电磁场电磁波复习I

1、崔勇崔勇 Office: 9Office: 9教南教南308308Email: Email: 第第 一一 章章矢量分析矢量分析一、掌握矢量的点积、叉积运算一、掌握矢量的点积、叉积运算矢量的点积（标量积矢量的点积（标量积) ) 定义：A B = A B cos 其中为A、B 间的夹角A A 在在 B B 方向上的投影方向上的投影 AB 标量积的结果是标量标量积的结果是标量A B = 0 A B （可作为两矢量相互垂直的判据）（可作为两矢量相互垂直的判据） 两个矢量的叉积两个矢量的叉积（矢量积矢量积 ) 定义定义：C = A B ABBsinC = A B 运算法则运算法则：AB = -BA A(

2、B+C)=AB+ACb. A A = 0 矢量积的结果是矢量。矢量积的结果是矢量。 模值模值: : C = A B = A B sin 方向方向: : CA, CB 且且 A，B，C 成右手螺旋关系成右手螺旋关系直角系中直角系中 AB = ax(AyBz AzBy)+ay(AzBx-AxBz)+az( AxBy- AyBx) zyxzyxzyxBBBAAAaaaA B = 0 A B （可作为两矢量相互平行的判据）（可作为两矢量相互平行的判据）二、掌握不同坐标系下线元、面元矢量以及二、掌握不同坐标系下线元、面元矢量以及体积元的表达式。如球坐标中的面元矢量：体积元的表达式。如球坐标中的面元矢量：

3、dS =rsinddrdSr=r2sind ddS= rd drdS = ar dSr+ a dS + a dSzxyara a O d d rdrxzyOazzaxxayyP(x,y,z)r位置矢量位置矢量 r: :从原点指向从原点指向某点（某点（P P）的矢量。）的矢量。r = ax x + ay y + azz 面元矢量方向的定义：面元矢量方向的定义： 开表面开表面与面积外沿的绕向呈与面积外沿的绕向呈右手螺旋关系右手螺旋关系dS 闭合面闭合面外法线方向外法线方向dSdS三、掌握方向导数、梯度、散度、旋度的三、掌握方向导数、梯度、散度、旋度的物理意义、在直角坐标系下的表达式。掌物理意义、在

4、直角坐标系下的表达式。掌握散度定理、斯托克斯定理。握散度定理、斯托克斯定理。 )()(.coscoscoszuyuxucoszucosyucosxudlduzyxzyxaaaaaa方向导数方向导数: :设标量场的梯度设标量场的梯度: :zuyuxuugradzyxaaa则方向导数为：则方向导数为：lldugraduudl aa其中为矢量微分算子其中为矢量微分算子, ,也叫汉密顿算符也叫汉密顿算符xyzxyz aaa2. 2. 标量场的梯度的方向为该点具有最大方向导数的标量场的梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向方向, ,该方向与等值线（面）垂直，且该方向与等值线（面）垂直，且指向标量场数指向

5、标量场数值增大的方向。值增大的方向。梯度的性质梯度的性质1. 1. 一个标量场的梯度构成一个矢量场。一个标量场的梯度构成一个矢量场。 u 矢量矢量u0 u0+dudlu3. 3. 在空间任何一点，梯度的模都等于标量场在在空间任何一点，梯度的模都等于标量场在 该点的方向导数可能取得的最大值。该点的方向导数可能取得的最大值。证：证：cosdduulula其中其中 为为u与与dl之间的夹角之间的夹角ludd最大最大即即ulumaxdd当当 = 0时，时，u0 u0+dudlu4. 4. 一个标量场梯度的线积分仅与曲线的起止点一个标量场梯度的线积分仅与曲线的起止点 有关，而与曲线的形状无关。（即一个标

6、量场有关，而与曲线的形状无关。（即一个标量场 的梯度是一个保守场。）的梯度是一个保守场。）证：证：ladddduuulul)()(dd1221PuPuuuPPcl得得若若P1、P2重合，则重合，则0d cul由由P1P2散度的定义散度的定义:zAyAxAzyxd iv AA1 1、一个矢量场的散度在空间构成一个标量场。、一个矢量场的散度在空间构成一个标量场。2 2、矢量场的散度反映了矢量场在空间各点的、矢量场的散度反映了矢量场在空间各点的净通量状态。净通量状态。散度的物理意义：散度的物理意义：3 3、散度具有通量体密度的量纲、散度具有通量体密度的量纲。常用的散度运算恒等式常用的散度运算恒等式

