基于保险精算的住房反向抵押贷款定价研究

1、 路静高鹏董纪昌（中国科学院研究生院管理学院，北京100190）摘要：住房反向抵押贷款是一种新型的住房金融产品，本文在文献综述的基础上对传统住房反向抵押贷款精算模型进行了修正，提出了基于浮动利率及变动房价的一次性支付产品和终生生存年金产品的定价模型，并利用历史数据对模型中的参数进行了估计。最后，本文采用蒙特卡洛模拟方法测算了不同年龄的借款人可以获得的贷款额度，并对利率和房价的敏感性进行了分析。结果显示，住房反向抵押贷款产品能够显著改善老年人的生活水平。关键词：住房反向抵押贷款；保险精算定价；蒙特卡洛模拟基于保险精算的住房反向抵押贷款定价研究收稿日期：2009-01-05作者简介：路静，中国科学

2、院研究生院管理学院硕士研究生；高鹏，中国科学院研究生院管理学院教授，博士生导师；董纪昌，中国科学院研究生院管理学院副教授，硕士生导师。引言住房反向抵押贷款是以拥有住房的老年居民为放款对象，以房产作为抵押，在居住期间无需偿还，在贷款者死亡、卖房或者永久搬出住房时到期，以出售住房所得资金归还贷款本金、利息和各种费用的一种贷款。由于其现金流流向与传统的抵押贷款相反，所以在美国最先被称为“反向抵押贷款”。这种新型的住房金融产品对于盘活住房资产，提高老年人的生活质量，丰富金融产品等均起到了较好作用。随着我国老龄化社会的到来，发展这种住房反向抵押贷款，对于实现老年人自我养老、减轻我国社会保障压力具有重大意

3、义。所谓住房反向抵押产品定价，是指在借款人年龄、住房价值、贷款利率等参数给定的条件下，确定贷款额度或贷款比率（贷款额度的现值与住房价值之比）的过程。对住房反向抵押贷款制定合理的价格有利于这种新型金融衍生品的健康发展。反向抵押贷款定价具体理论的研究在美国比较成熟，具体来讲可以分为三类。第一类是保险精算法。Mitchell 等1提出了反向抵押贷款的保险精算定价模型。他们利用单个借款人能够借到的精算公允金额等于住房偿还时出售价值的贴现值给出了基于利率、房价增长率和死亡率的一次性支付总额和年金支付的住房反向抵押贷款价值。我国学者提出的保险精算模型基本上都是对模型进行的修正和拓展：张晶2在保险精算模型中

4、引入了房屋折旧因子，章凌云3对保险精算定价模型进行了模拟分析，肖隽子4提出了基于平均余命的保险精算定价模型，奚俊芳5推导了年金给付递增的精算定价模型。第二类是因子定价法。Szymanoski 6提出的住宅财产转换贷款（HECM ）示范价格模型，证明了借款人寿命、利率、财产价值变化对价格的影响，而Peter 等7设计的模型为住房权益转换抵押贷款（HECM ）定价提供了直接借鉴。我国的刘春杰、谭竞8指出支付因子定价是一种定期定价，并深入的探讨了反抵押贷款合同超期的定价问题。第三类是期权定价方法。Boehm 等9将住房反向抵押贷款看做是利率和时间的函数，并计算出了反向抵押贷款价值的基本偏微分方程。T

5、obias 10等采用蒙特卡洛模拟方法对提前出售的住房反向抵押贷款进行定价。国内文献中，只有奚俊芳应用二叉树方法和布 莱克-舒尔斯期权定价思想对反向抵押贷款的定价进行了尝试，但是没有给出算例。相对于因子定价法和期权定价法，保险精算定价模型兼顾了准确性和实用性的特点，因为得到了学者的深入研究。但是，现有文献在计算一次性支付总额和终身支付年金时，均采用了固定的反向抵押贷款年利率和预先设定的房价增长率。这不仅与现实情况差距较大，也使住房反向抵押贷款面临更多的利率风险和房价波动风险。因此，本文试图对现有住房反向抵押贷款模型的这两个缺陷进行修正。本文的结构安排如下：第一部分是引言；第二部分描述住房方向抵

