清华微积分小结ppt课件

1、微积分一小结微积分一小结一一.函数函数1.定义定义.),(!,上上的的函函数数为为定定义义在在则则称称映映，记记作作与与其其对对确确定定的的法法则则如如果果按按照照某某种种为为非非空空集集设设XfxfyYyXxfRYX （1有界性有界性2.函数的初等性质函数的初等性质（3奇偶性奇偶性（4周期性周期性.,fD 对对映映法法则则定定义义域域函函数数的的两两个个要要素素：（2单调性单调性4.会分析复合函数中变量的关系，会会分析复合函数中变量的关系，会 求给定函数的反函数。求给定函数的反函数。3.利用函数符号描述有关函数的性质；利用函数符号描述有关函数的性质；要求要求1.要熟练掌握基本初等函数的定义要

2、熟练掌握基本初等函数的定义 域、值域及图形；域、值域及图形；2.利用给定条件或问题，找出函数关系利用给定条件或问题，找出函数关系 及定义域；及定义域；,)x(f,xxAA)x(fxx.x)x(f的的极极限限函函数数时时趋趋于于是是当当，则则称称的的常常数数定定“无无限限趋趋于于”一一个个确确应应的的函函数数值值时时，其其对对“无无限限趋趋于于”如如果果当当有有定定义义的的某某空空心心邻邻域域在在点点设设函函数数000A)x(flimxx 0记作记作1.极限的定义极限的定义)xx(A)x(f0或或二、函数的极限二、函数的极限2.极限的性质极限的性质（1唯一性唯一性:存存在在，则则极极限限唯唯一一

3、。若若)(lim0 xfxx（2有界性有界性:的的某某邻邻域域中中有有界界。在在，则则若若0)()(lim0 xxfAxfxx （3保号性保号性:.0)(lim,)(lim,0)()(0)(lim0000 xfxfxfxxfAxfxxxxxx则则存存在在且且若若的的某某邻邻域域中中必必恒恒为为正正，在在，则则若若3.极限的运算法则极限的运算法则（1四则运算法则四则运算法则（2复合函数的极限法则复合函数的极限法则4.无穷小量的比较无穷小量的比较.)()(1)()(lim10是是等等价价无无穷穷小小量量与与，则则称称）若若（xxxxxx ,)()(0无无穷穷小小量量时时的的两两个个是是及及设设xx

4、xx （3夹逼定理夹逼定理.)()(0)()(lim20的的高高阶阶无无穷穷小小量量是是，则则称称）若若（xxxxxx 注意注意 并非所有无穷小量都可以进行比较并非所有无穷小量都可以进行比较例如例如,01sinlim0 xxx而而xxxxxx1sinlim1sinlim00 不存在不存在搞清以下关系搞清以下关系. 0)(lim),()()(lim100 xxAxfAxfxxxx ）（.)(1lim0)(lim)2(00 xxxxxx （4无穷大量与无界函数的关系无穷大量与无界函数的关系.).()()()()()()3(xxxxxx 或或 6.求未定型极限的方法求未定型极限的方法(1)利用基本公

5、式利用基本公式:,)11(lim1exxx ）,)1(lim210exxx ），）1sinlim30 xxx，）1tanlim40 xxx，）1arcsinlim50 xxx，）1arctanlim60 xxx，）1)1ln(lim70 xxx，）11lim80 xexx，）121cos1lim920 xxx;12111lim100 xxx）(2)利用等价无穷小替换；利用等价无穷小替换；(3)利用罗必达法则；利用罗必达法则；(4)利用夹逼定理；利用夹逼定理；(5)利用泰勒公式利用泰勒公式要求要求(2)熟练掌握极限的性质，能够运熟练掌握极限的性质，能够运用它们分析证明简单的问题用它们分析证明简单

6、的问题.(3)能够熟练的运用极限的各种能够熟练的运用极限的各种运算法则、重要极限及定理求函运算法则、重要极限及定理求函数的极限。数的极限。(1)正确理解函数极限的概念。正确理解函数极限的概念。三三.连续函数连续函数1.定义定义点点连连续续。在在则则称称的的邻邻域域中中有有定定义义，且且在在若若000)(),()(lim)(0 xxfxfxfxxfxx 要求要求(1)能叙述两种函数在能叙述两种函数在 连续的等价定义连续的等价定义.0 x(2)会确定间断点及其类型会确定间断点及其类型.2.连续函数的性质连续函数的性质(1)两个连续函数经有限次四则运算两个连续函数经有限次四则运算 和复合得到的新函数

7、仍是连续函数。和复合得到的新函数仍是连续函数。(2)若函数若函数 ，则有以下重，则有以下重 要定理：要定理：1有界定理有界定理2根值定理零点定理）根值定理零点定理）,)(baCxf 3介值定理介值定理4最值定理最值定理3.初等函数在其定义区间上是连续的初等函数在其定义区间上是连续的要求要求(2)掌握连续函数的性质，并能够运掌握连续函数的性质，并能够运用它们分析证明简单的问题。用它们分析证明简单的问题。(1)会利用初等函数的连续性求函数会利用初等函数的连续性求函数的极限。的极限。四四.导数与微分导数与微分1.基本概念基本概念(1)导数定义导数定义设函数设函数 在点在点 及其附近有定义，及其附近有

