第二章_逻辑代数基础

1、主要要求：主要要求： 理解逻辑值理解逻辑值 1 和和 0 的含义的含义。2.1 概概 述述理解逻辑体制的含义理解逻辑体制的含义。逻辑代数中的逻辑变量和函数只有逻辑代数中的逻辑变量和函数只有 1 和和 0两两种可能取值，种可能取值， 1 和和 0不表示数量大小，仅表不表示数量大小，仅表示两种相反的状态。示两种相反的状态。 注意注意二、逻辑体制二、逻辑体制 正逻辑体制正逻辑体制 负逻辑体制负逻辑体制 规定高电平为逻辑规定高电平为逻辑 1、低电平为逻辑、低电平为逻辑 0 规定低电平为逻辑规定低电平为逻辑 1、高电平为逻辑、高电平为逻辑 0 通常未加说明，则为正逻辑体制通常未加说明，则为正逻辑体制 用

2、于描述客观事物逻辑关系的数学工具，又称布尔代数用于描述客观事物逻辑关系的数学工具，又称布尔代数 ( (Boole Algebra) )或开关代数。由英国数学家乔治布尔创建或开关代数。由英国数学家乔治布尔创建一、一、逻辑代数逻辑代数主要要求：主要要求： 掌握掌握逻辑代数的三种基本运算及其复合逻辑代数的三种基本运算及其复合逻辑运算逻辑运算。2.2逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算一、基本逻辑运算一、基本逻辑运算 基本逻辑运算基本逻辑运算 与逻辑与逻辑 或逻辑或逻辑 非逻辑非逻辑与运算与运算( (逻辑乘逻辑乘) ) 或或运算运算( (逻辑加逻辑加) ) 非运算非运算( (逻辑非逻辑非)

3、 ) 1. 与逻辑与逻辑 决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生灭灭断断断断亮亮合合合合灭灭断断合合灭灭合合断断灯灯 Y开关开关 B开关开关 A开关开关 A、B 都闭合时，都闭合时，灯灯 Y 才亮。才亮。 1. 与逻辑与逻辑 决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生灭灭断断断断亮亮合合合合灭灭断断合合灭灭合合断断灯灯 Y开关开关 B开关开关 A规定规定:开关闭合为逻辑开关闭合为逻辑 1断开为逻辑断开为逻辑 0 灯亮为逻辑灯亮为逻辑 1灯灭为逻辑灯灭为逻辑 0 真值表真值表11 1YA B00 00

4、0 101 0逻辑表达式逻辑表达式 Y = A B 或或 Y = AB与门与门 ( (AND gate) )若有若有 0 出出 0；若全；若全 1 出出 1 A A = A1 1 A = A0 0 A = 0 02.或逻辑或逻辑 决定某一事件的诸条件中，只要有一个或一决定某一事件的诸条件中，只要有一个或一个以上具备时，该事件就发生。个以上具备时，该事件就发生。灭灭亮亮亮亮亮亮断断断断合合合合断断合合合合断断灯灯 Y开关开关 B开关开关 A若有若有 1 出出 1若全若全 0 出出 0 00 011 1YA B10 111 0逻辑表达式逻辑表达式 Y = A + B 或门或门 ( (OR gate

5、) ) 1 1 + A= 1 10 0 + A = AA + A = A3.3.非逻辑非逻辑决定某一事件的条件满足时，决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生事件不发生；反之事件发生。 开关闭合时灯灭，开关闭合时灯灭， 开关断开时灯亮。开关断开时灯亮。 AY0110 非非门门( (NOT gate) ) 又称又称“反相器反相器” ANOTY A4.4.几种常用的复合逻辑运算几种常用的复合逻辑运算(NAND)(NAND)由基本逻辑运算组合而成由基本逻辑运算组合而成 先与后非先与后非若有若有 0 出出 1若全若全 1 出出 010 001 1YA B10 111 04、几种常用的复合逻辑