6、押贷款产品的修正定价模型；第三部分是对构建的定价模型进行模拟分析；第四部分给出本文的结论。模型的建立1、模型建立的过程本文假定参与反向抵押贷款的老年人没有其它以住房为抵押的贷款；在屋主死亡后，住房资产随之以市场价格出售，二者之间不存在时间差；贷款的成本费用为房价的一个固定比例数。对于单生命借款人，本文假定其在生日当天投保。虽然死亡时间是一个随机过程，为方便起见，假定借款人死亡时间也为其生日。在这些假设下，贷款人收入的多少主要受贷款利率、房价波动、申请人寿命的影响。在一个完全竞争性的市场中，贷款人支出的现值应与贷款人收入的现值相等，即：一次性单生命总付：LS x =1Tt =1(1- ×

7、;1+r tt ×n p x （1）上式中：LS x 初始年龄为x 的借款人得到的一次性支付总额（Lump Sum ，LS ）；H t 住房反向抵押贷款合约签订时房屋的市场价值；T 借款人的平均余命；r t 反向抵押贷款年利率，也即包含贷款人正常利润的年利率；n p x 年龄为x 岁的申请人还可以再活n 年的概率；发起费；保险费；其他交易费。对于单生命来说，假设反向抵押贷款合同签订后，贷款人在每年年初付给房主一笔数额相等的年金，直至房主去世为止，则该产品为期初终生生存年金。在完全竞争的市场中，这些年金的折现值之和应该与一次性总付的金额相等，则可得出借款人可获得的年金为：A x=LS

8、n =1n p x（2）上式中，A x 年龄为x 岁的申请人在反向抵押贷款合同开始后每年年初获得的年金金额，其余参数的含义与式（1）相同。2、模型参数的确定从式（1）可以看出，住房反向抵押贷款的价格主要取决于利率的变动水平、未来住房的增值率以及老人的预期寿命，下文将对这三个变量进行具体分析。（1）利率水平在固定利率形式下，由于贷款机构在签订反向抵押贷款合约时即确定了将来支付的贷款利率，那么当实际利率上升时，贷款机构将失去把该笔资金投资于其他项目的机会，机会成本提高。现实中，多数贷款机构在基准利率的基础上，加上一个合理的利差作为浮动利率以减少固定利率计息的风险。在实践中，要对浮动利率定期（按月或

9、年）进行调整。为了减少固定利率住房反向抵押贷款的影响，本文在住房反向抵押贷款修正模型中使用浮动利率。根据Cox 等11提出的瞬时无风险利率的均方回归过程，利率满足以下随机微分方程：dr (t =k (u r -r (t dt +r 姨dz r （3）其中：k 是利率均值回复的速度，u r 是长期利率水平，r 是利率的方差，Z r 标准维纳过程。CIR 模型中，短期利率过程是均方回复的，短期利率以现有水平按比例差值的速度，被拉到长期均值u r 的水平上。随着r 趋近于0，波动率姨0，从而保证了短期利率为正，克服了Vasicek 模型利率为负的缺点。 住房反向抵押贷款的周期较长，有的甚至长达几十年

10、。在此期间，房地产价格会发生不同程度的波动，有的甚至会经历几个不同的波峰波谷。当真实房价的上涨幅度低于预先设定的房价增长率时，贷款机构将面临合同到期时不足以收回贷款的风险。因此，沿用固定的住房增长率不利于对住房反向抵押贷款进行精确定价，也会增加住房反向抵押贷款的房价波动风险。美国联邦住房管理局在住房反向抵押贷款项目中假设房价服从几何布朗运动，将房价表示为：dH =u H Hdt +6H Hdz H （4）其中：u H 表示房价的期望增值率，H 表示房价的波动率，dz H 表示一般标准维纳过程。由于借款人将从房屋居住中获益（以房屋租金的形式表示），因此本文将上述过程修正为：dH =(-s Hdt

11、+H Hdz H（5）其中，表示房价增长率，s 表示房屋租金率，其余参数同上。（3）预期寿命和存活率累计存活率n p x 不能从生命表中直接查取，但可利用生命表中给出的不同年龄的死亡概率q x 计算得出。生命表是根据以往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制的由每个年龄死亡率所组成的汇总表，分为国民生命表和经验生命表，可以从中直接查得给定年龄的老年人平均剩余可存活的年限T 。中国人寿保险业经验生命表（20002003）就是我国最新的经验生命表，本文的死亡率数据也取自该表。根据生命表的构成和书写习惯，有以下几个重要指标和关系式：p x 生存率，表示x 岁的人在1年后仍生存的概率，即到x +1岁时仍