7、：BA)BA(A)A(CCAA)A(2222222zyx称为称为 Laplace Laplace 算子算子2222222zyx散度定理：散度定理：ddASAS旋度的定义：旋度的定义：rotxyzxyzxyzAAA aaaAA旋度的性质：旋度的性质：a. 一个矢量场的旋度构成一个新的矢量场。一个矢量场的旋度构成一个新的矢量场。b. 旋度不为零的点有产生矢量场环流的能力旋度不为零的点有产生矢量场环流的能力 (有旋场有旋场);旋度等于零的点没有产生矢量场环流旋度等于零的点没有产生矢量场环流的能力的能力(无旋场无旋场)。c. 旋度具有环流面密度的量纲。旋度具有环流面密度的量纲。常用的旋度运算恒等式常用

8、的旋度运算恒等式 0A0Two Null Identities斯托克斯（斯托克斯（stockes)定理定理Scd)(dSAlA第第 二二 章章静静 电电 场场本章重点要求本章重点要求熟练利用直接积分法、高斯定律、解电位方程等熟练利用直接积分法、高斯定律、解电位方程等解决解决源和场的互求问题源和场的互求问题，并计算常见，并计算常见电容器的电电容器的电容容。直角坐标的分离变量法直角坐标的分离变量法直角坐标的镜像法直角坐标的镜像法电场强度电场强度 qFE 牛顿牛顿/ /库伦（库伦（N/CN/C）或者伏特）或者伏特/ /米（米（V/m)V/m)库仑定律库仑定律212021124FaFRqqR式中式中r

9、rrrRaRR由点电荷由点电荷q q1 1指向点电荷指向点电荷q q2 2F/m.129010854810361 真空中的电容率真空中的电容率Rq1 q2Orr0)()q(rFrE204RqiRa点电荷的电场点电荷的电场 一、求一、求E E的四种基本方法的四种基本方法（1 1）N N 个点电荷：个点电荷：NiiiiNiRiiqRqi1301204) (4)(rrrrarE库伦定律满足叠加定律，因此有库伦定律满足叠加定律，因此有（2 2）体电荷分布：）体电荷分布：drdarrE)1()(41)(41)(020RRR)R(RR12a直接积分法直接积分法（3 3）面电荷分布：）面电荷分布：SSSRS

10、SRSRdrdarrE)1()(41)(41)(020（4 4）线电荷分布：）线电荷分布：lllRllRlRdrdarrE)1()(41)(41)(020真空中静电场的基本方程真空中静电场的基本方程积分形式积分形式0dd0cSqlESE微分形式微分形式00EE高斯定律高斯定律高斯定律适于解决：高斯定律适于解决：平面对称、轴对称、球对称平面对称、轴对称、球对称的电场的电场问题。问题。典型例题：线电荷密度为典型例题：线电荷密度为 l的无限长带电直线的电场。的无限长带电直线的电场。解：解：（1 1）建立适当的坐标系）建立适当的坐标系电荷分布具有轴对称性，选柱坐标电荷分布具有轴对称性，选柱坐标（2 2

11、）分析场的分布特征）分析场的分布特征za P( ,z ) 电场沿径向分布，只有电场沿径向分布，只有E 分量，分量，E=a E （3 3）根据场分布作一闭合面）根据场分布作一闭合面高斯面高斯面取高度为取高度为1 1的闭合圆柱面，即的闭合圆柱面，即 S= a S侧侧+ azS上底上底 - azS下底下底 （4 4）代入高斯定律中计算：）代入高斯定律中计算：0112dlSESE02lE 即即02laE l 0 时时电位电位 E = 0 可令可令E = - - 负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。电位的物理意义：将单位点电荷从当前点移到零电位的物理意义：

12、将单位点电荷从当前点移到零电位点电场力所作的功。电位点电场力所作的功。E和和 的的 积分关系积分关系参考点AAlE dE和和 的的 微分关系微分关系dBabABAUEl电势差：电势差：2. 2. 体电荷：体电荷：cR04)(dr3. 3. 面电荷：面电荷：cRSSS04)(dr4. 4. 线电荷：线电荷：c与零电位点的选取有关。与零电位点的选取有关。cRllS04)(dr一般对孤立点电荷，选取无穷远处为零电位点，一般对孤立点电荷，选取无穷远处为零电位点，此时此时C=0，即，即Rq04)(r 电场强度垂直于导体表面；电场强度垂直于导体表面； 导体是等位体，导体表面为等位面；导体是等位体，导体表面

13、为等位面； 导体内电场强度导体内电场强度E E为零，静电平衡；为零，静电平衡； 电荷分布在导体表面电荷分布在导体表面静电场中导体的性质静电场中导体的性质总结求总结求 E 的四种方法的四种方法: :dR41R20a)r()rE(1. 1.直接从电荷密度积分直接从电荷密度积分3. 3.通过电位通过电位 vRv04dE4. 4. 点电荷的电场和电位点电荷的电场和电位RRqa)r(E204Rq04 2. 2.利用高斯定理利用高斯定理0SqdSE( (仅适用特殊对称结构仅适用特殊对称结构) )( (矢量积分，较难计算矢量积分，较难计算) )( (标量积分，微分运标量积分，微分运算，容易实现算，容易实现)

