点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用

1、y。_ b2=2 .Xoa证明：设M、N两点的坐标分别为（xi ,yj、（X2, y2），则有-2 2X1y12aX22以=1,(1) b2y2务=1-(2)b2(1)-(2)，得乞2 2yi -y2 b2X2 - X1yyiIX2Xib22 .a又打kMN =业X2 X1y1 yX2Xi2xoXo点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用广西南宁外国语学校隆光诚（邮政编码 530007）圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它 的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、 中点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆

2、锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式 作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法 为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗 浅的探讨，以飨读者。2 2定理 在双曲线 笃 存=1 （ a 0, b 0）中，若直线I与双曲线相交于 M、N两点，点a bP（Xo, yo）是弦MN的中点，弦mn所在的直线I的斜率为kiMN，则kM _ 2 .Xoa同理可证，在双曲线2y2a（a 0, b 0）中，若直线I与双曲线相交于 M、N两点,点P（Xo, yo）是弦MN的中点，弦 MN所

3、在的直线I的斜率为kMN ,则kMNXo2a2典题妙解2例1已知双曲线C : y2XA、 B两点.1，过点P（2,1）作直线I交双曲线C于3（1）求弦AB的中点M的轨迹；2）若P恰为弦AB的中点，求直线l的方程.解: (1) a2 = 1,b2 = 3,焦点在 y 轴上y -1 -x-2 x2设点M的坐标为（x, y），由kAB - =2得:x b整理得：x2 -3y2 - 2x 3y = 0.2 2.所求的轨迹方程为 x -3y -2x3y=0.（2） ； P恰为弦AB的中点,2.由kAB艾寺得:kAB.直线 I 的方程为 y -1 =2（x -2），即 2x -3y -1 = 0.3例2已

4、知双曲线C：2x2 - y2 =2与点P（1,2）.（1）斜率为k且过点P的直线I与C有两个公共点，求 k的取值范围;（2）是否存在过点 P的弦AB，使得AB的中点为P?（3）试判断以Q（1,1）为中点的弦是否存在.解：（1）直线 I 的方程为 y 一2 =k（x -1），即 y =kx 2 -k.y ；奴：2一k，得(k2 2)x2 2(k22x -y =2.-2k)x k2 - 4k 6 = 0.直线I与C有两个公共点,厂 2k 2 式 0,2 2 2 2:-4(k -2k) -4(k -2)(k -4k 6) - 0.解之得：k v 3且k 二i. 2.2k 的取值范围是(-：,f2)

5、(2 2) (. 2,3).22(2)双曲线的标准方程为x21, a2 =1,b2 =2.2设存在过点P的弦AB，使得AB的中点为P,则由kABv b2也二岂得：k 2=2, k =1.x a由（1）可知，k =1时，直线I与C有两个公共点，存在这样的弦这时直线I的方程为y = x 1.(3)设以Q(1,1)为中点的弦存在，则由yoXob2得：k 1=2,. k =2.由(1)可知，k =2时，直线l与C没有两个公共点,.设以Q(1,1)为中点的弦不存在例3过点M (-2,0)作直线I交双曲线C ： x2 _ y2 =1于A、B两点，已知OP = 0A OB( O为坐标原点)，求点P的轨迹方程

6、，并说明轨迹是什么曲线.解：在双曲线 C：x2-y2=1中，a2二b2 =1，焦点在x轴上设弦AB的中点为Q.OP =OA OB,设点P的坐标为(x, y)，则点Q的坐标为2，2 丿由平行四边形法则知：OP =2OQ，即Q是线段OP的中点.x ax2 x x 4 x22整理得：x2 _ y24x :=0.配方得：(x 2)22 y=1.44由kAB 2二与得：丄丄丿胡，yy2.点P的轨迹方程是2 2（X 2） y44它是中心为(-2,0)，对称轴分别为x轴和直线x 2=0的双曲线例4.设双曲线C的中心在原点，以抛物线2y = 2 . 3x - 4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右

