复杂流体讲义

1、复杂流体讲义2022-2-52力学面临的机遇和挑战中国科学技术协会主编，力学学科发展报告，中国科学技术出版社，2007年 北京引言引言2022-2-53引言引言力学与天文学是最早形成的两门自然科学。从牛顿时代开始，到十九世纪末，力学以质点、质点系、刚体、理想弹性体和理想流体为模型，运用微积分等数学工具形成了自己完整的理论体系。进入二十世纪后，力学开始以自然界和工程技术中遇到的复杂介质和复杂系统为研究对象，力学研究领域的不断开拓，一方面导致力学新分支学科不断出现，另一方面，使得力学成为现代工程技术（比如：航空航天工程、船舶工程、土木工程、机械工程、热能工程和兵器工程等）的重要基础。 。2022-

2、2-54引言引言2000年底，美国工程院评出20世纪对人类社会影响最大的20项技术，许多关键技术的进展与力学相关。以排在前3位的技术为例：1) 电力系统技术。叶轮机、发电机以及输电线路的设计都离不开力学。二十世纪后50年，从力学设计导致叶轮机效率提高约1/3，经济效益达5000亿美元，而力学设计导致锅炉燃烧效率提高的经济效益也非常可观。 2) 汽车制造技术。力学设计使汽车发动机的效率近50年提高约1/3，仅小轿车节省的燃料费就达2000亿美元，排气污染减少90以上。3) 航空技术。几乎每一阶段的重大进步均与力学家的贡献密不可分。科学技术的进步永无止境。再过100年，20世纪引以为豪的技术成就只

3、是人类现代文明的一个新的起点。 2022-2-55引言引言图-144(M=2.2)协和号 (M=2.02)协和号(1976-2003)由法英联合研制，它和图-144(1975-1987)同为世界上仅有的商业超音速客机。1996年2月7日，协和飞机从伦敦飞抵纽约仅耗时2小时52分59秒。2022-2-56科学大师谈力学“尽管我们今天确实知道古典力学不能用来作为统治全部物理学的基础，可是它在物理学中仍然占领着我们全部思想的中心。” A. Einstein物理学的进化“自然的一切现象，完全可以根据力学的原理用相似的推理一一演示出来。” 牛顿自然哲学的数学原理1643-1727 1879-195520

4、22-2-57力学与现代工程的关系“力学是航天航空的基石” 王永志 “力学搭起了基础科学与工程技术之间的桥梁” 黄克智“力学能为缓解能源短缺,提高能源利用率做出重要贡献”过增元“宇宙之大,基本粒子之小,力无所不在”杨卫“机械科学技术中的关键问题依赖力学的发展”温诗铸2022-2-58问渠那得清如许，为有源头活水来 宋朱熹观书有感流体力学的源头活水：研究对象的拓展和新研究方法的探寻引言引言2022-2-59混沌：少了一颗钉子，.丢了一个国家。Bernard 对流在二十世纪初发现引言引言2022-2-510孤立波首先由S.Russell(1834)在运河中发现引言引言2022-2-511原地重现孤

5、立波的实验（1995） 引言引言2022-2-512经典流体力学主要研究牛顿流体的运动规律和应用，二十世纪以来，近代流体流体力学迅速发展，其主要标志之一是研究对象开始从牛顿流体拓展到复杂流体。引言引言2022-2-513问题：为什么要关注复杂流体？ICTAM2012 大会将在北京举行2022-2-5142022-2-515II. Fluid Physics ResearchThe fluid physics program encompasses a wide range of research in physics and engineering science, including stu

6、dies of heat and mass transfer processes, fluid dynamics, and the physics of complex fluids. A. Complex fluids 1) Colloids and suspensions 2) Nanoscale fabrication in the fluid phase 3) Granular mechanics 4) Non-Newtonian fluidB. Interfacial phenomenaC. Multiphase flow and phase change D. BiofluidsN

7、ASA Research Announcement2022-2-5161.1 复杂流体的例子泥浆火山熔岩钢水2022-2-517血液牙膏生活中的：稀饭、果酱、酸奶、沥青、油漆、黏合剂等复杂流体有许多不同于牛顿流体的独特性质1.1 复杂流体的例子同学发言：请再举出几个复杂流体的例子2022-2-518电流变液1.2 复杂流体的流动特性2022-2-519Newtonian fluid Viscoelastic fluidSprays of fluids 1.2 复杂流体的流动特性2022-2-520A suspension sedimenting in a fluid In a Newtonia

8、n fluid In a viscoelastic fluid 1.2 复杂流体的流动特性2022-2-521Drop impact of fluids Newtonian fluid Viscoelastic fluid 1.2 复杂流体的流动特性2022-2-522T. Cubaud and T.G. Mason, Folding of viscous threads in diverging microchannels, Phys. Rev. Lett. 96, 114501 (2006).1.2 复杂流体的流动特性2022-2-5231.2 复杂流体的流动特性Many complex