14、 )电偶极子：电偶极子：一对等值异号的点电荷一对等值异号的点电荷+q和和-q，相距一个，相距一个小的距离小的距离 l 的电荷系统，称为电偶极子。的电荷系统，称为电偶极子。方向由负电荷指向正电荷。方向由负电荷指向正电荷。电偶极矩电偶极矩 p = q l极化强度极化强度P P：单位体积中：单位体积中电偶极矩电偶极矩的矢量和。的矢量和。式中式中 e e 称为介质的电极化率，称为介质的电极化率，仅与物质本身有关，仅与物质本身有关，无量纲无量纲100niie( )lim pP rE束缚面电荷密度束缚面电荷密度prrns()()P束缚体电荷密度束缚体电荷密度prP r()() 二、介质的极化二、介质的极化

15、介质中的高斯定律介质中的高斯定律其中电位移矢量其中电位移矢量( (电通密度电通密度) )D D：PED0 D电介质中高斯定律的微分形式电介质中高斯定律的微分形式为自由电荷体密度为自由电荷体密度SqdSD电介质中高斯定律的积分形式电介质中高斯定律的积分形式其中其中q q为闭合面包围的自由电荷为闭合面包围的自由电荷极化问题典型例题极化问题典型例题无限大永久极化板内极化强度为无限大永久极化板内极化强度为zdOP 0 0P = az P0 (C/m) (0zd)求该板产生的电场求该板产生的电场E和电位移和电位移D。解：解：即介质中的束缚电荷的体密度为即介质中的束缚电荷的体密度为00Pp（z0，0zd）

16、故介质均匀故介质均匀且且介质内没有自由电荷分布，介质内没有自由电荷分布，D = 0由由 D = 0E+P = 0 得得dOP 0 0zdOE 0 0z), 0()0(0)(000dzzdzPzaPrEzdOP 0 0三、静电场的边界条件三、静电场的边界条件边界条件边界条件: : 两种媒质分界面上，矢量场所满足的关系。两种媒质分界面上，矢量场所满足的关系。l介质分界面上的边界条件（衔接条件）为介质分界面上的边界条件（衔接条件）为D1n- D2n = sE1t = E2t s2211nnD1n= D2nnn2211（ s= 0）E1t = E2t （ s= 0）特别注意：下式中特别注意：下式中 n

17、 的方向为由介质的方向为由介质2指向介质指向介质1 1 = 2 1 = 2折射关系折射关系 1 2n 1 2E2E1两种理想（完纯）介质的分界面两种理想（完纯）介质的分界面上上，一般不存在自由电荷一般不存在自由电荷， s= 0D1n= D2n2121tantan折射定律折射定律222111coscosEE2211sinsinEE 2t1tEE 结论：结论：（1 1）导体表面是一等位面；电力线与导体表面垂直，）导体表面是一等位面；电力线与导体表面垂直，电场强度只能垂直与导体表面；电场强度只能垂直与导体表面；（2 2）导体表面上任一点的）导体表面上任一点的D D 就等于该点的自由电荷面就等于该点的

18、自由电荷面密度密度 s。l 理想导体表面的边界条件理想导体表面的边界条件0tnEDs0EnDnscns四、泊松方程、拉普拉斯方程四、泊松方程、拉普拉斯方程 2电位的泊松方程电位的泊松方程对对 = 0= 0的空间，及点、线、面电荷之外没有电荷的空间，及点、线、面电荷之外没有电荷的空间的空间02 电位的拉普拉斯方程电位的拉普拉斯方程在给定边界条件下求解标量位或矢量位的泊松方程或在给定边界条件下求解标量位或矢量位的泊松方程或拉普拉斯方程的解的问题。本门课主要介绍拉普拉斯方程的解的问题。本门课主要介绍分离变量分离变量法法和和镜像法镜像法来求解边值问题。来求解边值问题。静态场的边值问题静态场的边值问题求

19、解求解拉普拉斯方程拉普拉斯方程的边值问题；的边值问题；并且，只有当场域边界与正交坐标面重合或平行；并且，只有当场域边界与正交坐标面重合或平行；并且，待求电位解可表示为三个函数的乘积，其中每个函并且，待求电位解可表示为三个函数的乘积，其中每个函数分别仅含一个坐标变量。数分别仅含一个坐标变量。分离变量法的条件分离变量法的条件五、分离变量法五、分离变量法分离变量法解题步骤：分离变量法解题步骤： 根据边界的形状和场的分布特征选择适当的坐标系，写出根据边界的形状和场的分布特征选择适当的坐标系，写出对应的对应的拉普拉斯方程拉普拉斯方程和边界条件；和边界条件； 分离变量，将一个偏微分方程，分离成分离变量，将

