线性代数3-3(第四版)赵树嫄

1、首页上一页下一页结束线性代数 (第四版)教学课件33 向量组的线性相关性 (一)线性相关与线性无关 (二)关于线性组合与线性相关的定理 齐次线性方程组可以写成向量形式x1 1x2 2 xn n0我们关心齐次线性方程组除零解外是否还有非零解 即是否存在一组不全为零的数k1 k2 kn使关系式k1 1k2 2 kn n0成立 线性代数 (第四版)教学课件首页上一页下一页结束举例 (一)线性相关与线性无关 定义37(向量组的线性相关性) 对于向量组 1 2 s 如果存在一组不全为零的数k1 k2 ks 使关系式 k1 1k2 2 ks s0成立 则称向量组 1 2 s线性相关 如果上式当且仅当k1k

2、2 ks0时成立 则称向量组 1 2 s线性无关 设 1(3 6)T 2(2 4)T 则有2 13 20 所以 1 2线性相关 线性代数 (第四版)教学课件首页上一页下一页结束举例 (一)线性相关与线性无关 定义37(向量组的线性相关性) 对于向量组 1 2 s 如果存在一组不全为零的数k1 k2 ks 使关系式 k1 1k2 2 ks s0成立 则称向量组 1 2 s线性相关 如果上式当且仅当k1k2 ks0时成立 则称向量组 1 2 s线性无关 设 1(1 2)T 2(1 1)T 则当且仅当k1k20时才有 k1 1k2 20所以 1 2线性无关 线性代数 (第四版)教学课件首页上一页下一

3、页结束定理35(线性相关的判断法) 对于m维列向量组 1 2 n 其中 j(a1j a2j amj)T ( j1 2 n)则 1 2 n线性相关的充分必要条件是 以 1 2 n为列向量的矩阵的秩小于向量的个数n 推论1 设n个n维向量 j(a1j a2j anj)( j1 2 n) 则向量组 1 2 n线性相关的充分必要条件是 1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa 线性代数 (第四版)教学课件首页上一页下一页结束推论2 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时 此向量组线性相关 例1 证明Rn中的初始单位向量组 1 2 n线性无关 因为|In|10 所以 1 2 n线性无关

4、 因为当 0时 对任意k0 都有k 0成立 而当 0时 当且仅当k0时k 0才成立 例2 一个零向量线性相关 而一个非零向量线性无关 线性代数 (第四版)教学课件首页上一页下一页结束 例3 判断向量组 1(1 2 1 5) 2(2 1 1 1) 3(4 3 1 11)是否线性相关 对矩阵( 1T 2T 3T)施以初等变换化为阶梯形矩阵 解 12421311151 11A1240550330991 2 40 1 10 0 00 0 0秩( 1T 2T 3T) 23 所以向量组 1 2 3线性相关 12421311151 11A1240550330991 2 40 1 10 0 00 0 0124

5、21311151 11A1240550330991 2 40 1 10 0 00 0 0 线性代数 (第四版)教学课件首页上一页下一页结束 例4 判断向量组 1(1 2 0 1) 2(1 3 0 1) 3(1 1 1 0)是否线性相关 对矩阵( 1T 2T 3T)施以初等变换化为阶梯形矩阵 解 111231001110111011001021矩阵( 1T 2T 3T)的秩为3 恰等于向量组中向量的个数 故向量组 1 2 3线性无关 1112310011101110110010211112310011101110110010211 110 110 010 031 110 110 010 031

6、110 110 010 00 线性代数 (第四版)教学课件首页上一页下一页结束 例5 证明 如果向量组 线性无关 则向量组 亦线性无关 设有一组数k1 k2 k3使 k1( )k2( )k3( )0成立 整理得 (k1k3) (k1k2) (k2k3) 0 因为向量组 线性无关 故 证 131223 0 0 0kkkkkk 所以该方程组只有零解k1k2k30 从而 线性无关 提示1 0 11 1 02 00 1 1D 该方程组的系数行列式D20线性代数 (第四版)教学课件首页上一页下一页结束定理36 如果向量组中有一部分向量(称为部分组)线性相关 则整个向量组线性相关 此定理也可叙述为 线性无

7、关的向量组中任何一部分组皆线性无关 例6 含零向量的向量组线性相关 因零向量线性相关由定理36可知 该向量组也线性相关 线性代数 (第四版)教学课件首页上一页下一页结束(二)关于线性组合与线性相关的定理 定理37 向量组 1 2 s(s2)线性相关的充分必要条件是 其中至少有一个向量是其余s1个向量的线性组合 举例 设有向量组 1(1 1 1 0) 2(1 0 1 0) 3(0 1 0 0) 因为 1 2 30 故 1 2 3线性相关 由 1 2 30可得 1 2 3 2 1 3 3 1 2线性代数 (第四版)教学课件首页上一页下一页结束(二)关于线性组合与线性相关的定理 定理37 向量组 1

8、 2 s(s2)线性相关的充分必要条件是 其中至少有一个向量是其余s1个向量的线性组合 举例 设 1(1 2) 2(1/2 2) 有 12 2 由此可得 12 20即 1 2线性相关 定理38 如果向量组 1 2 s 线性相关 而 1 2 s线性无关 则向量 可由向量组 1 2 s线性表示且表示法唯一 线性代数 (第四版)教学课件首页上一页下一页结束(二)关于线性组合与线性相关的定理 定理37 向量组 1 2 s(s2)线性相关的充分必要条件是 其中至少有一个向量是其余s1个向量的线性组合 定理38 如果向量组 1 2 s 线性相关 而 1 2 s线性无关 则向量 可由向量组 1 2 s线性表示且表示法唯一 举例 任何一个向量 (a1 a2 an)都可由初始单位向量组 1(1 0 0) 2(0 1 0) n(0 0 1)唯一地线性表示 即 a1 1a2 2 an n线性代数 (第四版)教学课件首页上一页下一页结束举例定理39 设有两个向量组 1 2 s (A)及 1 2 t (B)向量组(B)可由向量组(A)线性表示 如果st 则向量组(B)线性相关 定理又可以叙述为 如果向量组(B)可由向量组(A)线性表示 且向量组(B)线性无关 则ts 线性代数 (第四版)教学课件首页上一页下一页结束定理39 设有两个向量组 1 2 s (