7、准线.(I)试求双曲线 C的方程;(n)设直线l:y=2x+1与双曲线C交于A, B两点，求 AB(川)对于直线l : y二kx 1，是否存在这样的实数 k，使直线I与双曲线C的交点A, B关于直线l : y = ax V( a为常数)对称，若存在，求出 k值；若不存在，请说明理由.解：（I）由 y2 =2.3x -4 得 y2 =2、3（x - 2 ）,3.p = 3，抛物线的顶点是(丄,0)，准线是x =32、323212.在双曲线C中， 2.a ,b =1.a 132 2.双曲线C的方程为3x -y -1 .(n)由 / I2%：1,得：x2 +4x + 2 =0.3x -y =1.设

8、A(xyj, B(x2, y2)，则 % x?二 -4公必2 二 2.| AB |. (1 k2)(人X2)2二4X1X2 = 0，即 k2 V6,且 k2 =3.-符合题意的k的值存在，k =2 .金指点睛1. (03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(7,0)，直线y = x-1与其相交于 M、N两点,mn的中点的横坐标为4，则此双曲线的方程为(2 2x y A.134B.4=1C.D.2. (02江苏)设 A、B是双曲线x2占八、N(1,2)是线段AB的中点.(1)求直线AB的方程；AB的垂直平分线与双曲线相交于(2)如果线段 为什么？C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆,2

9、3.已知双曲线x2 -1，过点P(丄-3)作直线I交双曲线于A、B两点.322(1)求弦AB的中点M的轨迹；(2)若点P恰好是弦AB的中点，求直线I的方程和弦 AB的长.2x4、双曲线C的中心在原点，并以椭圆252y1的焦点为焦点，以抛物线y213-2 ” 3x的准线为右准线.(1)求双曲线C的方程;(2)设直线I : y = kx 3(k =0)与双曲线C相交于A、B两点，使A、B两点关于直线I : y = mx+6(m式0)对称，求k的值.参考答案i.解：在直线2=x -1 中，k =1 , x 时,3由kMNyoXo5.2 飞得1 =3b22 .a 又由 孑2a5 _ 2 b2得a2=2

10、,b2 = 5.故答案选D.2 22.解：(1) a 1,b2 ,焦点在X上.由kABYo 二x。得:kABkAB 二 1 .-所求的直线AB方程为y-2=1 (x -1)，即 x - y 1=0.(2)设直线CD的方程为x y 0，点N(1,2)在直线CD上,1 2 m = 0, m= -3.-直线CD的方程为x y - 3 =0.又设弦CD的中点为M （x, y），由kCD -x龙得：-1红2，即y2x.ax由:八3得 x = Qy=6. y = _2x.点M的坐标为（-3,6）.x - y 1 =0,又由2y2得 A（一 1,0）,B（3,4）.x1.2由两点间的距离公式可知:| MA

11、|=| MB |=| MC |=| MD |=2. 10 .故A、B、C、D四点到点M的距离相等，即 A、B、C、D四点共圆.2 23.解：（1）a =1,b=3，焦点在X上.设点M的坐标为（X,y）.若直线I的的斜率不存在，则 率存在.I _x轴，这时直线I与双曲线没有公共点，不合题意，故直线I的的斜由kABXb2 得:a整理，得:6x2y2 3x-3y=02 2.点M的轨迹方程为6x -2y（2）由 kAB-所求的直线I方程为y3-2 = 3，kAB 721（x ），即 y = x -1.2 2X2=12x 31 得 x2+x_2y =x _1.解之得：x1 - -2,x2 =1| AB-：1 k2 |x2 -x,.2 3=3.2.2 24.解：（1）在椭圆25計中，心”1心3，.焦点为 Fi（-2、.3,0）, F2（2 .3,0）.在抛物线 寸-2.3X中,J3.准线为x -2.在双曲线中，2，=.从而 a = V3,b =3.c22 2所求双曲线C的方程为-丫 1 .391 1直线1 是弦 AB的垂直平分线，匚，从而1 :八-廿6 设弦AB的中点为P（xo, yo）.由kABXo2yo b2 得: k 上=3，kyo