9、materials can not be described by simple models!Groisman A, Steinberg V. Efficient mixing at low Reynolds numbers using polymer additives. Nature, 2001, 410: 905-8 2022-2-524Weissenberg 效应1.2 复杂流体的流动特性本讲座将集中讨论复杂的粘弹性流体2022-2-5251.2 复杂流体的流动特性定义：粘弹性流体是一种既具有粘性又具有弹性的介质。首先介绍粘弹性流体的几个经典模型：它们的构造方法非常简单。弹性体是固体

10、力学的理想化模型（弹簧），粘性流体是流体力学的理想化模型（粘性阻尼器）。粘弹性流体是两者组合而成的体系。 spring (Hook law) dashpot (Newtonian friction law)2022-2-526 Kelvin model Maxwell model Oldroyd-B model1.3 粘弹性流体的经典模型问题：如何导出以上系统的应力应变关系（本构关系）？基本原则：并联:应力相加，应变相同；串联:应力相同，应变相加2022-2-527GGG1dtGG12 1.3 粘弹性流体的经典模型2022-2-5281.3 粘弹性流体的经典模型实验表明，以上经典模型过于简单，

11、无法描述某些真实粘弹性材料的行为模式，需要探寻新的开拓方法和新的模型（源头活水）。在进一步开拓复杂粘弹流体本构关系的各种探索中，最大胆的设想由G. W. Scott Blair 在1947年提出G. W. Scott Blair, The role of psychophysics in rheology G. W. Scott Blair, Psychoreology: link between the past and the present 2022-2-5292. Scott Blair 模型G. W. Scott Blair在他的经典论文“心理物理学在流变学中的作用”中指出，弹性体的

12、应力与应变的零阶时间导数成正比，牛顿流体的应力与应变的一阶时间导数成正比，进一步的研究则需要考虑应力与应变的分数阶导数成正比的复杂粘弹性流体。d,(01)dGtG. W. Scott Blair, The role of psychophysics in rheology 2022-2-530d,(01)dGtThis is a three-parameter model and introduced by Scott Blair.GSpring (1676) GddGtDashpot (1686),G( ,)GFractional element (1947)分数阶导数在描述许多粘弹性材料的

13、流变学行为中十分有效。 2. Scott Blair 模型2022-2-531( , )G Fractional Maxwell fluidA. Hernndez-Jimnez, et al, Relaxation modulus in PMMA and PTFE fitting by fractional Maxwell model, Polym. Test. 21 (2002) 325331.Polymer Methylmethacrylate0.587,0.692Maxwell fluid1,1Polytetrafluorethylene0.036,0.052dd,01ddGttThis

14、 is a four-parameter model of viscoelastic fluids. Conclusion: fractional element plays a vital role in the description of complex viscoelastic fluids!2. Scott Blair 模型2022-2-532Can the meaning of a derivative of integer order dny/dxn have meaning when n is 1/2? (LHospital 1695 )LHospital 1661-1704以

15、上内容，欢迎提问以上内容，欢迎提问2. Scott Blair 模型2022-2-533一些著名的数学大师都曾着迷于Hospital问题，比如：Euler 1707-1783Fourier 1768-1830Laplace1749-1827Abel 1802-1829Liouville 1809-1882Riemann 1826-18662. 1 Scott Blair 模型的数学基础Riemann developed a different theory of fractional operations during his student days, but it was publishe

16、d only posthumously in 1876.The first use of fractional operation was Abel in 1823 (21岁).2022-2-534In 1819 starting with y = xm, S. F. Lacroix presented his expression of -order derivative in terms of Legendres symbol 1211220d1ddddtf tfttt which definition of a -order was introduced by Laplace in 18

17、12.2. 1 Scott Blair 模型的数学基础123 200224d33tt/tttt 1d!d!1nm nm nnmymxxxmnmn 1 21 21 21 22d2d3 2/xxxx/11 2mn/与Laplace定义的对比 f tt12121 2d2d/tttNotation: the n-fold integral; the n-order derivative. nDnD2022-2-5352. 1 Scott Blair 模型的数学基础-1D( )( )dtaf tf111121D( )dd()d()( )d1 !nttnnnnaaaanf tftfn timesThe n

18、-fold iterated integral of f (t) is given by the Cauchys formulaFor exampleThe Riemann-Liouville operator of fractional integration is defined as 11D( )()( )d , 0( )tataf ttf 1 21 21Ddt/ataf ttfFor example2022-2-5362. 1 Scott Blair 模型的数学基础()dD( )D( ) ,(0,01) dmmatatmf tf tmtThen we get the Riemann-L

