第六次课、连续函数的性质ppt课件

1、一、连续函数的局部性质0 xf 在在点点若若函函数数所谓连续函数局部性质就是指所谓连续函数局部性质就是指: :延续延续( (左连续或右连续左连续或右连续),),则可推知则可推知 f f 在点在点 x0 x0 的某的某 号性、四则运算的保连续性等性质号性、四则运算的保连续性等性质. 个局部邻域个局部邻域(左邻域或右邻域左邻域或右邻域)内具有有界性、保内具有有界性、保0|( )|()| 1.f xf x 0|,xx 当当时时0|( )()|1,f xf x 故故| f (x) | 的一个明确的上界的一个明确的上界.0fx因因为为在在连连续续，存存在在所所以以对对,1 证证,0 1, 取取这这个个特

2、特定定的的值值留意留意: :我们在证明有界性时我们在证明有界性时, ,0, “对对于于任任意意的的” 这这样样可可求求得得而不是用术语而不是用术语00. . (, ).fxfU x3 2 1若函数在点连（局部有界性续，则 在某定邻）域内有界理00(,),xxx 当当时时 有有, 0 存存在在000|( )()|(),f xf xf xr 0000000,()0()0 ),()(),(, ),(, ) 3.2.( )0).) ( 2 f xrfxf xf xrf xrf xUf xrxxU x 若若函函数数在在点点连连续续 且且或或则则对对任任何何正正数数 或或存存在在某某邻邻域域使使定定得得对

3、对一一切切皆皆有有（局局部部理理保保号号性性）或或 000,fxfxr 因因为为在在连连续续 所所以以对对正正数数证证(2)( )( ),f xg x (1)( )( ),f xg x .2)(0 xfr 注注 在具体应用保号性时在具体应用保号性时, ,我们经常取我们经常取 . 0)( rxf 于是证得于是证得0( ),( )连续函数若函数均在点连续，则函数的四则运算:f xg xx0(4)( )/ ( ),()0f xg xg x(3)( )( ),f xg x 0.x在在点点也也是是连连续续的的此定理的证明可以直接从函数极限的四则运算得此定理的证明可以直接从函数极限的四则运算得01( )n

4、nP xaa xa x 也是连续函数也是连续函数. .我们知道我们知道, ,常函数常函数 与线性函数与线性函数 都是都是 R R 上上 y = cy = x到到, 具体过程请读者自行给出具体过程请读者自行给出.的连续函数的连续函数, 故由四则运算性质故由四则运算性质, 易知多项式函数易知多项式函数 0101( )( )nnmmaa xa xP xQ xbb xb x 同理同理, ,有理函数有理函数( (分母不为零分母不为零) )同样是连续函数同样是连续函数. .下面这个定理刻划了连续这个性质在复合运算下下面这个定理刻划了连续这个性质在复合运算下00,().uf x 连连续续0( ).g f x

5、x则则复复合合函函数数在在点点连连续续0( )g uu在在点点0( )f xx若若函函数数在在点点连连续续，定理定理3.2.33.2.3是不变的是不变的.,01 存存在在01|,uu 当当时时 有有0| ( )()|,g ug u 证证 ,0 因因此此对对于于任任意意的的0( ),g uu由由于于在在点点连连续续01( ),0 ,f xx 又又因因为为在在点点连连续续 故故对对上上述述00,|,xx存存在在当当时时有有001|( )()| |,f xf xuu 00| ( ( )( ()| | ( )()|,g f xg f xg ug u 于是于是0( ( ).g f xx这这就就证证明明了

6、了在在点点连连续续 对这个定理我们再作一些讨论对这个定理我们再作一些讨论, ,以加深大家对该定以加深大家对该定000(1)lim ( ), lim( ),uuxxg uAf xu由由不不一一定定有有请大家仿照定理请大家仿照定理4.5 的证明的证明, 看看究竟哪里通不过看看究竟哪里通不过.0lim( ).xxg f xA理的认识理的认识. .1, 0,( )0, ( )( ( )0,0, 0,令 则 uuf xg ug f xu 0 lim ( )1.但 ug u ).(lim()()(lim000 xfgugxfgxxxx )*(应用定理应用定理4.5,4.5,就得到所就得到所0( ).f x

7、x使使得得在在点点连连续续( (* *) )式相应的结论仍旧是成立的式相应的结论仍旧是成立的. .,)(lim,)()2(000uxfuugxx 连续连续在在若若则有则有00lim( )xxf xu 若若将将改为改为 需要的结论需要的结论. .,)(lim0uxfx 0)(limuxfx ,)(lim0uxfx 或或事实上事实上, ,只要补充定义或者重新定义）只要补充定义或者重新定义）00()f xu 上述上述(1)(1)和和(2)(2)究竟有什么本质的区别呢究竟有什么本质的区别呢? ? 请读者请读者作作. 0)1(limsin()1sin(lim2121xxxx).1sin(lim21xx

8、求求例例122sin(1)( )sin ,(1)xg uu ux可可视视为为的的复复解解合，所以合，所以出进一步的讨论出进一步的讨论. .例例2.sin2lim0 xxx求求解解( )1,g uuu 因因为为在在连连续续 所所以以. 112)sin2(limsin2lim10 xxxxxx例例3.)11sin(limxxx 求求解解1lim(1)e ,sine,xxuux 因因为为在在点点连连续续所以所以. esin)11sin(lim xxx113.2.1()( ):)ffffyf xDRfRDfy若函数在其定义域 上是严格单调增加（减少）的，是其值域，则存在定理反函数反函数 ，并且反函数

9、也是严格单调增加（减存在定理少）的。1( ):fffff xfDRfRD由 的严格单调性不难证明 是双射，从而从在逆映射证明：。1( )( )f xfy如果 是严格单调增加的，则 也是严格单调增加的。11( ), ( )fyyRxfyxfy事实上，若 ，记 ，则必有,xxxxxx因为如果不然，则或者 ，或者 ，( )( ),xxf xyyf x如果 ，则与映射的定义相矛盾；, ( )( ),xxf xyyf xf如果 则与 的单调性相矛盾。1( ) , ( ),3.2.2( ) ,)( ),yf xa bf af bfy 若函数在闭区间 上连续且严格单调增加，则其值域是 ，并且它的反定理反函数

10、的函 数在 上连续且严格单连续性调增加。: , ,fa b i证明： )我们须证明 是满射。 , , :( )yySxa bf xy 对任意的 ，记 ，yS则 非空，有上界，从而有上确界。supyxS记 ，则由上确界的性质，1,nynnxSxxxn 使得 ，1(),nfxf xyn于是 1yxSn由于 ，11,fxyfxnn( )f x由于 连续，1fxyn因此 ，1( )fyii)我们还须证明 的连续性。000( ,)()0yf xy 设 ，则对任意的 ，0000min(),()yf xf xy取 ，0yy则当 时，00()(),f xyf x1 f由于 是严格单调递增的，因此100( ),

11、xfyx11100()( )(),fyfyfy即 110.( )()fyfy区间端点处的左、右连续性请读者自（己完成。）11lim(0)(0)lim,nnfxf xf xfxnn1lim( ).nyfxf xn4 一切初等函数在其定义域内都定理3.2.是连续的。2limsinxx例4.计算的定义域属于初等函数解：因为xxsin22limsinsin1.2xx所以 2211lim21xxxx例5.计算的定义域属于函数且时，而的定义域，不属于初等函数解：因为1211121) 12)(1() 1)(1(1210112112222xxxxxxxxxxxxxxxxx2211112limlim.21213xxxxxxx1lnlim1xxx例6.计算1111) 11ln