高一上学期数学常用公式

1、高中数学常用公式及常用结论1 .元素与集合的关系x A x CU A, x CUA x A.2 .德摩根公式CU(APB) CUAUCU B;CU(AUB) CUAflCUB.3 .包含关系aC1b a aUb b A BCUB CUaAP1CUBCU AU b r4 .集合a1,a2，,an的子集个数共有2n个；真子集有2n - 1个；非空子集有2n - 1个；非空的真子集有2n -2个.5.二次函数的解析式的三种形式一般式 f(x) ax或 f(k1) 0且心 k一k2,或 f(k2) 2a 28.闭区间上的二次函数的最值 bx c(a 0);(2)顶点式 f(x) a(x h)2 k(a

2、 0);(3)零点式 f(x) a(x x1)(x x2)(a 0).26.解连不等式Nf(x) M常有以下转化形式N f(x) Mf (x) M f (x) N 0f (x) N 0M f(x)0不等价，前者是后者的一个必要而不是M N M N1f(x) 二11. f(x) N M N7.方程f (x)0在*1*2)上有且只有一个实根，与f(k1)f(k2)充分条件.特别地,方程ax2 bx c 0(a0)有且只有一个实根在(k1,k2)内，等价于 f(K)f(k2) 0,b2a二次函数 f (x) ax2 bx c(a0)在闭区间p,q上的最值只能在xb2a处及区间的两端点处取得,具体如下

3、：(1)当a>0时，若xb2a.一. 一.b .p,q ,则 f(x)min f( 丁), f(x)max max2af(p), f (q)；b2ap,q ，f (x)maxmax f(p), f(q) , f (x)min min f(p), f(q)(2)当a<0时，若xb2ap,q ,则 f (x)min min f (p), f(q),若 xb2amin f (p), f (q)f (x) max max f(p),f(q) , f (x)min9.一元二次方程的实根分布依据：若f(m)f(n) 0,则方程f(x) 0在区间(m, n)内至少有一个实根.设 f (x) x2

4、 px q ,贝Up2 4q 0(1)方程f(x) 0在区间(m,)内有根的充要条件为 f (m) 0或 p；(2)方程f(x) 0在mf (m) 0f(n) 0区间(m, n)内有根的充要条件为f (m) f (n) 0或 n2p4q 0E n2f(m)af(n)f(n) 0af (m) 0(3)方程f (x) 0在区间(，n)内有根的充要条件为f(m) 0 或2pP24q10 .定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间()的子区间L (形如不同)上含参数的二次不等式f (X,t) 0( t为参数)恒成立的充要条件是 f(X,t)min0(x(2)在给定区间(， f(X,t

5、)man 0(X L).)的子区间上含参数的二次不等式L).f(x,t)0 ( t为参数)恒成立的充要条件是 f(x) ax4 bx2c 0恒成立的充要条件是a 0b2 4ac11 .函数的单调性(1)设 X1X2a,b”X2那么(X1 X2)f(X) g(X1 X2)f(X1) f(X2)f(X1) f(X2)Xi X2f(X1) f(X2)Xi X2f(x)在a,b上是增函数;f (x)在a,b上是减函数.(2)设函数 函数.y f (x)在某个区间内可导，如果 f (x)0,则f (x)为增函数；如果f (x) 0,则f(X)为减12 .如果函数 f (X)和g(x)都是减函数，则在公共

6、定义域内，和函数f (x) g(x)也是减函数；如果函数y f(uDu g(x)在其对应的定义域上都是减函数，则复合函数yfg(x)是增函数13 .奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.14 .若函数y f (x)是偶函数，则f(x a) f ( x a)；若函数y f(x a)是偶函数，则 f (x a) f ( x a).a b15 .对于函数y f (x)( x R), f (x a) f (b x)恒成立，则函数f(x)的对称轴是函数 x

7、;两个2a b 函数y f(x a)与y f (b x)的图象关于直线 x ab对称.2 a16 .若f(x) f( x a),则函数y f(x)的图象关于点 (a,0)对称；若f(x) f (x a),则函数 y f(x)为周期为2a的周期函数.17 .几个常见的函数方程正比例函数 f (x) cx, f(x y) f (x) f(y), f(1) c.(2)指数函数f (x)aX, f(x y)f (x) f(y), f (1) a0 .(3)对数函数f(x)loga x, f (xy) f (x)f (y), f (a)1(a0,a 1). -, 、 _ _ '(4)帚函数 f

8、(x) x , f(xy)f (x) f (y), f (1).(5)余弦函数f(x)cosx,正弦函数g(x)sin x , f(xy)f (x)f (y)g(x)g(y),g (x)f(0) 1则干18.几个函数方程的周期(约定a>0)(1) f(x) f(x a),则 f(x)的周期 T=a；(2) f(x) f(x a) 0,八1或 f (x a) (f (x) 0),f(x)八1 一 一或 f (x a) (f(x) 0),f(x)1或一 Jf(x) f2(x) f (x a),( f (x)0,1 )，则 f (x)的周期 T=2a；2一 一1 f(x) 1 (f (x) 0

9、),则 f(x)的周期 T=3a;f(x a)(4) f(x1 x2) f(f且 f(a) 1(f(x1) f(x2) 1,0 |x1 x2| 2a),则 f(x)的周期 T=4a； 1 f(x1)f(x2) f(x) f(x a) f(x 2a)f(x 3a) f(x 4a)f(x)f(x a)f(x 2a)f(x 3a)f(x4a),则f(x)的周期T=5a；(6) f(x a)19.分数指数哥f(x)f (x贝U f (x)的周期T=6a.ma7m(2) a 71n ma1ma%0, m,n0,m,n，且 n 1).20.根式的性质a；a,a 0a,a 0(1) (na)n a.当n为偶