6、运算、几种常用的复合逻辑运算( NOR )( NOR )先或后非先或后非若有若有 1 出出 0若全若全 0 出出 101 110 0YA B00 101 0AYABY BAY4、几种常用的复合逻辑运算、几种常用的复合逻辑运算(AND OR INVERT)(AND OR INVERT)先与后或再非先与后或再非)(CDABY 异或若相异出若相异出 1若相同出若相同出 000 001 1YA B10 111 0若相同出若相同出 1若相异出若相异出 010 011 1YA B00 101 0BABA ABBA 例例 试对应输入信号波形分别画出下图各电路的输出波形。试对应输入信号波形分别画出下图各电路的

7、输出波形。解：解：Y1有有0出出0 全全1出出1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1Y2Y3 相同出相同出 0 相异出相异出 12.3 2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式掌握逻辑代数的掌握逻辑代数的基本公式和常用公式基本公式和常用公式。 2.3.1 基本公式基本公式 根据与、或、非的定义，得表根据与、或、非的定义，得表2.3.1的布尔恒等式的布尔恒等式序号序号公公 式式序号序号公公 式式10 1 1 = 0 0; 0 0= 1 110 0 A = 0 0111 1 + A= 1 121 1 A = A120 0 + A = A3A A

8、= A13A + A = A4A A= 0 014A + A = 1 15A B = B A15A +B = B + A6A (B C) = (A B) C16A + (B +C) = (A + B) + C7A (B +C) = A B + A C17A + B C = (A +B)(A +C)8(A B) = A + B18(A+ B) = AB9(A ) = A公式（公式（1717）的证明（公式推演法）：）的证明（公式推演法）：)(CABA右BCABACAABCABACABCA111111111100 例例 证明等式证明等式 A + BC = (A + B) (A + C)解：解： 真值

9、表法真值表法0000A B C A + BC (A + B) (A + C)0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 12.3.2 若干常用公式若干常用公式序序 号号公公 式式21A + A B = A22A +A B = A + B23A B + A B = A24A ( A + B) = A25A B + A C + B C = A B + A CA B A C + B CD = A B + A C26A (AB) = A B ; A (AB) = A 思考：思考：( (1) ) 若已知若已知 A + B = A + C，则，则 B = C 吗？吗？ (

10、 (2) ) 若已知若已知 AB = AC，则，则 B = C 吗？吗？ 掌握逻辑代数的掌握逻辑代数的基本定理基本定理。 2.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理 -在任何一个包含在任何一个包含A的逻辑等式中，若以另的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中外一个逻辑式代入式中A的位置，则等式依然成立。的位置，则等式依然成立。利用代入定理能扩展基本公式和常用公式。利用代入定理能扩展基本公式和常用公式。 - -对任一逻辑式对任一逻辑式原变量反变量反变量原变量 ，0110YY2.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理2 2、反逻辑式反逻辑式保留保留原逻辑式的原逻辑式的运算优先顺序运算优先顺序1

11、 1、原逻辑式中原逻辑式中不属于单个变量不属于单个变量的上的的上的反号保留不变反号保留不变2.4.2 反演定理反演定理 应用举例：应用举例：CDCBAY )()(YCDCABY求求 DACBCAY?)(?)(BAAB例如：例如：定义：对于任意一个逻辑式定义：对于任意一个逻辑式Y Y，若将其中的，若将其中的“ ”“ ”换成换成“+”+”， “+”+”换成换成“ ”“ ”， “ “1”1”换成换成“0”0”， “ “0”0”换成换成“1”1”，则得，则得到的结果就是到的结果就是Y Y的对偶式的对偶式Y YD D. .若两逻辑式相等，则它们的对偶式若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。也相等。A+B

12、C=(A+B)(A+C)A+BC=(A+B)(A+C)Y YD D=A=A（B+CB+C）Y=A+BCY=A+BCF=F=（A+B)(A+CA+B)(A+C）F FD D=AB+AC=AB+AC所以所以: :1 1、对偶式、对偶式保留保留原逻辑式的原逻辑式的运算优先顺序运算优先顺序2 2、对偶式、对偶式只变换只变换原逻辑式原逻辑式运算符和常量运算符和常量， 其其变量是不变变量是不变的。的。2.5 2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法主要要求：主要要求： 理解并初步掌握理解并初步掌握逻辑函数的建立和表示的方法。逻辑函数的建立和表示的方法。 掌握真值表、逻辑式和逻辑图的特点及其掌握真值

