按比例分红策略下具有常利率的泊松风险模型_Gerber_Sh

1、第28卷 第3期天津师范大学学报(自然科学版)2008年7月 JournalofTianjinNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Vol.28No.3Jul.2008文章编号:1671 1114(2008)03 0041 05按比例分红策略下具有常利率的泊松风险模型Gerber Shiu折现罚金函数王玲芝,张春生,占学宝,高庆武(1.现代职业技术学院,天津300222;2.南开大学数学学院,天津300071;3.天津市电子仪表工业总公司,天津300110;4.苏州大学数学学院,江苏苏州215006)1234摘 要:根据按比例分红策略下具有常利率的古典风

2、险过程,得到了关于Gerber Shiu折现罚金函数的积分方程并给出了确切的解.关键词:复合泊松风险模型;利率;按比例分红策略;Gerber Shiu折现罚金函数;破产时刻;破产前瞬时盈余额;赤字中图分类号:O174.5;O211.6 文献标识码:AThePoissonriskmodelwithconstantinterestrateunderathresholddividendstrategyGerber ShiudiscountedpenaltyfunctionWANGLingzhi1,ZHANGChunsheng2,ZHANXuebao3,GAOQingwu4(1.TianjinMode

3、rnVocationalTechnologyCollege,Tianjin300222,China;2.SchoolofMathematicalScience,NankaiUniversity,Tianjin300071,China;3.TianjinElectronicInstrumentIndustryHeadOffice,Tianjin300110,China;4.SchoolofMathematicalScience,SoochowUniversity,Suzhou215006,JiangsuProvince,China)Abstract:Anintegralequationabout

4、theGerber Shiudiscountedpenaltyfunctionanditsprecisesolutionareob tainedaccordingtotheclassicalriskprocesswithconstantinterestrateunderathresholddividendstrategy.Keywords:compoundPoissonriskmodel;interestrate;thresholddividendstrategy;Gerber Shiudiscountedpenaltyfunction;timeofruin;surplusimmediatel

5、ybeforeruin;deficit近几年来,S.Asmussen1和Gerber Shiu2等对按比例分红策略进行了深入的研究,X.S.Lin等3对带常利率的复合泊松风险模型上带壁分红策略和按比例分红策略进行了详细的研究.本研究根据按比例分红策略下具有常利率的古典风险过程,得到了关于Gerber Shiu折现罚金函数的积分方程并给出了确切的解.设( ,J,P)是本研究中随机变量的全概率空间,U(t)表示在没有支付红利条件下保险公司的盈余额,则 dU(t)=cdt+U(t) dt-dS(t),t 0,(1) U(t)=u+!(c+ U(s)ds-S(t),t 0,0#t(2)N(t)其中u

6、0是保险公司的初始盈余额; >0是常利率;c>0是不变的保费收益率;S(t)=n=1Xn是复合泊松过程,表示到时刻t时的理赔额总和,N(t),t 0是具有参数 >0的泊松过程,Xnn=1是正的独立同分布的随机变量序列,它与N(t),t 0独立,Xn表示第n次发生理赔的理赔额,F(x)和f(x)分别表示Xn的分布函数和概率密度函数.假设保险公司是一个股份公司,红利按具有参数b>0和!>0的比例策略支付给股东,在水平b以上,瞬时盈余额(修改)连续地以不变的比例!支付红利,在水平b以下,修改盈余额不支付红利,对于t 0,设收稿日期:2007 10 10基金项目:国家自然

7、科学基金项目(10571132) ,.%42%天津师范大学学报(自然科学版)2008年7月D(t)表示到时刻t时支付的红利总和.在这种情况下,保费收益率是c-!,在时刻t时修改盈余额是R(t)=U(t)-ueue tt s0 t!+ceds-!edS(s),R(t)b+(c-!)eds-e!dS(s),R(t)>e0 (t-s)t (t-s)0t st (t-s)00t(t-s)dD(s)=U(t)-!0e I(R(s)>b)ds4=t,b(3)进而,修改盈余额过程按照动态形式cdt+R(t) dt-dS(t),R(t)b dR(t)=(c-!)dt+R(t)dt-dS(t),R(

8、t)>b的一个可选择的表达式是R(t)=u+个典型实例.(4)!cI(R(s)0tb)+(c-!)I(R(s)>b)+ R(s)ds-S(t),t 0,(5)这里I(%)是一个示性函数,图1是R(t),t 0的一1 预备知识Tn,n 1表示保险公司发生理赔的时刻,它是泊松过程N(t),t 0的跳跃时间,R(Ti-)&(xi,xi+dxi) R(Ti-)&dxi,R(Ti)&(yi,yi+dyi)R(Ti)&dyi.引理1 对于n 1,设x1,xn,y1,yn-1&(0,#),yn0,xk yk,k=1,n,x1 u 0,0y0=u.假设 0,