12、生存的概率；q x 死亡率，表示x 岁的人在1年内死亡的概率；t p x x 岁的人在t 年后仍生存的概率；t q xx 岁的人在t 年内死亡的概率；t n q x x 岁的人在x +t 岁与x +t +n 岁的n 年内死亡的概率。如果n =1，则表示为t q x ，其含义为x 岁的人在生存t 年后的那一年死亡的概率。显然，有以下几个等式关系：p x +q x =1（6）t p x +t q x=1（7）t q x =t p x -t+1p x（8）根据累计存活率t p x 的定义，有：t p x=p x ×p x +1×p x +2××p x +t -

13、1=(1-q x ×(1-q x +1 ×(1-q x +2 ××(1-q x +t -1（9）实证分析1、数据来源（1）利率数据一般认为，同业拆借市场利率代表金融机构取得批发性资金的成本，因此能及时反映资金供求关系的状况。因为同业拆借市场交易规模巨大，其利率和银行的存款准备金关系密切，所以其利率要比其它货币市场利率变动得更加频繁，其变动也更加明显。同业拆借市场利率是最敏感的货币市场利率，同其它利率指标相比，它更能及时准确地反映出货币市场上资金的供求变化，因此它在整个金融市场的利率结构中具有导向作用。而且，同业拆借利率作为金融市场资金供求状况的综合反映，

14、具有较好的传导性，其变动会迅速波及到整个市场利率体系，引起整个货币市场利率的变动。因此可以把银行间拆借市场利率作为利率的历史数据并进行估计利率模型参数。本文选取天相数据库2005年1月至2008年8月全国银行间同业拆借市场月度7天内交易加权平均利率数据，除缺少2006年9月、2006年12月、2008年3月的3个数据之外，共有41个数据。本文模型利用的是CIR 利率模型，利用最小二乘法估计参数，根据在统计软件Eviews5.1的统计结果，其参数取值如下： k =0.8301，u r =0.0246，r =0.0241（2）房价数据根据房价模型的要求，模型中需要知道房价增长率、房价波动率H 和房

15、屋租金s 三个参数。由于没有直接跟踪房屋随时间变化的价格数据，因而要从历史数据中直接估计出房价波动率是比较困难。但是由于房屋价值随时间的变化与房屋销售价格指数的变化基本是一致，因此可以将房屋销售价格指数波动率作为房屋价值波动率参数。本文的房价数据选取天相数据库1991年1月到2008年7月的全国房屋销售价格指数，总共211个数据。在参数估计时，应将月度数据换算为年度房屋销售价格指数数据。本文利用Eviews5.1估计房价波动率参数为：H =0.10，房价增长率为：=0.046。由于缺乏长期的房屋租金数据，参照Downing 等12模型的租金参数，把初始租金设定为总房价的2.5%。 （3）存活率

16、数据根据式（9）及中国人寿保险业经验生命表（20002003）可以分别得出60、70、80岁的老人还可以再存活n 年的累计概率，如图1所示。（4）费用率数据在本文中的费用数据以美国为参照，具体为下：A. 发起费（）：发起费全部由借款人支付，假定其与反向抵押贷款发起时住房资产之比为，取=1%。B. 保险费（）：假定保险费与反向抵押贷款发起时的住房价值之比为，取=2%。C. 其他交易费用（）：除利率、发起费和保险费之外其他交易费用，如第三方服务费，手续费等，取=3%。2、基于蒙特卡洛模拟的实证模拟蒙特卡洛模拟方法可以较好的处理非线性、非正态问题，不需要假定风险因子属于哪种特定分布。其主要思路是反复

17、模拟决定金融工具价格的随机过程，每次模拟都可以得到资产在持有期末的一个可能值。如果进行大量模拟，那么资产价值的模拟将会非常接近甚至等于真实值。本文的主要思路是：在申请人的寿命预期内，利用Monte Carlo 模拟产生多种利率路径和房价路径。在每条可能的路径下根据式（1）使未来现金流转化为确定的现金流，进而确定住房反向抵押贷款的价格。本文假设住房反向抵押贷款申请人的住房价值均为50万元，无风险利率取2008年8月银行同业拆借利率r =2.8%，贷款人的风险收益为2%，利率和房价的路径取1000次，则根据以上定价模型确定的不同年龄借款人可获得的贷款额如表（1）所示。住房反向抵押贷款可以显著地改善