13、表、逻辑式和逻辑图的特点及其相相互转换的方法互转换的方法。 Y=F(A,B,C,) - -以函数的形式描述某个逻辑事件结果与以函数的形式描述某个逻辑事件结果与原因之间的关系，即为逻辑函数。逻辑函数以逻原因之间的关系，即为逻辑函数。逻辑函数以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则输入变量值辑变量为输入，运算结果为输出，则输入变量值确定以后，输出的取值也随之而定。确定以后，输出的取值也随之而定。2.5 2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法逻辑函数描述形式逻辑函数描述形式:真值表、逻辑函数式、逻辑图、电真值表、逻辑函数式、逻辑图、电压波形图和卡诺图等表示。压波形图和卡诺图等表示。2.5.2

14、逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法)(CBAY A B CY逻辑函数不同表示方法逻辑函数不同表示方法间的相互转换：间的相互转换：举重裁判电路的真值表举重裁判电路的真值表 A=1,B=0,C=1 A=1,B=1,C=0 A=1,B=1,C=1这三种取值的任何一种都使这三种取值的任何一种都使Y=1AB CY00000010010001101000101111011111将真值表中使将真值表中使 Y=1 的最小项相加的最小项相加 A BY0 00 00 00 10 11 1 0 01 1 1 10 0 异或A BY0 010 10 00 11ABBAY BAABY 各种表示方法的相互转换：各种表示

15、方法的相互转换：用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。)(CBAY各种表示方法的相互转换：各种表示方法的相互转换：从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑运算式。从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑运算式。 )( BAB)(BAA)()( BABABABABABABABABAY )()()(各种表示方法的相互转换：各种表示方法的相互转换：各种表示方法的相互转换：各种表示方法的相互转换：)()( BABAYBABABABABABABAY )()()(A BY0 00 00 10 1 0 0 1 1A B CY0 0 00 0 00 00 0 10 0 1

16、0 00 1 00 1 00 00 1 10 1 10 01 0 01 0 00 01 0 11 0 11 11 1 01 1 01 11 1 11 1 11 1 最小项最小项(minterm)之和之和 最大项最大项(maxterm)之积之积AB CY00000010010001111000101111011110最小项之和的形式最小项之和的形式逻辑函数式可以表示成最小项之和的形式，逻辑函数式可以表示成最小项之和的形式，这是逻辑函数式的标准形式之一，利用反这是逻辑函数式的标准形式之一，利用反演定律可以改写成最大项之积的标准形式。演定律可以改写成最大项之积的标准形式。最小项之和与最大项之积的形式

17、是唯一的。最小项之和与最大项之积的形式是唯一的。最小项的编号：最小项的编号：最小项最小项取值取值对应对应编号编号A B C十进制数十进制数0 0 00 0 00m00 0 10 0 11m10 1 00 1 02m20 1 10 1 13m31 0 01 0 04m41 0 11 0 15m51 1 01 1 06m61 1 11 1 17m7ABCCABCBACBABCACBACBACBA最小项的性质最小项的性质 在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为1。 全体最小项之和为全体最小项之和为1 。 任何两个最小项之积为任何两个最小项之积为0

18、 。 两个两个逻辑相邻逻辑相邻的最小项之和可以的最小项之和可以合并合并，消去一对因子，消去一对因子，只留下公共因子。只留下公共因子。 -逻辑相邻逻辑相邻：仅一个变量不同的最小项：仅一个变量不同的最小项 如如 BACCBABCACBABCACBA)(与如何将逻辑函数转换成最小项之和的形式：如何将逻辑函数转换成最小项之和的形式：),()(),(763mBCAABCCABAABCCABBCCABCBAY利用公式利用公式可将任何一个函数化为可将任何一个函数化为1 AA imBCDBCDCBADCBAY ),(BCACY)(BCACY)()(BCACY掌握逻辑函数的掌握逻辑函数的公式法公式法化简化简和和