9、则有TnI(R(T1-)&dx1,R(T1)&dy1,R(T2-)&dx2,R(T2)& Ee-TnI(R(T1-)& dy2,R(Tn-)&dxn,R(Tn)&dyn)|R(0)=u Eue- 图1 R(t),t 0的一个典型实例dx1,R(T1)&dy1,R(Tn-)&dxn,R(Tn)&dyn)=gn(,u,x1,y1,xn,yn)dx1dy1dxndyn,其中gn(,u,x1,y1,xn,yn)=(6)(7)k=1(h(xnk,yk-1)f(xk-yk),yn-1+%,xn>yn-1 b,+ xn+

10、h(xn,yn-1)=b+n-1%1+xn+ +,xn b,0<yn-1<b,(8)yn-1+%xnb.,0<yn-1<1+xn+证明 设I表示式(6)右边的期望,由公式EW=EE(W/V)可得I=EEeuu-TnI(R(T1-)&dx1,R(T1)&dy1,R(Tn-)&dxn,R(Tn)&dyn)|T1,Tn,X1,Xn-1,nn-Xn所以第28卷 第3期 王玲芝,等:按比例分红策略下具有常利率的泊松风险模型%43%TnI=Eue-I(R(T1-)&dx1,R(T1)&dy1,R(Tn-1)&dyn-1,R(T

11、n-)&dxn)f(xn-yn)dyn I1f(xn-yn)dyn.类似地有TnI(R(T1-)& I1=EuEue-dx1,R(T1)&dy1,R(Tn-1)&(9)dyn-1,R(Tn-)&dxn)|T1,Tn-1,X1,Xn-1= Ee Eeuuu-Tn-1nI(R(T1-)&dx1,R(Tn-1-)&dxn-1,R(Tn-1)&dyn-1)n-1-(T-T)I(R(Tn-)&dxn)|T1,Tn-1,X1,Xn-1,(10)设A Eenn-1I(R(Tn-)&dxn)|T1,Tn-1,X1,Xn-1,因为T

12、n-Tn-1与T1是具有相同参数的负指数分布,由独立性可以得到A的表达式如下:情况1:若xn=R(Tn-)>yn-1=R(Tn-1) b,而R(Tn-)=yn-1eT+(e1-1)&dxn)=%(T-Tnn-1-(T-T)(T-T)+(enn-1-1),则A=Euxn+情况2:若xn=R(Tn-) b,0<yn-1=R(Tn-1)<b,而R(Tn-)=b+eA=Eue-T1I(yn-1eT1yn-1+ +dxn.1b+cn-1(11)T-Tnn-1-ln-,则dxn.(12)e-T1Ib+eT-ln1n-1-&dxn=%b+xn+ (T-Tn1+ yn-1+情

13、况3:若0<yn-1=R(Tn-1)<xn=R(Tn-)<b,而R(Tn-)=yn-1eT+(e1-1)&dxn)=%n-1)(T-T)+(enn-1-1),则 A=Eue-T1I(yn-1eT1yn-1+xn+dxn.(13)由式(9) (13)可得I=Eue-Tn-1I(R(T1-)&dx1,R(Tn-1-)&dxn-1,R(Tn-1)&dyn-1)h(xn,yn-1)f(xn-yn)dxndyn,k=1通过归纳可得I=(h(xnk,yk-1)f(xk-yk)dxkdyk.证毕.2 Gerber Shiu折现罚金函数将修改盈余过程(5)的破

14、产时间定义为T=inft;R(t)<0,用#(u)表示这个过程的破产概#, t 0,R(t) 05率,#(u)=PT<#|R(0)=u=Pt(R(t)<0)|R(0)=u 0(u)=Ee-T.(14)考虑破产前的瞬时盈余和破产发生时的赤字关于初始盈余u 0的折现罚金函数w(R(T-),|R(T)|)I(T<#)|R(0)=u,这里可以认为是折现利率,w是一个非负的罚金函数.+对于0u<b,考虑首次理赔的时间和理赔额,则有(u)=#0 tlnln e-( +)t!(%-x)f(x)dx+!w(%,x-%)f(x)dxdt+(%-x)f(x)dx+!w(%,x-%)f

15、(x)dxdt,e0-( +)t%1#1%11%2#12%22(15)2t这里%1=ue+(e-1),%2=bet-ln%44%通过变量替换,式(15)变为(u)=天津师范大学学报(自然科学版)2008年7月!u1b%u+x1+ +1+!(y)f(x1x011-y1)dy1+ + !w(x,|y-#01|)f(x1-y1)dy1dx1+!b#%b+x1+1+e- + b+cln)0(y1)f(x1-y1)dy1+由式(8)和(16)有(u)=!0x1!w(x-#01,|y1|)f(x1-y1)dy1dx1.(16),对u b时,按照同样的证明过程可得式(17)仍然成立.因为h(x,y)的复杂性

