最小二乘法数据拟合

1、最小二乘法数据拟合设给定数据(Xi，fi), (i =1,2,m)在集合：二Spanp0,订n中找一个函数n(i)S*(x)八 a； k(x) , (n : m)k 3：0其误主曰 差疋、；i = S (xj - f， (i =1，2,，m) (2)使S* (x)满足mm' 汀(Xi)S*(x)- fi2i Aim2=Sm)G(x)S(fi(xQ是a,b上给定的权函数。上述求逼近函数S*(x)的方法就称为曲线拟合的最小二乘法。满足关系式(3)的函数S* (x)称为上述最小二乘问题的最小二乘解。并且有结论：1)对于给定的函数表(冷fj，(i =1,2/ ,m)，在函数类门=Span( 0

2、, / / n中存n在唯一的函数S*(x)八ak ;：k(x)，使得关系式 成立。k -02)最小二乘解的系数 a0,a*,，a；可以通过解法方程n、( ；k, ;：j)ak =(f, )，(j =0,1,2/ ,n)k =0作为曲线拟合的一种常用的情况，如果讨论的是代数多项式拟合，即取 °, 1, n二1,X,X2, ,xn那么相应的法方程(4)就是oZXioaXiZ-2Xi-onXiZnXi-Fn2 1co-aaHan一产EnIXm其中，.=（xi），并且将7 简写成“7n此时，S （x） =7 akxk，称它为数据拟合多项式，上述拟合称为多项式拟合。7例：已知某高度传感器测得的

3、数据如下表:表1序号i1234567时间xi（秒）1234678高度yi（米）2367532试用最小二乘法求多项式曲线与此数据组拟合。（一）算法：解：取二次方多项式去拟合（当然也可以取三次、四次等，次数越高计算越复杂）2y = f （x） = ao aix a2x由式（5）可建立法方程组（其中取(Xi)二1)忆1Z xz2Xii壬i mi壬777送Xi送x2z3Xii=1i =1i =1777产Xi22迟Xi3z4Xi=1i =1由表1的数据可以计算出777为Xi，送x2，z3Xim=1i =1777工yiim7a1貝一为Xi%i=17为 xi2yiI77i1234567求和s时间xi（秒）1

4、23467831高度yi（米）236753228i =1i =17,'x2yii =17x4，、乞i d计算结果列在表2中2x149163649641793x18276421634351211714x116812561296240140968147w2618283021161212Xi y21254112180147128635将表2中算得的结果代入法方程(6),可得：4a0 10印 30a2 二-1980d0a30a1 +100a2 =/926Q0a° +100ai +354a2 =-14762解方程组可得：30 = -547< a<i = 344.8a? = 8故所求拟合曲线为：y = f(x) =1.3185 2(二)用MATLAB编程求解：多项式函数 使用polyfit (x,y,n)，n为次数拟合曲线x=1,2,3,4,6,7,8;y=2,3,6,7,5,3,2;解：MATLAB 程序如下：x=1,2,3,4,6,7,8;y=2,3,6,7,5,3,2;p=polyfit(x,y,2)x1=0:0.01:10;y1=polyval(p,x