19、卡诺图法卡诺图法化简化简逻辑函数的最简形式逻辑函数的最简形式CBACYACDCBABCY 21 降低成本降低成本提高电路的工作速度和可靠性提高电路的工作速度和可靠性方法：方法： 并项：利用并项：利用AABAB将两项并为一项，将两项并为一项，且消去一个变量且消去一个变量B B。 消项：消项： 利用利用A + AB = AA + AB = A消去多余的项消去多余的项ABAB。 配项：利用配项：利用CAABBCCABA和互补律、和互补律、重叠律先增添项，再消去多余项。重叠律先增添项，再消去多余项。2.6.1 公式法化简公式法化简 消元：利用消元：利用BABA A消去多余变量消去多余变量A例：例：AB

20、CABCCABF反变量吸收反变量吸收提出提出ABAB=1=1提出提出A A)(CCABCABABCAB)(BCBAABAC ) () ( CBAABCCCBAAB例：例：) () (CBBCBAABF) (CBBCBAAB）（反演反演配项配项CBBCAABCCBACBAAB被吸收被吸收被吸收被吸收)(CBBBCAABCBCAAB例：例：DEABBCDACBACDBDCBACY) (DEABCBACDBDCBACY) (DEBACBACDBDCBACY)(DEABACDBDCBACYACDBDCBYABDCBYFABEEDBCDEBCEDBFEABDACACY)( )( )(EDBCEDBFAE

21、ADACY)(EDBFAEADACY卡诺图：卡诺图：将将n个输入变量的全部最小项用小方块阵列图个输入变量的全部最小项用小方块阵列图表示，并且将表示，并且将逻辑相邻的最小项逻辑相邻的最小项放在放在相邻的几何相邻的几何位置位置上，所得到的上，所得到的阵列图阵列图就是就是n变量的变量的卡诺图卡诺图。一、一、 逻辑函数的卡诺图表示法逻辑函数的卡诺图表示法2.6.2 2.6.2 卡诺图法化简卡诺图法化简卡诺图的画法卡诺图的画法 4变量的卡诺图变量的卡诺图AB0101BAABABBAAB01010111逻辑函数的卡诺图表示：逻辑函数的卡诺图表示：（二输入变量）（二输入变量） A B Y 0 0 1 0 1

22、 1 1 0 1 1 1 0输入变量输入变量输出变量输出变量Y Y的值的值 CBACBABCABCACABCABABCABC0 01 10000010111111010 A ABCBC0m1m3m2m4m5m7m6m0 01 10000010111111010 A ABCBC0 01 10 01 11 10 01 10 0逻辑函数的卡诺图表示：（三输入变量）逻辑函数的卡诺图表示：（三输入变量）输入变量输入变量A B C Y0 0 0 0 0 0 1 10 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 10 01 10000010111111010A ABCBC输

23、出变量输出变量Y Y的值的值11001011110m10m11m9m8m15m14m13m12m6m7m5m4m2m3m1m四输入变量卡诺图四输入变量卡诺图A B C D Y0 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 1 0 10 0 1 1 10 1 0 0 00 1 0 1 10 1 1 0 00 1 1 1 1A B C D Y1 0 0 0 1 1 0 0 1 11 0 1 0 11 0 1 1 11 1 0 0 11 1 0 1 11 1 1 0 11 1 1 1 11100101111F( A , B , C )= ( 1 , 2 , 4 , 7 )ABC00011110010

24、1 3 2 4 5 7 7 6 ABC00011110010 1 0 1 10 1 1 0 用卡诺图表示下面的逻辑函数用卡诺图表示下面的逻辑函数0 1 3 2 4 5 7 7 6 12 1 13 3 1 15 5 14 8 9 1 11 1 10 ABCD0001111000011110F(A,B,C,D)= (0,2,3,5,6,8,9,10,11, 12,13,14,15)0 1 3 2 4 5 7 7 6 12 1 13 3 1 15 5 14 8 9 1 11 1 10 ABCD00011110000111101111111111111000用卡诺图表示下面的逻辑函数用卡诺图表示下面的