20、一个偏微分方程，分离成3 3个或个或2 2个个独立的常独立的常微分方程微分方程； 解各常微分方程，利用解各常微分方程，利用边界条件边界条件选择解的形式选择解的形式; ; 利用给定的边界条件利用给定的边界条件确定待定系数确定待定系数，得到电位函数的解。，得到电位函数的解。 拉普拉斯方程的分离变量解：拉普拉斯方程的分离变量解：02222222zyx)()()(),(zZyYxXzyx设设0)()()()()()()()()( zZyYxXzZyYxXzZyYxX0)()()()()()( zZzZyYyYxXxX一般解：一般解：2)()(xkxXxX 2)()(ykyYyY 2)()(zkzZzZ

21、 0222zyxkkk0)()()()()()( zZzZyYyYxXxX)(d)(d222xXkxxXx)(d)(d222yYkyyYy)(d)(d222zZkzzZz0222zyxkkkzyxkkk, 分离常数分离常数)(d)(d222xXkxxXx kx = R （kx20）时时 kx = j R =j x （kx20）时时 kx = 0 时时xkBxkAxXxxcossin)(xDxCxXxxcoshsinh)(xxxxeDeCxX)(或或2cosh2sinhxxxxeexeexFExxX)( 双曲函数双曲函数Y(x) 和和 Z(z) 解的情况的讨论与解的情况的讨论与 X(x) 类似类

22、似。)()()(),(zZyYxXzyx最后最后待定系数（积分常数）和分离常数由边界条件确定。待定系数（积分常数）和分离常数由边界条件确定。边界条件分三大类边界条件分三大类：第一类边界条件：全部边界面上的电位函数已知；第一类边界条件：全部边界面上的电位函数已知；第二类边界条件：全部边界面上的电位的法向导数第二类边界条件：全部边界面上的电位的法向导数已知；已知； 第三类边界条件：一部分边界上的电位函数已知，第三类边界条件：一部分边界上的电位函数已知，其余部分边界的电位的法向导数已知。其余部分边界的电位的法向导数已知。 如图无限长金属槽，两平行侧壁相距为如图无限长金属槽，两平行侧壁相距为a，高度向

23、上方无限延，高度向上方无限延伸，两侧壁的电位为零，槽底电位为伸，两侧壁的电位为零，槽底电位为 0。求槽内电位分布。求槽内电位分布。yxO = 0 a = 0 = 0解：解： 选定直角坐标系选定直角坐标系, ,边值问题边值问题: :)()(),(yYxXyx022yxkk)(d)(d222xXkxxXx)(d)(d222yYkyyYy0)0,0()0,()0,()0,0(20000 axyaxyyaxyx第一类边界条件问题举例第一类边界条件问题举例xamAxXmmsin)(1amjkyxkBxkAxXxxcossin)(0)0,0(yx 00cos0sin)0(BkBkAXxx0sin)(akA

24、aXx), 2 , 1(mamkxamkx微分方程的微分方程的本征值本征值0)0,(yax 022yxkk(4)取取yamyamDeCeyY)(00)(CCeYyam11sinsin),(myammyammmxameDeDxamAyx 01sin)0 ,(mmxamDx0)0,(axy yamDeyY)()()(),(yYxXyx0)0,0( axy利用三角函数的正交归一行性，求系数利用三角函数的正交归一行性，求系数 D Dm mdxaxmaxna)sin()sin(0mnmna02/xxasxxamDxasammadsindsinsin0010 xxamDaamdsin200 01sin m

25、mxamD上式两端同乘上式两端同乘 并对并对x在（在（0，a) 积分积分 xassin当当 m=s 时有值时有值: : 1) 1(cos2000mammaxammaDa xamemmyam) 12(sin) 12(141)12(0 1) 1(20mmmD 1sin),(myammxameDyx 1) 1(20mmmaDa 为偶数为奇数mmmDm040 xayzbcO = V解：解： 已知已知 z = c 面上面上 = V，其余边，其余边界面界面 = 0。求长方形体积内的电位。求长方形体积内的电位。例例2.122.12选定直角坐标系选定直角坐标系, ,边值问题边值问题: :Vbyaxczbyax

