必修五数列知识点汇总

1、必修五数列知识梳理1. 数列的前n项和与通项的公式 Sn 弋-an;anS(n =1)Sn Sn(nA 2)例1.已知下列数列:an /的前n项和Sn，分别求它们的通项公式an. Sn = 2n2 3n ； Sn = 3n T. 设数列 Sn 满足 ai3a232 a3 - .3nJan,n N*.，则 a.二3 数列'a /中,a1 a2 a3 an 二 n2(n N )，求 a3 a§的值. 已知数列 玄?的首项印二扌，其前n项和Sn二n2an n1 .求数列畀 的通项公式. 设Sn、Tn分别是等差数列 玄1 的前n项和，蛍0 2，则金二 .Tn n + 3b52. 数列

2、的单调性 递增数列：对于任何n N .,均有an i -an. 递减数列:对于任何n N 均有a. i ： an.2010-2011海淀区高三年级期中已知数列aj满足：ai a2乜3川an = n -a., (n =1,2,3,|山(I) 求 a1,a2,a3 的值；(U)求证：数列an-1是等比数列；(川)令bn =(2 n)(an1) ( n= 1,2,3.),如果对任意n N*，都有+丄亡严，求实数t的4取值范围.2.等差数列知识点通项公式与前n项和公式通项公式an a1 (n - 1)d , ®为首项，d为公差.前 n项和公式 Sn = n(a1 an)或 Sn =na -

3、n(n - 1)d . 2 2等差中项：如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.即：A是a与b的等差中项二2A = ab=a , A , b成等差数列.等差数列的判定方法定义法：an 4 - an = d ( n N .，d是常数)=玄f是等差数列；中项法：2an an - an 2(nN .)二 a 是等差数列a. =an - b(一次)：=a f是等差数列Sn =An2 Bn(常数项为0的二次)=an ?是等差数列等差数列的常用性质数列a是等差数列，则数列 a p* 'pan? ( p是常数)都是等差数列；等差数列n：?中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an

4、, an4k , an d2k , an , '为等差数列，公差为kd .(3) an 二 am (n - m)d ；若 m n = p q(m, n, p,q N )，贝U am a. = ap - aq;若等差数列 也的前n项和S，则半；，是等差数列;例2.已知Sn为等差数列 也？的前n项和，* nN ).求证：数列是等差数列n等差数列的前n项和Sn的最值问题a > 0 若a>0,d <0, Sn有最大值，可由不等式组丿n 来确定n ;耳十兰0an兰0若a0,>0,S1有最小值，可由不等式组丿 、来确定n. 阳色0例2.已知Sn为数列 a啲前n项和，a, =

5、3 ,n_ 2）.求数列；aj的通项公式；数列中是否存在正整数k，使得不等式ak -akd对任意不小于k的正整数都成立？若 存在，求最小的正整数k，若不存在，说明理由.3. 等比数列知识点通项公式与前n项和公式通项公式：aa,qnJ，a,为首项，q为公比.前n项和公式： 当时，& = n当q"时，&二丑1己二旦却.1-q 1-q等比中项如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即：G是a与b的等，中项=a，G， b成等差数列=G2 = a b .等比数列的判定方法定义法：n1 - q （nN .， q=0是常数）=:a.匚是等比数列; an中项法：an 1

6、 = an an 2(n N )且an=0= q 是等比数列等比数列的常用性质数列 丘？是等比数列，则数列'pan 、kn? （q=0是常数）都是等比数列;在等比数列“Gn 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列， 即 an , an* , an七k , an3k ,为等比数列，公比为qk. an =am qn(n,m N )若 m n = p q(m,n, p,q N )，则 am a ap a ;若等比数列 a ?的前n项和Sn，则Sk、S2k- Sk、S3k-S2k、S4k-S3k是等比数列例3.已知Sn为等比数列a /前n项和,Sn = 54 ,翁=60，则 S3n 二4. 数

7、列的通项的求法利用观察法求数列的通项.S（ n = 1）利用公式法求数列的通项：an=；.Sn - Sn（n 白 2）应用迭加（迭乘、迭代）法 求数列的通项：an 1 an f （n）:an an f （n）.构造等差、等比数列求通项： anpan q ； anpan qn ；an 4kans b例4.设数列Gn 的刖n项和为Sn， 已知 ai 二 a, an 1 =Sn +3n（n壬 N+），设 bn = Sn 3n， 求数列匕1的通项公式.(宣武二模理18)设a 是正数组成的数列，其前n项和为Sn，且对于所有的正整数n,有2 Sn = an 1 (I) 求ai, a2的值；(II) 求数列

