积分中值定理( )()Fb a ( )( )F bF a 微分中值定理微分中值定理( )()fb a 说明：说明：牛顿牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式( )( )F xf x 设设研究函数或导数的性态研究函数或导数的性态导数的应导数的应用及求不定式的极限用及求不定式的极限1. 证明恒等式证明恒等式.2. 证明不等式证明不等式.3. 证

7、明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论.关键关键: 利用逆向思维利用逆向思维设辅助函数设辅助函数经验经验1:0( ),f xICx 欲欲证证时时0,xI 且且00().f xC 使使( )0,Ifx 只只需需证证明明在在 上上二、中值定理的主要应用二、中值定理的主要应用利用中值定理证明不等式的步骤利用中值定理证明不等式的步骤:(3) 根据根据 a b 的关系的关系,证明出不等式证明出不等式.(2) 利用中值定理利用中值定理,(1) 设出辅助函数和区间，设出辅助函数和区间，经验经验2：经验经验3: 欲证欲证( , )( )0.a b 使使(1)设函数设函数( )x ，(2)验证函数验证函数

8、在区间在区间 上满足罗尔定理上满足罗尔定理.( )x , a b例例1. 证明等式证明等式arcsinarccos, 1,1.2xxx 证证( )arcsinarccos,f xxx 设( 1,1) 则则在在上上( )fx 由推论可知由推论可知( )arcsinarccosf xxxC (常数常数) 令令 x = 0 , 得得.2C 又又( 1),2f 211x 211x 0 1,1 故故所所证证等等式式在在定定义义域域上上成成立立. .1.证明恒等式证明恒等式典型例题分析典型例题分析arcsinarccos, 1,1.2xxx 12010,0231nnaaaa aaan 设设是是满满足足方方

9、程程例例2的一组实数的一组实数,20120nnaa xa xa x 证证明明方方程程至至少少有有一一个个小小于于1 1的的正正根根. .分析：分析：20120nnaa xa xa x 若若 是是的的根根，20120nnaaaa 则则有有，则构造一函数则构造一函数,使使2012( )0nnaaaa ，2012( )nnxaa xa xa x ，231120( )231nnaaaxa xxxxn 即即，用罗而定理用罗而定理证明证明231120( )231nnaaaxa xxxxn 设设，( )0,1x 则则在在上上连连续续，例例2的一组实数的一组实数,20120nnaa xa xa x 证证明明方

10、方程程至至少少有有一一个个小小于于1 1的的正正根根. .12010,0231nnaaaa aaan 设设是是满满足足方方程程0,1在在()()上上可可导导，120(0)0(1)0231naaaan 且且，由罗而定理，由罗而定理，(0,1) , ,使使得得( )0 ，2012( )nnxaa xa xa x 而而，2012( )0.nnaaaa 证毕证毕1.1.将将结结论论改改写写为为方方程程；x 2 2. .将将方方程程中中的的 换换成成 ；( )( ).xx 3 3. .方方程程的的一一端端就就是是或或( ) , ,0,f xa ba bab 设设在在上上连连续续, ,在在( () )内内

11、可可导导例例3( )( ),af bbf a 且且( )(),( ).fa bf 证证明明: :必必, ,使使得得分析分析: (1)分析法分析法( )( )( )0,ff 难！难！从结论出发从结论出发,把结论改写为把结论改写为( )( )( )0,ff ( )( )( )0,xxfxf x 则则得得( )( ),f xxx (2)积分法积分法从结论出发从结论出发( )( )f xfxx ( )1( )fxf xx ( )1dd( )fxxxf xx ln( )lnln,f xxC ( )1dd( )fxxxf xx ln( )lnlnf xxC ( ),f xxC ( )( ).f xxx 令

12、令证明证明( )( )f xxx 设设，( ) , xa b 则则在在上上连连续续，( )( )( )( )f af babab = = =，( )( ),af bbf a ( )( ),f af bab ( ) , ,0,f xa ba bab 设设在在上上连连续续, ,在在( () )内内可可导导例例3( )( ),af bbf a 且且( )(),( ).fa bf 证证明明: :必必, ,使使得得由罗而定理，由罗而定理，( , )a b , ,使使得得( )0 ，( )( )( )( )f af babab = = =，2( )( )( )xfxf xxx 而而，( )( )f xxx

13、 设设，( ) , ,0,f xa ba bab 设设在在上上连连续续, ,在在( () )内内可可导导例例3( )( ),af bbf a 且且( )(),( ).fa bf 证证明明: :必必, ,使使得得2( )( )0ff ，( )( )0,ff 则则有有( )( ).ff 即即有有( )( )f xf x设设可可导导，证证明明: :在在的的任任何何两两个个点点之之间间必必例例4( )( ).()f xfx 有有函函数数的的零零点点 其其中中 为为实实数数分析分析:( )0( ).f xf x 零零点点: :根根叫叫的的零零点点( )( )f xfx 若若 是是的的零零点点，( )(

14、)ff 则则必必有有= =0 0，( )?( )( ),ff ( )( ),xxef x 于于是是设设1212,( ),x xf xxx 并并设设为为的的两两个个零零点点, ,且且12( ),xx x 则则在在上上连连续续，( )( )( ),xxxefxef x ( )( )xefxf x 12(,)x x在在内内存存在在，( )( )xefxf x 12(,)x x在在内内存存在在，并且有并且有111()()xxef x 0, 222()()xxef x 0, 由罗而定理，由罗而定理，12(,)xx , ,使使得得( )0 ，( )( )( ),xxefxf x 又又( )( )( )0e

15、ff ，0e 又又， ( )( )0ff ，( )( )f xfx 是是函函数数的的零零点点. .( )( )f xf x设设可可导导，证证明明: :在在的的任任何何两两个个点点之之间间必必例例4( )( ).()f xfx 有有函函数数的的零零点点 其其中中 为为实实数数( ) , ( ,( ),f xa ba f a设设在在上上二二阶阶可可导导，连连接接点点例例5( ,( )( )( ,( ),b f byf xc f c 的的直直线线与与曲曲线线交交于于点点其中其中,:( , ),( )0.acba bf 证证明明 必必使使得得( )f aabc( ,( )b f b( ,( )c f c分析分析( )( )( )( ),f cf af bf ccabc 由拉格朗日中值定理得由拉格朗日中值定理得12( , ),( , ),a cc b 1( )( )(),f cf afca 12()(),ff 2( )( )(),f bf cfbc 12( ),fx 在在上上满满足足罗罗而而例例5(