26、zczaxbyczaxyczbyaxczbyx)0,0,()0,0,0()0,0,()0,0,0()0,0,()0,0,0(2000000 )()()(),(zZyYxXzyx0222zyxkkk)(d)(d222xXkxxXx)(d)(d222yYkyyYy)(d)(d222zZkzzZzxamAxXmmsin)(1xkBxkAxXxxcossin)(0)0,0,0(czbyx 00cos0sin)0(BkBkAXxx0sin)(akAaXx), 2 , 1(mamkxamkx微分方程的微分方程的本征值本征值(4)0)0,0,(czbyax xamAxXmmsin)(1类似地类似地ybnCy

27、Ynnsin)(1)2 , 1(nbnky)()()(22222bnamkkkyxzzzjbnamjk2/122)()(zFzEzZzzcoshsinh)(取取00cosh0sinh)0(FFEZzzzFzEzZzzcoshsinh)(0)0,0,0(byaxz zbnamybnxamECAzbnamEybnCxamAmnnmnmnm2/ 122112/ 12211)()sinh(sinsin)()sinh(sinsin zEzZzsinh)()()()(),(zZyYxXzyxVybnxamEmnmnsinsin11Vbyaxcz)0,0,( zbnamybnxamBzbnamybnxamE

28、CAmnmnmnnm2/ 122112/ 12211)()sinh(sinsin)()sinh(sinsin ECABnmmncbnamBEmnmn2/122)()sinh(: 其中利用三角函数的正交归一行性，求系数利用三角函数的正交归一行性，求系数 D Dm mdxaxmaxna)sin()sin(0mnmna02/VybnxamEmnmnsinsin11yxybtxasVyxybnxamEybtxasabmnmnabddsinsinddsinsinsinsin001100 yxybnxamVEbaabmnddsinsin2200 bamnybnxamnbmaVEab00coscos4上式两

29、端同乘上式两端同乘 , 并并x在（在（0，a) y在（在（0，b)积分积分 ybtsinxassin当当 m=s,n=t 时有值时有值: :2) 12)(12(16nmVEmncbnamzbnamnmybnxamVmn2/ 1222/ 122112)()sinh()()sinh() 12)(12() 12(sin) 12(sin16 1) 1(1) 1(42nmmnmnabVabE为偶数为奇数nmnmmnV,0,162zbnamybnxamBmnmn2/ 12211)()sinh(sinsin cbnamBEmnmn2/122)()sinh(mnB求出作题技巧作题技巧 先找出或先找出或设法设法

30、找出具有两个零电位面的平行坐标找出具有两个零电位面的平行坐标面，确定对应分离函数表达式的形式，并给出分离面，确定对应分离函数表达式的形式，并给出分离常数的值；常数的值； 计算出余下的分离常数的值，计算出余下的分离常数的值，并确定双曲函数或指数函数的分离函数形式；并确定双曲函数或指数函数的分离函数形式； 带入边界条件，利用三角函数的正交性确定积分带入边界条件，利用三角函数的正交性确定积分常数。常数。0222zyxkkk 由由 1 nmxmmmXxA sinx ,kaa第三类边界条件问题举例第三类边界条件问题举例 z向无限长的矩形横截面场域，域内无电荷分布，向无限长的矩形横截面场域，域内无电荷分布

31、，求域内电位分布。求域内电位分布。习习5.55.50 = 0 ab = 0 = 00 xxy解：解：选定直角坐标系选定直角坐标系, ,边值问题边值问题: :0000)0,0(0)0,()0,0()0,(2byxbyaxaxyaxbyx )()(),(yYxXyx022yxkk)(d)(d222xXkxxXx)(d)(d222yYkyyYyykBykAyYyycossin)(ybmAyYmmsin)(10)0,0(axy 0)0,(axby (4)bmjkx022yxkk1coshsinh)(mmmxbmCxbmBxX)coshsinh(sin),(1xbmExbmDybmyxmmm)0sinh

32、0cosh(sin10mmmxEDybmx0sin1mmybmD Dm = 0)()(),(yYxXyx)coshsinh(sin1xbmCxbmBybmAmmmm0)0,0(byxx xbmybmEyxmmcoshsin),(101coshsin),(abmybmEyammyybsyabmybmEybsbmmbdsindcoshsinsin0010bmbmmbabmEb00coscosh2 1) 1(cosh20mmmbabmEb 0)0,( byax上式两端同乘上式两端同乘 , 并对并对y在（在（0，b) 积分积分 ybssinm=s时有值时有值: :为偶数）为奇数）mmmabmEm(0(

33、4cosh0 xbmybmEyxmmcoshsin),(1abmxbmybmmyxm) 12(cosh) 12(cosh) 12(sin1214),(10 为偶数）为奇数）mmabmmEm(0(cosh140 镜像法：镜像法：是利用唯一性定理处理一些特殊边界的边是利用唯一性定理处理一些特殊边界的边值问题的方法。即值问题的方法。即用一个或几个虚设的集中等效电用一个或几个虚设的集中等效电荷代替媒质分界面上复杂分布电荷的作用，将有界荷代替媒质分界面上复杂分布电荷的作用，将有界空间转为无限大的自由空间，保持原来的边界条件、空间转为无限大的自由空间，保持原来的边界条件、以及原有区域的电位方程不变。以及原