18、老年人的生活质量，以60岁的老年人为例，申请住房反向抵押贷款可以使他每月获得2456元的收入，这笔收入不仅可以提高老年人的即期收入和生活质量，也有助于缓解社会保障的压力（见表1）。3、敏感性分析（1）利率敏感性分析如表2和表3所示，在申请年龄相同的情况下，长期均衡利率与一次性支付贷款和终生生存年金之间存在负相关关系。长期均衡利率越高，复利带来的借贷成本也就越高，借款人因此获得的贷款越少。利率波动性与一次性支付额和终生生产年金之间存在正相关关系。利率波动幅度越大，借款人能够获得的贷款额度也越大，但是利率波动的敏感性要小于长期均衡利率的敏感性。（2）房价敏感性分析如表4和表5所示，在申请年龄相同的

19、情况下，长期房价增长率与一次性支付贷款和终生生存年金之间图160岁、70岁、80岁的累计存活率（t p x ）曲线图表1不同年龄的借款人可以获得的贷款数量年龄60岁70岁80岁性别男男男初始房价50万50万50万平均剩余余命18.7911.986.91一次性支付额329074.17385820.13425706.97终生生存年金29477.1144593.1993483.96贷款比例65.81%77.16%85.14%注：贷款比例是指一次性支付额占初始房价的比例。 存在正相关关系。长期房价增长率越高，借款人可以获得的贷款额度就越多。房价波动性与一次性支付额和终生生存年金之间存在负相关关系，房价

20、波动幅度越大，借款人能够获得的贷款额度越小。同时，贷款额度对房价波动的敏感性显示了与利率波动性一样的特征，其敏感性也小于长期房价增长率的敏感性。年龄r -1%rr +1%一次性支付年金支付一次性支付年金支付一次性支付年金支付60358962.6329658.61329074.1729477.11302756.4129300.2570408238.1444675.37385820.1344593.19365060.6244514.0780440710.4493641.23425706.9793483.96411449.8393325.56表3利率方差的敏感性分析年龄利率波动率的变动r -1%rr

21、 +1%一次性支付年金支付一次性支付年金支付一次性支付年金支付60328897.929514.62329074.1729477.11329348.8829441.1670384408.7244590.45385820.1344593.19387336.4444597.5280425222.1493471.89425706.9793483.96426209.0993496.16表4房价增长率的敏感性分析年龄长期均衡房价的增长率-1%+1%一次性支付年金支付一次性支付年金支付一次性支付年金支付60301889.2127042329074.16929477.11359456.8132198.6770

22、363604.5542025.51385820.13144593.19409637.4547346.0180411558.8990377.08425706.96793483.96440350.5396699.64表5房价增长率方差的敏感性分析年龄房价波动率的变动H -1%HH +1%一次性支付年金支付一次性支付年金支付一次性支付年金支付60330344.5229590.91329074.16929477.11327670.7329351.470387206.0544753.38385820.13144593.19384263.8244413.3280416151.2391385.5542570

23、6.96793483.96435396.1695611.68结论及政策建议本文对传统的住房反向抵押贷款精算模型进行了修正，构筑了基于浮动利率及变动房价的一次性支付产品和终生生存年金的产品定价模型，建立了一次性支付额度或每年支付额度与住房初始价值的关系式。修正模型的提出有助于降低住房反向抵押贷款面临的利率风险和房价波动风险，提高银行开展此项业务的积极性。本文利用历史利率和房价数据，对模型中的参数进行了测算，在此基础上，采用蒙特卡洛模拟方法对住房反向抵押贷款的价格进行了模拟预算和敏感性分析。分析结果表明，住房反向抵押贷款能显著的提高老年人的即期收入。各参数变化对贷款额度的敏感性分析显示，长期利率和

24、房价波动率与贷款额度呈负相关关系，房价增长率和利率波动率与贷款额度呈正相关关系，但是利率和房价波动率的敏感程度小于长期利率与房价增长率。目前，我国还未推出住房反向抵押贷款产品，其中一个重要原因就是还未彻底解决住房反向抵押贷款产品精确定价的问题。本文对传统的定价模型进行了一些有益的修正，对我国推出住房反向抵押贷款产品具有重要的参考意义。在实践中，应根据老年人对支付额度、贷款利率、房价水平的接受程度，找到三者的最佳匹经济与金融 配值。只有这样， 才能在借贷双方利益都不受损的前提下， 扩大反向抵押贷款的市场份额， 使这项业务形成规 模， 切实提高老年人的生活水平。 参考文献： 1 Olivias.M

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