8、a油勺通项公式；(III) 令 bj =1 , b?k =a2k( 1) , b?k i = a?k 3( k = 1,2,3,)，求数列£n的前2n - 1项和T2n 1 例5.已知数列 玄 冲，ai =2旦二a.2n -1( n _ 2)，求数列N匚的通项公式;设a 是首项为1的正项数列，且(n - 1)a；1 - na； anqan =0(n N )， 则数列也？的通项K二.2例6已知数列 址？中，a1,3nd =-3n -2，求数列的通项公式;3已知数列 塞中，a! =1,an d =3an 3n，求数列；aj的通项公式.2a例7.数列冲，ai=1,ani (n N .)，则

9、 玄的通项a.2 +an数列 a 冲，ai = 1, an - an 1 = _ a.an i (n N )，则玄的通项 a.例8.已知数列3 *中，印=1,a. i = 2an n，求数列'a/1的通项公式.5. 数列求和基本数列的前n项和'n (印 +aj2 等差数列 抵的前n项和：Sn=<nai+ n(n -1)d2 2a n2 +b n等比数列n /的前n项和Sn :当q=1时，Sn二nai ；当q"时，& =內心)=色 钊1 - q 1 - q数列求和的常用方法:拆项分组法；裂项相消法；错位相减法；倒序相加法 .1例.等差数列 玄'，公

10、差d = §，且a1 a3 as 亠a?9 =60，则印 a? a3亠一拆项分组法求和1 1 1 1求数列1_,2_,3_，,(n的前n项和Sn.2482裂项相消法求和1 1 1 1数列丄，丄，丄，丄，的前n项和Sn二2 2 +3 2 +3 +42 +3+4 +(k+1)求和：1 1 1 1 .132 43 5n(n 2)'求和:111 1 + + + + l .21. 3 亠*；2. 4 亠. 3、n 1，n倒序相加法求和北京市宣武区20092010学年度第一学期期末质量检测已知函数f(x)=2厂，m为正整数.5x +J5(l) 求f (1) f(0)和 f(x) f (1

11、 -x)的值；(U)若数列a*的通项公式为an = f ( n ) ( n = 1,2,，m ),求数列a*的前m项和Sm ; m(m)设数列bn满足：d = , bn 1 =bn2 bn，设 Tn-，若(U)2d+1 b2+1bn+1中的Sm满足对任意不小于3的正整数n, 4Sm疳777Tn一 5恒成立，试求m的最大值例9.设Sn是数列沧汕勺前n项和，a1 , S； = a. Sn - 1 (n 一 2).I 2丿求Bn匚的通项;s设bn，求数列：bn 啲前n项和Tn .2n十1错位相减法求和若数列a油勺通项an =(2n -1) 3n，求此数列的前n项和【解析】-n =1 3 3 32 5

12、(2n -1) 3n,.3-. =1 32 3 33 5 3°(2n -1) 3n 1-，得- 2& =1 32 32233234 亠 亠 2 3n -(2n -1)3n 1=1 3 2(3233343n)-(2n -1) 3n 1 =(2 -2n)3n 1.Sn =(n -1) 3n 13.例10.已知Sn为数列"q ?的前n项和，a =1，Sn+1=4an+2.设数列£n 1中， bn二an 1 - 2an，求证:'bn /是等比数列;设数列d冲，Cn =步，求证：Cn 是等差数列；求数列 a油勺通项公式及前n项和.x, y R，有例11.设函

13、数f(x)的定义域为R，当x ： 0时，f (x)1，且对任意的实数f (x y)二 f (x) f(y).求f(0)，判断并证明函数f (x)的单调性；(2)数列 玄"满足 ai = f(O),且 f (an 1)1 (n N*)f (-2-aQ求a 通项公式；北京市宣武区20092010学年度第一学期期末质量检测 5 t 5 解：(I) f(1) f(0) ： 5=1；5 + 151 + V5,55 5xf(x) f(1_x) = 5x§51公”5 5X .巧 5 . 5 5x 1'由（I）得(-)fm= 1(1Ekzm1),即 f() f (匸兰)站，.akmm由Sm二a1 a . a3 -ami - am,得Smam _1a m _2am 3a1 am ,由+，得 2Sm 二(m -1) 1 2am, Sm=(m 一1) 1f(1) =(m -1) -5 ,2244分 am_k = I10分N*, bn 0.1 2(川)- b1,bn1.bn =bn(bn 1),二对任意的 n,即bn 1 bn(bn 1) bn bn 1 g 1bnbn 1