映射,函数定义域,值域解题办法归纳

1、一种特殊的对应：映射（1）（2）（3）（4）1 .对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有一个（或几个）元素与此相对应。2 .对应的形式：一对多（如 ）、多对一（如 ）、一对一（如 、）3 .映射的概念（定义）：强调：两个“一”即“任一”、“唯一”。4 .注意映射是有方向性的。5 .符号：f : A-B集合A到集合B的映射。6 .讲解：象与原象定义。再举例：1 A=1,2,3,4B=3,4,5,6,7,8,9法则：乘 2 力口 1 是映射2 A=N B=0,1法则：B中的元素x除以2得的余数 是映射3 A=Z &N 法则：求绝对值不是映射（A中没有象）4 A=0,1,2,4上0,1,4

2、,9,64法则：f r-a-b=（a 1）2 是映射映射观察上面的例图（2）得出两个特点：1对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象（单射）2集合B中的每一个元素都是集合A中的每一个元素的象（满射）即集合B中的每一个元素都有原象。从映射的观点定义函数(近代定义)：1函数实际上就是集合A到集合B的一个映射f： AF 这里A, B非空2 A:定义域，原象的集合B：值域，象的集合(C)其中C Bf：对应法则x A y B3 函数符号：y=f(x)y是x的函数，简记f(x)函数的三要素：对应法则、定义域、值域只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。例：判断下列各组中的两个函数是否是同一

3、函数？为什么？1 . yi (x 3)(x 5)y2 x 5解：不是同一函数，定义域不同x 32 。yi Jx 1 Jx 1、2 v(x 1)(x 1) 解：不是同一函数，定义域不同3 f(x) x g(x) Jx2解：不是同一函数，值域不同4 . f (x) x F (x) Vx3解：是同一函数5 . f1(x) (<2x 5)2 f2(x) 2x 5 解：不是同一函数，定义域、值域都不同关于复合函数设 f(x)=2x 3g(x)=x2+2 则称 fg(x)(或 gf(x)为复合函数fg(x)=2( x2+2) 3=2x2+1gf(x)=(2 x 3)2+2=4x2 12x+11例：已

4、知：f(x)=x2 x+3 求：f (-) f(x+l) x解：f ( - )=( -)2 1+3f(x+1)=(x+1)2 (x+1)+3=x2+x+3x x x1.函数定义域的求法分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。y tanx.（x R,且 xk 一，k）正切函数2余切函数y c0txx R,且x k ,k反三角函数的定义域（有些地方不考反三角，可以不理） -,T函数y = arcsinx的定义域是1,1，值域是2 2 ,函数y = arccosx的定义域是1,1，值域是0,兀,、（7,7）函数y

5、 = arctgx的定义域是R，值域是2 2 ,函数y=arcctgx 的定义域是 R ,值域是 (0,兀).注思，1 .复合函数的定义域。X 1 (1,3)如：已知函数f(x)的定义域为(1,3),则函数F(x) f(x 1) f (2 x)的定义域。2 X (1,3)2 .函数f(x)的定义域为(a,b)，函数g(x)的定义域为(m,n),g(x) (a,b)则函数fg(x)的定义域为x (m,n)，解不等式，最后结果才是3 .这里最容易犯错的地方在这里：已知函数f(x .的定义域为(1,3),求函数f(x)的定义域；或者说，已知函数 f(x .的定义域为(3,4),则函数f(2x.的定义

6、域为?2.函数值域的求法函数值域的求法方法有好多，主要是题目不同，或者说稍微有一个数字出现问题，对我们来说，解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来，大家一起看一下吧(1)、直接观察法对于一些比较简单的函数，如正比例 ，反比例，一次函数，指数函数，对数函数，等等,其值域可通过观察直接得到。1y 一,x 1,2例求函数 x的值域(2)、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。2例、求函数y x 2x 5,x R的值域。(3)、根判别式法对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简 如:a. y上型：直接用不等式性质k+x

7、2b. ybx ., 一 .，.bx一型，先化简，再用均值不等式例:mx nx1+x21x+Ixc. yd. y2x-2x2xmxn型通常用判别式mx nmx n型x n法一：用判别式法二：用换元法，把分母替换掉例：y112 11x 1x2 x 1 (x+1)2 (x+1)+1/ /、(x+1)4、反函数法（原函数的值域是它的反函数的定义域）直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。y例求函数3x 45x 6值域。3x 4y 5x 65xy 6y 3x 46y 4x -y3 5 y，分母不等于0,即5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。xe 1一，一，y 丁例求函数 e 1,2sin 1yTliy2sin 11 cos 的值域。ex 1ex1*02sin 11 sin2sin 11 cos2sin ycos1 y |sin I I 1，2 y2sin 1 y(1 cos1 yq14y2 sin( x) 1 y,即sin( x)又由sin(解不等式，求出y,就是要求的答案10.倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况x 2 y