中考数学全国初中数学联赛试题

1、1996 年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分）1.实数 a,b 满足 ab=1,记 M=匚，N=上 L ,则 M,N 的关系为（）1 七 1 代14a14bA. M NB . M=N C . MKN D .不确定2.设正整数 a,m,n 满足 Ja2_4T2jmn ,则这样的a,m,n 的取值（）A.有一组 B .有二组C .多于二组 D.不存在连结 AC,则阴影部分的面积等于（A. 4 B . 8 C . 65. 如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的（ ）A.内心B .外心C.重心 D.垂心6. 如果 20 个点将某

2、圆周 20 等分，那么顶点只能在这 20 个点中选取的正多边形的个数有（ ）A. 4 个B. 8 个 C . 12 个D. 24 个二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分）1. 已知实数 X0,yo是方程组 字 x 的解，贝 Uxo+yo=_.2. 如图 2，在 ABC 中 AB=AC / ABN 玄 MBC BM=NM BN=a 则点 N 到边 BC 的距离等于3333.设 1995x =1996y =1997z , xyz 0,且3/1995X3+1996y3+1997z3=399+01996 +孙1997,则-+1=_xyz3.如图 1, A 是半径为 1 的圆 O 外的一点,O

3、A=2 AB是圆O的切线,B 是切点，弦 BC/ OAA.D.CO(4)A(1)3 一 0 的两个根，那么 X13匕22+19 的值等于（2二9B.Ji6C.4.设 X1、X2是二次方程 x248A4.如图 3，将边长为 1 的正方形 ABC 绕 A 点按逆时针方向旋转 60至 ABZU 厅的位置,则这两个正方形重叠部分的面积是 _ .第二试、（本题满分 20 分）某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m 个男生和 11 个女生的捐款总数与乙班的 9个男人和 n 个女生的捐款总数相等，都是（m n+9m+11 n+145）元，已知每人的捐款数相 同，且都是整数元，求每人的捐款数.、（本题满分

4、25 分）设凸四边形 ABC 啲对角线 AG BD 的交点为 M 过点 M 乍 AD 勺平行线分别交 AB C于点 E、F,交 BC 勺延长线于点 O, P 是以 C 为圆心 OM 为半径的圆上一点（位置如图所示）三、（本题满分 25 分）已知 a、b、c 都是正整数，且抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴有两个不同的交点 A B,若 A、B 至噸点的距离都小于 1，求 a+b+c 的最小值.1996 年全国初中数学联赛参考答案第一试一、选择题1. B 2. A3. B4. D 5. A6. C二、填空题1. 752.J34,求证：/ OPF=/ OEPT3. 14.2-J3第二试解 据题

5、意 m+1 仁 n+9 且整除 mn+9m+11 n+145 而mn+9m+11 n+145=(m+11)(n+9)+46，故 m+11, n+9 都整除 46,由此得 严丁或严应)吋，得每人扌歎 5 元；在n = 14 n = .吋，每人捐款心元.综上可知，每人捐款数为 25 元或 47 元.证作 AD BO 勺延长线相交于 G,TOE二在QGA 中有箋二学.目在丸中,OM GAOF OM由此得阪云而是圆的半色訂。臥堆=等也逝皿吨 SF= ZOEP,解 据题意，方程 ax2+bx+c=0 有两个相异根，都在(1 , 0)中，故日-b十u0.- 0O，可见日-七a+dl且ac所臥目+c Ab + 1茂+ 1,可得(V