19、iouville operator of fractional derivative 121 21 20d1dDDdddt/ttff tf tttt which coincides with Laplaces definition of -order derivative. Taking = 1/2 and m = 1 in the Riemann-Liouville operator yields()11dD( )()( )d ,01( ) dtmmatmaf ttftTaking m-order ( m is integer) derivative gives2022-2-537Recen

20、tly mathematically fractional calculus has obtained much success in the study of physics including complex viscoelastic fluids.R.Hilfer, Applications of Fractional Calculus in Physics, World Scientific, 2000讨论：除了数学定义和运算，针对Scott Blair 模型下一步应该研究的关键问题是什么？目前在聚合材料中，分数阶微积分已经成为分析应力松弛现象的一种极为重要的工具。2. 1 Scott

21、 Blair 模型的数学基础关键问题：Scott Blair模型的力学机理和基础。2022-2-5382.2 Scott Blair 模型的力学基础H. Schiessel & A. Blumen (1993) firstly constructed fractional rheological constitutive equations on the basis of well known mechanical models. H. Schiessel & A. Blumen, Hierarchical analogues to fractional relaxation

22、equations, J. Phys. A: Math. Gen. 1993, Vol. 26, pp.5057-5069 Spring-dashpot ladder2022-2-5392.2 Scott Blair 模型的力学基础Schiessel & Blumen利用拉氏变换，证明了系统各级弹簧和阻尼器参数满足一定递推关系时，其应变拉氏变换与应力拉氏变换服从以下关系100( )( )sEss再利用逆变换得到100d( )( ),0,1dttEt具体的过程将用另一个我们所提出的更加简单的例子来说明。2022-2-5402.2 Scott Blair 模型的力学基础Here we pr

23、esent a novel mechanical model of fractional elementQuestion: how do we obtain the constitutive equation of the tree?Spring-dashpot treewhich was enlightened from a resistor-capacitor self-similar structure. I. Podlubny, Fractional Differential Equations2022-2-5412.2 Scott Blair 模型的力学基础Schiessel &am

24、p; Blumen使用的拉氏变换法，对一层的树形结构：G( )1111( )ssGs对两层的树形结构：( )111111( )ssGGsGss2022-2-5422.2 Scott Blair 模型的力学基础对三层的树形结构：( )111111( )111111111111ssGsGGsGssGGsGss递推求解，得到该系统的应变拉氏变换与应力拉氏变换服从以下关系2022-2-543( )111( )111111111111111111.111111111111111111111.ssGGsGsGssGsGsGs令右边为A，利用结构层次为无穷的特点所产生的自相似性，可得到( )111111(

25、)sAsAGAs2022-2-5441/21/21/2d( )( )()dttGt1/2( )()( )sG ss2.2 Scott Blair 模型的力学基础( )111111( )sAsAGAs解得1/2()AG s用另一种方法：Heaviside算子法逆变换得到2022-2-545G Kelvin model Maxwell model Oldroyd-B model12 GTd1dkTGt dd/ 1ddMTGtt2.2 Scott Blair 模型的力学基础2022-2-546弹簧1T d/dTtp假定系统的本构关系GT11122/Gp11211/Tp GT 1212GTGT1111

26、1/TTTTGp2.2 Scott Blair 模型的力学基础阻尼器总应变自相似总应力2022-2-547GT2T Gp111111/TTGp1/21/2Tp1/21/21/2ddGt111/1TTGpT111/1TGpT Heaviside operator p is disposed as a parameter during the algebraic operation.2.2 Scott Blair 模型的力学基础2022-2-5482.2 Scott Blair 模型的力学基础Heaviside developed operational calculus between1880

27、and 1887, which is one of the three most important mathematical discoveries of the late 19th Century and caused much controversy. R. Courant & D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, Vol. II Partial differential equations, Interscience Publishers, John Wiley & Sons, 1962, P507Heaviside

28、(1850-1925)Heavisides operational calculus was placed on a rigorous mathematical basis by Jan Mikusinski, who constructed an algebraic setting for the operational methods.J. Mikusinski, Operational Calculus, Pergamon Press, New York, 1983 在运算微积中，算子p作为参数进行代数运算，有依据吗？ 2022-2-549瞬态问题或混合问题有重要应用背景(比如: 机电工

29、程)，讨论这一问题的文献很多，其中重点是Heaviside符号算子法。该方法处理问题直捷惊人，往往能给出不能以其它方法同样简单地获得的明确解答。原先发表这一方法时对于符号运算步骤并无严格道理可讲；事实上， Heaviside对职业数学家的疑虑甚至颇表不屑。然而Heaviside方法的成就压倒一切，使人们非得从数学上去弄清它的道理不可，结果完全证明这种方法有理论依据，而终于大大促进符号方法的发展。 引自和的经典名著 “数学物理方法”第五章附录二 “瞬态问题和Heaviside运算微积”2.2 Scott Blair 模型的力学基础2022-2-550TGpG1GT2.2 Scott Blair

