指数函数的图像和性质

1、指数函数的图像和性质天津北门东中学 王连笑作者简历王连笑 天津市人，1961年毕业于天津师范大学教学系，同年任天津市四十中学教师1988年被评为天津市中学高级教师、特级教师1982年、1984年、1988年被评为市劳动模范，1986年被评为市特等劳动模范，荣获全国五一劳动奖章，1989年被评为全国优秀教师现任天津北门东中学教师，市数学会理事教学目的使学生初步掌握指数函数的图像和性质；培养学生观察和归纳的能力以及数形结合的能力教学过程一、从实际问题引入指数函数概念师：请大家思考这样一个问题：某种细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x

2、次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？师：再思考下面一个问题：一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？(学生经过思考得出：x、y和2以及x、y和0.84构造出两个幂函数来师：这两类函数有什么区别呢？数位置上学生对幂函数和指数函数容易混淆，在引入新课时指出两者的区别，有助于今后的学习(板书课题)师：我们在学习指数运算时已经知道，指数x可以是正整数、负整数和零，也可定的实数，因此指数x可以取全体实数要求？大家可以先举几个例子作试验，看一看底是哪些数时，指数不能取全体实数，底是哪些数时，指数可以取全

3、体实数理由，然后教师启发学生归纳出对a的取值的规定及其理由如果学生归纳时只能得出a0，教师就补上a1师：(启发学生总结)为什么规定a0且a1呢？如果不这样规定会出现什么情况呢？因此，为了避免上述情况，并保证定义域是全体实数，我们规定a0且a1下面，请同学们说说指数函数的定义定义的引入是经过“实际问题与幂函数比较对底数a的讨论”三步完成的一个新概念的引入，往往是为了解决实际问题和理论问题，而且往往经历由感性到理性的抽象概括过程，指数函数的定义就是这样二、通过图像研究指数函数的性质师：下面我们来研究指数函数的性质大家先想一想，对函数通常研究哪些性质？生：定义域、值域、奇偶性、单调性和图像师：好！对

4、于指数函数，我们就先研究这几个问题让学生对所学习的目标有一个整体的认识师：我们已经知道指数函数的定义了，那么它的定义域呢？生：实数集师：为了帮助我们更好地研究指数函数的其他性质，我们先画出指数函数的图像学生画图像，教师巡视教师用画有坐标系的黑板把画图像的过程演示一遍，a1和0a1时的图像的示意图师：现在我们利用指数函数的图像来观察指数函数的性质先观察值域生：y0因为图像都在x轴的上方师：奇偶性呢？生：非奇非偶函数师：从图像上怎么看出的？生：图像既不关于原点对称，也不关于y轴对称师：那么，怎样从图像观察函数的单调性呢？一个共同的点，这是哪一点呢？生：点(0，1)师：点(0，1)是个关键点，以这个

5、点为分界，从图像中可以看出y值变化的范围大家能不能看出来？先看a1时的图像生：a1时，在第一象限的y值大于1，第二象限的y值小于1，即a1时，若x0，则y1；若x0，则0y1师：0a1呢？(学生回答出相应的结论教师在启发学生观察指数函数的图像及其性质的同时进行下面的板书)研究指数函数的性质是这节课的教学重点，本节课是紧紧围绕着指数函数的图像进行的先画出图像，然后通过图像观察指数函数的性质因为人在观察中，总是有选择地以少数事物作为知觉对象，对这些少数对象往往知觉得比较清晰，从而由此出发去感知其他事物让学生的注意力集中地指向与所研究的目的密切相关的图像，就会加深感受性三、通过“多通道协同记忆法”记

6、忆指数函数的性质师：我们研究了指数函数的定义域、值域、奇偶性、单调性和数值变化等性质，现在请同学们阅读并记住这些性质教师用几分钟的时间让学生阅读和记忆所学的知识是必要的根据艾宾浩斯的遗忘曲线，遗忘的过程有先快后慢的特点，不重要的和未经复习的内容容易遗忘，而强烈的记忆意图会产生注意力集中的效果，因此及时强化记忆，趁热打铁是巩固记忆的一种重要手段师：大家说，指数函数的性质哪一条不好记？(学生议论，大多数认为数值变化情况这一条不好记)师：那么怎么能记住这一条性质呢？生：通过图像来记忆师：还有没有其他办法，大家再想一想师：这个办法很好，把数值变化与指数函数的单调性结合起来了，这就是说，如果记不住指数函

7、数的数值变化规律，利用指数函数的单调性也可以得到师：还有其他办法吗？我们知道，a与1有关，x与0有关，y与1有关，如果分别把a，x，y；1，0，1写成两行，中间用大于或小于号连接(板书如下)，那么大家能发现什么规律吗？(同学们经过研究，可以发现一个记住这条性质的办法：即a和x同时取大于或小于号时，y取大于号；一个取大于号，一个取小于号时，y取小于号)学生对于指数函数的数值变化这条性质不容易记住，也容易混淆，在这里花一点时间，让学生抓住记忆的关键点，找出记忆的规律，采取多种渠道进行记忆，不仅可以培养学生的记忆能力，而且可以减轻课堂教学短时记忆的压力同时，也可以稍稍放慢一些教学节奏，使教学有张有弛

8、四、通过例题掌握指数函数的性质例1 比较下列各组数的大小：本题主要是帮助学生掌握指数函数的单调性和数值变化其中(1)、(2)两题学生难，教师可先启发学生解出第(4)题，再让学生解(5)、(6)两题性质来比较大小，所以需要借助“桥梁”，这座桥梁的架设应考虑能够利用幂函数和指数函数的性质，即设法构造出与已知底数相同或指数相同的数进行比较例2 指出下列不等式中a的范围：(本题是指数函数与幂函数性质的逆向应用解略)逆向思维的训练是数学思维训练的一个重要方面在平时的教学中，教师应随时注重对学生的逆向思维能力的培养师：这节课我们学习了指数函数的定义、图像和性质，这些性质是通过对图像的观察得到的，那么这些性

9、质能不能用推理的方法得到呢？例如，怎样证明指数函数是非奇非偶函数？怎样利用指数函数的值域和数值变化证明指数函数的单调性等等，请同学们在课后思考课堂结束语不仅是对内容的概括，还应引导学生对学习的内容进行更深入的思考，为下节课的学习留下悬念五、布置作业阅读课本有关内容课本习题：略研究题：教案说明(1)数形结合是数学教学的一个重要观点根据数形结合的观点，可以通过对数量关系的讨论来研究图形的性质，也可利用图形的性质来反映函数(或方程)中的变量(或未知数)之间的相互关系因此数形结合可以使数和形相互启发，相互补充，相互印证本课就是通过对图像的观察来探索和记忆指数函数性质的此外，由于本节得到的性质没有进行论证，所以本课结束时引导学生自己进行论证，在作业中也布置了论证的题目，