10、数时，nan |a|(2)当n为奇数时,21 .有理指数哥的运算性质ar as ar s(a 0,r,s Q).(2) (ar)s ars(a 0,r,s Q).(ab)r arbr (a 0,b 0,r Q).注：若a>0, p是一个无理数，则 ap表示一个确定的实数.上述有理指数哥的运算性质，对于无理数指数 哥都适用.22.指数式与对数式的互化式loga N b ab N (a 0, a 1,N 0).23 .对数的换底公式loga N10gm N ( a 0,且 a 1, m 0,且 mlogma推论 log m bn nlogab( a 0,且 a 1, m, n a m24 .

11、对数的四则运算法则若 a>0, aw1, M>0, N>0,则(1) loga(MN) logaM loga N ;(2) log a M loga M log a N ;N loga M n nloga M (n R).25 .设函数 f(x) 10gm (ax2 bx c)(a 0),记若f (x)的值域为R,则a 0,且0.对于a1, N 0).0,且 m 1, n 1 , N 0).2b 4ac .若f (x)的定义域为R,则a0的情形，需要单独检验.0,且0;26.对数换底不等式及其推广(2)当 a推论:设n，-11b 0, x 0 , x 一，则函数 ya一， 1

12、 一 1b 时，在（0,1）和（1, a ap 0, alogax(bx)）上丫)上ylogax（bx）为增函数.log ax(bx)为减函数. 10gmp (n p)logmn.(2)loga mloganI 2 m loga -227.常见三角不等式(1)若 x(0,-),2则 sin x x tan x.(2)28.若 x （0,万），则 1 sinx cosx 72.|sin x | | cosx| 1.同角三角函数的基本关系式sin2cos21, tan =-sn, tan cot 1.29.正弦、cos余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）.znsin(2n1)2 sin ,n

13、1（n为偶数）1)2 cos（n为奇数）cos( 2（30.和角与差角公式n1)2 cosn 11) 2 sin（n为偶数）（n为奇数）sin( cos(tan()sin)cos tancoscos tancos不sinsinsin) 1Ttan tansin( cos()sin()cos()sin22)cossin2（平方正弦公式）;sin2asinb cos=a2b2 sin(）（辅助角所在象限由点（a,b）的象限决定,tan31.二倍角公式sin 2 sincoscos 2cos2.2 sin2cos2221 1 2sin . ( coscos2 1. 2,sin1 cos2 )232.

14、三倍角公式sin 3 3sin4sin 34sinsin(-)sin(-).33cos34cos33cos4coscos(- )cos(-)3323tan tanJ(X2 Xi)2 (y2 y1)2 (A(X1,y1) , B(x2,y2).44.向量的平行与垂直设 a=(x1,y1) ,b= (xz*),且 b 0,则A|b b= X ax1y2 x2y1 0.a b(a 0) a - b=0x1 x2 y1 y2 0.45.线段的定比分公式设R(x1,y1), P,(x2,y2) , P(x, y)是线段RP2的分点，是实数，且PpPP2 ,则tan3 2 tan tan()tan( 1

15、3tan3333.三角函数的周期公式函数 y sin( x )xCR及函数 y cos( x )2xCR(A, 3, 为常数，且Aw0,3>0)的周期丁 ；函数 y tan( x ) , x k-,k Z (A, 3 , 2为常数，且Aw0,0)的周期TC (A B)34 .三角形内角和定理在 ABC中，有A B C2C 22(A B).35 .实数与向量的积的运算律设入、科为实数，那么(1)结合律：入(业a)=(入)a;(2)第一分配律：(入+科)a=入a+科a;(3)第二分配律:入(a+b)=入a+入b.36 .向量的数量积的运算律：1 1) a - b= b - a (交换律)；2

16、 2) ( a) b= (a b) = a - b= a ( b)3 3) (a+b) - c= a - c +b - c.37 .平面向量基本定理如果e、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 入1、入2,使得a=入1e1+入2e2.不共线白向量e、e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.38 .向量平行的坐标表不设 a=(x1,y),b= (x2,y2),且 b 0,则 a|b(b 0) Xi y2 x2%0.39 . a与b的数量积(或内积)a - b=| a|b|cos0 .40 . a b的几何意义数量积a - b等于a的长度|aW b在a

17、的方向上的投影|b|cos0的乘积.41 .平面向量的坐标运算(1)设 a=(x1,y),b=(x2,y2),则 a+b=(x1x2, y1y2).(2)设一(xq),b=(x2,y2),则 a-b= (Xix2,y1y2).设 A(K,y)，B(&,y2),则 AB OB OA (x2 X1,y2y1).(4)设 a=(x, y), R ,则 a=( x, y).(5)设 a=(K,y1) ,b= (x2, y2)，则 a b=(x1X2 丫佻).42 .两向量的夹角公式X1X2 y1y2cos -22 (a= (Xi , y),b= (X2, y2).Xiy1 ，X2 y243.平面两点间的距离公式dA,B = | AB | Jab ABXi1yiiX2OPy2OP1OP2iOP tOP1 (1 t)OP2 (t,). i46 .三角形的