30、模型的力学基础1Tp 11GT111Gp111111TTpp1122GTGT1211TpI. Podlubny, Fractional Differential Equations, Academic Press, 1999. (P274,Fig. 10.3) 1Tp homework Kelvin model 2022-2-551GTGTTGpG1GT2.2 Scott Blair 模型的力学基础homework 22022-2-5523.1 圆管起动流z动量方程1 ddddddupurtzrrr 初边值条件是00 , ru0t ,au速度分解为定常和非定常两部分之和 t , rurut ,

31、 ru21ddpGz 为Heaviside阶跃函数 3. 复杂粘弹性流体的流动2022-2-5532211 d4dpuraz定常部分 解的非定常部分应满足齐次方程 22dddduurtrrr20223112dexpdnnnnnJapuzJ 与定常部分迭加在一起，得到222023211d81exp4dnnnnnaprrtuJzaJaa 3.1 圆管起动流2022-2-5543.1 圆管起动流2022-2-555问题：Scott-Blair 模型的圆管起动流是否会有不同的特性？3.1 圆管起动流2022-2-556分数元模型d,(01)dtEddtVp 动量方程zrrzzerr其中1111dddt

32、dtrzzruEEr12121uuuGEttrrr得到3.1 圆管起动流2022-2-557用Heaviside运算微积和分数阶微积分得到,0( )()kkzEzk 其中 21 202,2112()( , )()()mmmmmJk ru x ttEktJkk称为Mittag-Leffler函数, 是指数函数的推广, 为指数函数 1,13.1 圆管起动流2022-2-5582022-2-5592022-2-5602022-2-5612022-2-562小结小结lThe constitutive equations of spring-dashpot systems can be easily d

33、erived by operational methods. lA new mechanical system of fractional element is presented.lThe exact solution of starting flow of fractional element in a pipe is obtained.lThe starting flow of fractional element in a pipe will stop finally except .12022-2-563讨论讨论牛顿流体在静止时不能承受剪切力，为何分数元流体会出现类固体的特性？ Ke

34、lvin 模型 Maxwell模型 Oldroyd-B模型2022-2-564讨论讨论2022-2-5653.2 圆管振荡流牛顿流体001expJri/iAu r,ti tJai/ 3. 复杂粘弹性流体的流动2022-2-566牛顿流体3.2 圆管振荡流2022-2-5672022-2-568 Fractional Maxwell model(a)(b)11,G22,GGGtt GttMaxwell model when 1分数阶Maxwell流体的圆管振荡流3.2 圆管振荡流2022-2-569020()41exp()Jriui taJa221cossignsin1 ()22()22coss

35、ignsin22iiii Exact solution000,()uQrtuQrtuQ3.2 圆管振荡流2022-2-570 Maxwell fluid PTFE10.0357,0.052020 40 60 80 1001201405001000150020002500无量纲频率 (R=0.05)无量纲速度振幅20 40 60 80 100120140100200300400500600无量纲频率 (R=0.1)无量纲速度振幅20 40 60 80 100120140510152025无量纲频率 (R=0.5)无量纲速度振幅20 40 60 80 1001201400.20.40.60.8无量

36、纲频率 (R=5)无量纲速度振幅0.05a 0.1a 0.5a 5a 20 40 60 80 10012014020040060080010001200无量纲频率 (R=0.05)无量纲速度振幅20 40 60 80 100120140100200300400500600无量纲频率 (R=0.1)无量纲速度振幅20 40 60 80 10012014020406080100120无量纲频率 (R=0.5)无量纲速度振幅20 40 60 80 10012014024681012无量纲频率 (R=5)无量纲速度振幅0.05a 0.1a 0.5a 5a 3.2 圆管振荡流2022-2-5713. 3

37、 复杂粘弹性流体的Couette流Tan,W.C. & Xu, M.Y., Plane surface suddenly set in motion in a viscoelastic fluid with fractional Maxwell model. Acta Mech. Sinica (2002) 18:342349W. Shaowei & X. Mingyu, Exact solution on unsteady Couette flow of generalized Maxwell fluid with fractional derivative, Acta Me

38、chanica (2006)187: 103112Haitao Qi & Hui Jin, Unsteady rotating flows of a viscoelastic fluid with the fractional Maxwell model between coaxial cylinders, Acta Mech. Sinica (2006) 22:3013052022-2-5724. 分数阶微积分在流体力学中的其它应用111222111222042441aauuuuautxDxDDttx Sugimoto, N, Propagation of nonlinear acoustic waves in a tunnel with an array of Helmholtz resonators. JFM, 1992, 244: 55-784.1 在排列有一组He