16、,求解式(17)的积分方程很麻烦,下面的定理给出了它的另一种确切的表达式.定理1 设u, 0,则有(u)=#!u-#h(x1,u)w(x1,|y1|)f(x1-y1)dy1dx1+!h(x,u)(y)f(x1#xu0111-y1)dy1dx1.(17)n=2!w(x,|y|)h(x,u)f(x!dx!dy!dx!w(x,|yu-#111x1#01-y1)dy1dx1+|)gn(,u,x1,y1,xn,yn)dyn.(18)#0u101ynn-1-#nn证明 根据文献6的研究方法,破产只可能发生在时刻Tn,n 1,它满足(u)=对于u 0,n(u)=Ee对于u 0,容易验证1(u)=EeEe#u

17、-T01n=1(u),n#(19)-Tw(R(T-),|R(T)|)I(T=Tn)|R(0)=u,这表明T=Tn当且仅当R(Tk-)>R(Tk-1)>0,k=1,n,R(Tk-)>R(Tk)>0,k=1,n-1,R(Tn)<0,-T1w(R(T1-),|R(T1)|)I(T=T1)|R(0)=u=w(R(T1-),|R(T1)|)I(R(T1-)>u,R(T1)<0)|R(0)=u=1!w(x-#-T,|y1|)g1(,u,x1,y1)dy1dx1=-Tn!w(x,|yu-#1#01|)h(x1,u)f(x1-y1)dy1dx1.(20)对于n 2,从

18、引理1得到n(u)=Eew(R(Tn-),|R(Tn)|)I(T=Tn)|R(0)=u=Eenw(R(Tn-),|R(Tn)|)I(u<R(T1-),0<R(T1)<R(T1-),R(T1)<R(T2-),0<R(T2)<R(T2-),R(Tn-2)<R(Tn-1-),0<R(Tn-1)<R(Tn-1-),R(Tn-1)<R(Tn-),R(Tn)<0)|R(0)=u=!dx!dy!dx!w(xu101ynn-1#x1#0-#n,|yn|)gn(,u,x1,y1,xn,yn)dyn,(21)将式(20) (21)代入式(19)即得

19、到式(18).证毕.定理2 折现罚金函数(u)的表达式(18)是积分方程(17)的解.证明 由定理1和式(7),对于n 2有!dx!dy!dx!w(x,|y|)(h(x,y)f(x-y)dy=dxh(x,u)f(x-y)dydxdydxw(x,|y|)(h(x,yn(u)=#11#x#0nu101ynn-1-#nnkk-1kknk=1x1#x2#0nu1111y202ynn-#nnkk-1k=2)f(xk-yk)dyn,第28卷 第3期 王玲芝,等:按比例分红策略下具有常利率的泊松风险模型%45%因为!dx!dy!dx!w(x,|y|)(h(x,y)f(x-y)dy=(y),所以(u)=!dx

20、!h(x,u)f(x-y)(y)dy,它满足(u)=(u)+(u)=(u)+dx!h(x,u)f(x-y)(y)dy=(u)+!dx!h(x,u)f(x-y)(y)dy=(u)+!dx!h(x,u)f(x-y)(y)dy=!w(x,|y|)h(x,u)f(x-y)dydx+!h(x,u)(y)f(x-y)dydx n2#x#0ny2102ynn-1-#nnkk-1kknn-11k=2#x1u10111n-111#x11n=2n1n=2#u10111n-111#x11u10x111n-111n=2#11u1011111#0#x10u-#1111111u111111.证毕.推论1 如果=0,w1,

21、则破产的概率为#(u)=PT<#|R(0)=u=n=2!dx!dy1#!g(0,u,x,y)dydxu-#111111n#01+#xu101!dx!g(0,u,x,y,xyn-1n-#n#0,yn)dyn.-TT对于,u,x 0,y0,设F(,u,x,y)=Ee-I(R(T-)x,R(T)y,T<#)|R(0)=u具有联合密度函数f(,u,x,y),f(,u,x)为F(,u,x,0)的密度函数,即f(,u,x)dx=Eedx,T<#)|R(0)=u.由定理1的证明过程可得推论2.推论2F(,u,x,y)=#I(R(T-)&n=2f(,u,x,y)=g1(,u,x,y)I(ux)+n=2!g(,u,x,y)dydx+!dx!dy!dx!dy!dx!g(,u,x,y,x,y)dy,u-#11111#xn-1u.xyxyyu101yn-1n-20n-1nn-1-#n11nnn(22)!u#dx1!1x0dy10-#!y1#y#dxn-1n-2!0x0xn-1gn(,u,x1,y1,xn-1,yn-1