34、有区域的电位方程不变。镜像电荷：镜像电荷：- - 在求解区域外配置的等效电荷在求解区域外配置的等效电荷 - - 处于镜像位置处于镜像位置 - - 保持原来的边界条件不变保持原来的边界条件不变关键点：关键点： 确定镜像电荷的大小和位置确定镜像电荷的大小和位置六、镜像法六、镜像法 无限大接地导体平面的点电荷镜像：无限大接地导体平面的点电荷镜像： ( x,y,z( x,y,z ) ) z z=0 =0 = 0= 0系统边界条件：系统边界条件：平面导体的镜像平面导体的镜像 +q+q 0 0, , 0 0h hz zO O平面导体平面导体+ +x x点电荷在导电平面边界产生点电荷在导电平面边界产生异性感

35、应电荷异性感应电荷 用用镜像镜像电荷电荷代替代替 保持系统保持系统边界条件不变边界条件不变 q q 0, 0 0, 0hhzOR R z 0 空间任意点电位：空间任意点电位：RqRq0044 ( x,y,z ) z=0 = 0系统边界条件：系统边界条件：系统边界上系统边界上 R = = R = R00444000000RqqRqRqqq镜像电荷大小镜像电荷大小镜像电荷位置镜像电荷位置镜像对称镜像对称 q q 0, 0 0, 0hhzOR R(x,y,z) z 0 空间任意点电位：空间任意点电位：RqRq00442222220)(1)(14hzyxhzyxq 导体表面感应电荷密度：导体表面感应电

36、荷密度：2/ 3222000s)(2hyxqznz s 导体表面感应电荷总量：导体表面感应电荷总量： 0202/ 322sin)(dd2dhqSqSqhqh02/122)(* * *: :采用镜像法后，只有导体平面的上半空间和原来的等效，而下半空间则和原来采用镜像法后，只有导体平面的上半空间和原来的等效，而下半空间则和原来的不等效。的不等效。（这是因为，采用镜像法后，上半空间的源（电位方程）及边界条件未（这是因为，采用镜像法后，上半空间的源（电位方程）及边界条件未变，而下半空间的却发生变化。不过我们这里关心的只是上半空间的场）变，而下半空间的却发生变化。不过我们这里关心的只是上半空间的场）导体

37、表面感应电荷总量导体表面感应电荷总量 = 镜像电荷的大小镜像电荷的大小导体平面镜像法的特点导体平面镜像法的特点2 2、镜像电荷的位置与原电荷关于导体平面对称；、镜像电荷的位置与原电荷关于导体平面对称；1 1、镜像电荷在求解区域之外；、镜像电荷在求解区域之外；3 3、镜像电荷与原电荷等值异号；、镜像电荷与原电荷等值异号；七、部分电容七、部分电容孤立导体的电容：孤立导体的电容：QC两导体间的电容：两导体间的电容：UQC 多导体系统的电容：多导体系统的电容：设多导体静电独立系统中，第设多导体静电独立系统中，第i个个导体带电量为导体带电量为qi，电位为，电位为 i则有矩阵：则有矩阵： UCq 为自有部

38、分电容，为自有部分电容，表示第表示第 i个导体与地之间的部分电容。个导体与地之间的部分电容。为互有部分电容，为互有部分电容，表示表示 i 、j导体间的部分电容。导体间的部分电容。iiiiqCjijiijijCqC注意：多导体系统为三个以上的导体构成多导体系统。其中一注意：多导体系统为三个以上的导体构成多导体系统。其中一个导体是大地，并取其电位为零。个导体是大地，并取其电位为零。32) 12(22) 1(nn21122010,CCCC解解: : 部分电容个数部分电容个数由对称性得由对称性得两线输电线两线输电线及其电容网络及其电容网络如：二线传输线的各如：二线传输线的各部分电容部分电容如图所示：如

39、图所示：a aa ad dh h大地大地C C1010C C2020C C1212210122010201012CCCCCCCCP从平行双线两端看去的等效电容（工作电容）为：从平行双线两端看去的等效电容（工作电容）为：C C1212C C1010C C2020C Cp p 屏蔽电缆如图所示，测得屏蔽电缆如图所示，测得1，2导体间的导体间的等效等效电容为电容为 0.018 F；1、2导体相连时导体相连时和外壳铅皮间的电容为和外壳铅皮间的电容为0.032 F ，求各部分电容（，求各部分电容（C10、C20、C12）。）。120例例32) 12(22) 1(nn2010CC解解: 部分电容个数部分电