25、逻辑函数用卡诺图表示下面的逻辑函数用卡诺图表示下面的逻辑函数ACDBCDAABY依据：依据：在卡诺图中最小项的在卡诺图中最小项的逻辑相邻性逻辑相邻性和和几几何位置的相邻性何位置的相邻性具有统一性，具有统一性，由于具有由于具有逻辑相邻性的最小项可以消逻辑相邻性的最小项可以消掉不同的因子掉不同的因子，所以在，所以在卡诺图上卡诺图上具有具有几何相邻性几何相邻性的输出变量的输出变量为为1（或（或0）的的最小项最小项可以进行合并。可以进行合并。二、用卡诺图化简逻辑函数式规则二、用卡诺图化简逻辑函数式规则ABC00011110010010001 11ABCBCABCBCAABC规则一：若两个最小项相邻，则

26、可以消去一对因子，规则一：若两个最小项相邻，则可以消去一对因子，只保留公共因子只保留公共因子ABC00011110010010001 11AB?ABC00011110010010001 11ABBCF=AB+BC化简过程：化简过程：ABCD0001 11 1000010000001 1001 11 10111 101110ADCDABABCDDCABDABCF ADFBCBCCBCBADF 规则二：若四个最小项相邻并排列成一个矩形组，规则二：若四个最小项相邻并排列成一个矩形组， 则可消去两对因子，合并成一项，此一则可消去两对因子，合并成一项，此一 项中只包含公共因子。项中只包含公共因子。ABC

27、D0001 11 1000010000010 0011 10 00100 001110不是矩形不是矩形ABCD0001 11 1000011011010 0111 11 11111 111110A规则三：若八个最小项相邻并排列成一个矩形组，规则三：若八个最小项相邻并排列成一个矩形组， 则可消去三对因子，合并成一项，此一则可消去三对因子，合并成一项，此一 项中只包含公共因子。项中只包含公共因子。规则：若规则：若2N个最小项相邻并排列成一个矩形组，个最小项相邻并排列成一个矩形组， 则可消去则可消去N对因子，合并成一项，此一对因子，合并成一项，此一 项中只包含公共因子。项中只包含公共因子。 三、用卡

28、诺图化简函数举例三、用卡诺图化简函数举例CBBCBAABYCABBCACBACBAABCABCYABC00011110010 1 3 2 4 5 7 7 6 ABC00011110011 1 1 0 10 1 1 1 ),(764310mmmmmmYABC00011110011 1 1 0 10 1 1 1 BABCACACBCBAYCBCAABCACBABYABCD0001111000011110例：化简例：化简F(A,B,C,D)= (0,2,3,5,6,8,9,10,11, 12,13,14,15)ABCD0001 11 1000011011010 0111 11 11111 11111

29、0ACDCBDBDBCDBCDBCBCDAF例：DCACBADCDCAABDABCY例：00011110001001011001111111101111ABCDDAYADDCACBADCDCAABDABCY例：CDDACABCCAYDDCCABAYABCBACBBAY 2.7 2.7 具有无关项的逻辑函数的化简具有无关项的逻辑函数的化简无关项无关项包括约束项和任意项包括约束项和任意项约束项约束项：对于某些逻辑函数，其：对于某些逻辑函数，其输入变量的某些输入变量的某些 取值组合取值组合根本根本不允许不允许存在，则它们对应的存在，则它们对应的 最小项称为约束项，最小项称为约束项，2.7 2.7 具

30、有无关项的逻辑函数的化简具有无关项的逻辑函数的化简约束项约束项：A B CY1 Y2 Y30 0 00 0 11 0 00 1 00 1 00 1 11 0 00 0 11 0 11 1 01 1 1约束项恒为约束项恒为0，所以既可以写，所以既可以写入逻辑表达式，也可入逻辑表达式，也可 以不写入以不写入0 ABCABCCABBCACBA任意项：任意项：对于某些逻辑函数，其对于某些逻辑函数，其输入变量输入变量的的某些取值组合某些取值组合虽然存在虽然存在，但这些取值组合，但这些取值组合对应的函数值是对应的函数值是1或或0无所谓无所谓，这些最小项称为这些最小项称为任意项任意项，任意项既可以写入逻辑表达式，也可以不写入任意项既可以写入逻辑表达式，也可以不写入处理方法处理方法 对于具有无关项的逻辑函数，对于具有无关项的逻辑函数，可以利用无关可以利用无关项进行化简。项进行化简。化简时可根据需要，把无关项写化简时可根据需要，把无关项写入或不写入逻辑函数式入或不写入逻辑函数式, ,使之得到