40、容个数由对称性得由对称性得032. 02,018. 02101012CCC解得：解得：FCFCC01. 0016. 0122010解：导体球为等位体，设带电量为解：导体球为等位体，设带电量为q，电荷均匀分布在球面：，电荷均匀分布在球面：rrrqrqaEaE2022144daradard)(aq)daa(qdd(a)dadaa0214114rErEda例：半径为例：半径为a 的导体球，球外包一层厚度为的导体球，球外包一层厚度为d，介电常数为，介电常数为 的同心均匀介质球壳，的同心均匀介质球壳，求导体球的电容。求导体球的电容。r2r4qqdaDSD求电容方法一：设内导体带电求电容方法一：设内导体带

41、电q:UqCUq Ed)a(aadq(a)004)(add)a(a(a)qC004例：计算图示平行板电容器的电容。例：计算图示平行板电容器的电容。解：忽略边缘效应，导体板上电荷均匀，电场均匀，电力线为平行的直线。解：忽略边缘效应，导体板上电荷均匀，电场均匀，电力线为平行的直线。211d2d1E2EV122121ddVE1111EDns122121ddV122121ddVSqs122121ddSVqC122112ddVE求电容方法二：设电压为求电容方法二：设电压为V:V: VqCqVsDEVdEdEEEDDnn2211221121 八、静电场能八、静电场能静电能量是在电场的建立过程中，由外力作功

42、转化而静电能量是在电场的建立过程中，由外力作功转化而来的。来的。112eNiiiWq N N个导体系统：个导体系统： 体电荷分布系统：体电荷分布系统：12edWN = 2 即两导体电容器即两导体电容器 ： q1 = q，q2 = - -qqUqW21)(2121eCqCU222121 类似的，面电荷分布系统、线电荷系统：类似的，面电荷分布系统、线电荷系统：求电场能量的方法求电场能量的方法: :d21eW利用电荷分布求解利用电荷分布求解: : 积分空间为电荷所在区域积分空间为电荷所在区域利用电场矢量求解利用电场矢量求解: : 积分空间为整个区域积分空间为整个区域VWd21eDE静电能量分布在静电

43、场不为零的整个空间。不是只静电能量分布在静电场不为零的整个空间。不是只存在于电荷所在的区域存在于电荷所在的区域电场能量密度电场能量密度2212122eDEwDE第第 三三 章章恒定电场恒定电场重重 点点 要要 求求掌握各种电流分布下电流密度与电流强度的计掌握各种电流分布下电流密度与电流强度的计算算利用静电比拟法计算电导利用静电比拟法计算电导 恒定电流恒定电流：电流强度不随时间变化的电流：电流强度不随时间变化的电流 恒定电场恒定电场：与恒定电流相对应的电场；其特点是媒：与恒定电流相对应的电场；其特点是媒质中恒定电场与恒定电流共存。质中恒定电场与恒定电流共存。 恒定电流场中的自由电荷是运动电荷，由

44、于电流不随恒定电流场中的自由电荷是运动电荷，由于电流不随时间变化，电荷分布也一定不随时间变化。恒定电流场中时间变化，电荷分布也一定不随时间变化。恒定电流场中的电场是恒定分布的电荷产生的，因此电场也是恒定的。的电场是恒定分布的电荷产生的，因此电场也是恒定的。 与静电场比较：与静电场比较：相同相同之处：由恒定的电荷分布产生之处：由恒定的电荷分布产生不同不同之处：导体中电场不为零，引起恒定电流之处：导体中电场不为零，引起恒定电流 定义：定义： S S大小：垂直流过单位面积的电流强度大小：垂直流过单位面积的电流强度; ;方向：正电荷的运动方向方向：正电荷的运动方向-av ，与，与 S 相垂直相垂直20

45、A/mlimSIsvaJ体电流的（面）密度：体电流的（面）密度：定向运动的电荷占据的空间为某一体积，则为定向运动的电荷占据的空间为某一体积，则为体电体电流流。体电流具有体电荷密度。体电流具有体电荷密度。对于体电流而言，与其方向垂直的为一个曲面，对于体电流而言，与其方向垂直的为一个曲面，其电流密度为其电流密度为面电流密度。面电流密度。一、电流密度一、电流密度定义：定义： l大小：垂直流过单位长度的电场强度大小：垂直流过单位长度的电场强度方向：正电荷的运动方向方向：正电荷的运动方向av ，与，与 l 相垂直相垂直 面电流的（线）密度：面电流的（线）密度：A/mlim0lIlvsaJ 体电流密度与电

46、流强度的关系体电流密度与电流强度的关系：d dS SJ JSISJd定向运动的电荷占据的空间为某一曲面，则为定向运动的电荷占据的空间为某一曲面，则为面电面电流流。面电流具有面电荷密度。面电流具有面电荷密度。对于面电流而言，与其方向垂直的为一个曲线，对于面电流而言，与其方向垂直的为一个曲线，其电流密度为其电流密度为线电流密度。线电流密度。线电流密度：线电流密度：线电流线电流大小：电流强度大小：电流强度I，方向：电流的流动方向，方向：电流的流动方向 llIa)r(J定向运动的电荷占据的空间为某一曲线，则为定向运动的电荷占据的空间为某一曲线，则为线电线电流流。对于线电流而言，与其方向垂直的为一个点，

47、其对于线电流而言，与其方向垂直的为一个点，其电流密度为电流强度。电流密度为电流强度。面电流密度与电流强度的关系面电流密度与电流强度的关系：ClIdnSaJan是线元是线元dl的法线方向。的法线方向。电流密度与电荷密度的关系电流密度与电荷密度的关系体电流密度：体电流密度：vrJss)(vIl 面电流密度：面电流密度：vrJ)( 线电流密度：线电流密度：电流密度和电场强度的关系电流密度和电场强度的关系导体的本构关系（欧姆定律的微分形式）导体的本构关系（欧姆定律的微分形式） J = E电流密度与功率密度的关系电流密度与功率密度的关系2pEJE焦耳定律的微分形式焦耳定律的微分形式二、二、 恒定电场的基

48、本方程恒定电场的基本方程依据依据：电荷守恒定律：电荷守恒定律tQsdddSJ电流连续性方程的积分形式电流连续性方程的积分形式t J电流连续性方程的微分形式电流连续性方程的微分形式1. 1. 电流连续性方程：电流连续性方程：从任一封闭面中流出的电流等于单位时间内该封闭面从任一封闭面中流出的电流等于单位时间内该封闭面中电量的减少量。中电量的减少量。 、恒定电场的基本方程、恒定电场的基本方程积分形式积分形式EJlESJ0d0dcsEJEJ00微分形式微分形式020E对于均匀导体：，对于均匀导体：，0 E即均匀导体中恒定电（流）场的电位满足拉普拉斯即均匀导体中恒定电（流）场的电位满足拉普拉斯方程，电场

49、散度为零。并且净电荷密度为方程，电场散度为零。并且净电荷密度为0。三、不同导体分界面上的边界条件三、不同导体分界面上的边界条件分界面上分界面上 s 0 , ps 0 场量突变场量突变0d0dcslESJs2s1s12s11nn应用应用得得t2t 1n21nEEJJ还有还有D1n- D2n = s恒定电场中不同媒质分界面上电（流）场的折射关系为：恒定电场中不同媒质分界面上电（流）场的折射关系为：21t22t 11n22tn11t21/tantanEEJJJJ 1, 1 2, 2n 1 2J2, E2J1,E1由折射关系得由折射关系得0tantan2121则则 1 0a ) 媒质媒质1是不良导体，

50、如土壤是不良导体，如土壤 1=10-2 S m， 媒质媒质2是良导体，如铜是良导体，如铜 2=5 107 S m 结论：结论：只要只要 2 90 ，电流线垂直于良导体表面穿出，电流线垂直于良导体表面穿出， 良导体表面近似为等位面。良导体表面近似为等位面。两种特殊情况分界面上的电场分布：两种特殊情况分界面上的电场分布： 1, 1 2, 2n 1 2J2, E2J1,E1b）媒质）媒质1是理想介质是理想介质 1=0，媒质，媒质2是导体是导体 20 001n2n11JJJ 结论结论 ：分界面处的电流一定与导体表面平行。分界面处的电流一定与导体表面平行。 1 2, 2n 1 2J2, E2J1E1 同

51、轴线内外导体半径分别为同轴线内外导体半径分别为 a 和和 b，两导体之间填充的介质，两导体之间填充的介质略有漏电，电导率为略有漏电，电导率为 （非零常数），外加电压（非零常数），外加电压U，求漏电介质，求漏电介质中的中的 、E、J 和单位长度的电导。和单位长度的电导。解：解：内外导体之间满足内外导体之间满足 2 = 0解得解得babUlnlnabUlnaaEabUlnaEJ单位长度的漏电流：单位长度的漏电流：abUJIln220abUIGln200例例3.1 图示平板电容内充两层介质图示平板电容内充两层介质( 1， 1)和和( 2， 2 )，设极板面，设极板面积为积为S，外加电压为，外加电压为U，求该电容器的漏电导及两种介质分界面，求该电容器的漏电导及两种介质分界面上的自由电荷密度和束缚电荷密度。上的自由电荷密度和束缚电荷密度。解：解：JSIJJnn212211JEJEJdddEdEU)(2211221