8、定义，如果极限如果极限 存在，则称函数存在，则称函数 在在 可导，可导， 在在 的导数记作的导数记作 。)(xf)(xf)(xf0 x0 x0 x)( 0 xfxxfxxfx )()(lim000 (2)微分定义微分定义。记记作作的的微微分分在在点点为为并并称称可可微微在在点点则则称称函函数数可可以以表表示示为为函函数数的的改改变变量量为为自自变变量量的的改改变变量量，若若的的邻邻域域中中有有定定义义，在在设设xadyxxfyxaxxfyxxaxfxfyyxxxxxfy ,)(,)()()()()(00000(3)高阶导数的定义高阶导数的定义.)()(,)()()(.)( )()( (,)(

9、)()1()()1()1(22nnnnnndxydxfxfnxfxfxfdxydxfxfxfxfxfy 即即阶阶导导数数的的称称为为的的导导数数一一般般地地，或或阶阶导导数数，记记作作的的二二为为则则称称它它导导数数导导仍仍然然可可的的导导数数若若.)( )()(000dxxfdyxxfxxf 可可微微，且且在在点点可可导导在在点点(4)可微与可导的关系可微与可导的关系2.基本导数公式基本导数公式xxeeRxxxCC )()3(),0()()2(0)()1(1 为为常常数数）连连续续在在点点可可微微在在点点00)()(xxfxxf(5)可微与连续的关系可微与连续的关系xxxxxxxxxxxxx

10、xaxxacotcsc)(csc)12(tansec)(sec)11(csc)(cot)10(sec)(tan)9(sin)(cos)8(cos)(sin)7(ln1)(log)6(22 xx1)(ln)5( )1,0(ln)()4( aaaaaxxshxchxchxshxxxarcxxxxxx )()18()()17(11)cot()16(11)(arctan)15(11)(arccos)14(11)(arcsin)13(22223.导数的运算法则导数的运算法则(1)导数的四则运算法则导数的四则运算法则(2)复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则(3)隐函数求导法隐函数求导法(4)反函

11、数求导法反函数求导法(5)参数方程求导法参数方程求导法(6)对数微分法对数微分法(7)高阶导数的莱布尼兹公式高阶导数的莱布尼兹公式4.导函数的性质导函数的性质(1)导数的零点定理导数的零点定理.0)(),(,0)()(,)( fbabfafbaxfy使使得得则则可可导导在在若若(2)导数的介值定理导数的介值定理.)(),(,)()(,)( fbabfafbaxfy使使得得之之间间的的值值和和则则对对介介于于可可导导在在若若(3)导函数在定义区间内无第一类间断点。导函数在定义区间内无第一类间断点。要求要求(1)掌握导数概念、物理意义及几何意义，掌握导数概念、物理意义及几何意义，会用定义求分段函数

12、在分点处的导数。会用定义求分段函数在分点处的导数。(2)掌握微分概念和几何意义以及微分和导掌握微分概念和几何意义以及微分和导数的关系。数的关系。(3)熟记基本导数微分公式。熟记基本导数微分公式。(4)熟练运用各种求导熟练运用各种求导(微分微分)法则求初等函法则求初等函数的导数、微分。数的导数、微分。五五.导数应用导数应用1.微分学基本定理微分学基本定理(1)罗尔定理罗尔定理(2)拉格朗日定理拉格朗日定理(3)柯西定理柯西定理2.函数的增减性函数的增减性。上上单单调调增增（或或单单调调减减）在在则则）（或或若若内内可可导导，上上连连续续，在在在在设设,)(,0)( 0)( )1(),(,)(ba

13、xfxfxfbabaxf 。或或内内则则在在上上单单调调增增（或或单单调调减减）在在若若)0(0)(),(,)()2( xfbabaxf3.函数的极值函数的极值(1)极值的概念极值的概念:。或或极极小小值值点点值值点点的的极极大大为为，或或极极小小值值极极大大值值取取得得在在，则则称称或或，都都有有及及其其附附近近有有定定义义，若若在在设设)()()()()()()()()()(000000 xfxxxfxfxfxfxfxUxxxf (2)极值的必要条件费马定理）极值的必要条件费马定理）。则则存存在在取取得得极极值值，且且在在点点若若0)( ,)( )(000 xfxfxxf(3)极值的充分条

14、件极值的充分条件取取得得极极值值。在在则则两两侧侧异异号号在在心心邻邻域域内内可可导导，若若的的去去的的某某邻邻域域内内连连续续，在在在在点点设设0000)(,)( )()1xxfxxfxxxf的的极极值值点点。是是存存在在且且不不为为零零，则则若若的的某某邻邻域域内内可可导导，且且在在点点设设)()( , 0)( )()20000 xfxxfxfxxf 4.函数的凸性函数的凸性凸凸函函数数。上上上上是是下下在在则则称称或或都都有有和和的的非非负负实实数数以以及及任任意意满满足足上上有有定定义义，若若在在定定义义：)(,)()()()()(,1,)()1(22112211212121baxfx

15、fxfxxfbaxxbaxf (2)凸性的判别法凸性的判别法。非增非增内单调非减内单调非减在在凸函数凸函数上上上为下上为下在在内可导，内可导，上连续，在上连续，在在在设设)(),()( )(,)(),(,)()1baxfbaxfbabaxf(3)拐点的定义与判别拐点的定义与判别1)定义定义。凸凸函函数数上上上上为为下下在在内内二二阶阶可可导导，在在设设)0(0)( )(,)(),()()2 xfbaxfbaxf。则则的的拐拐点点是是曲曲线线且且处处有有连连续续的的二二阶阶导导数数，在在设设0)( ,)()(,()()2000 xfxfxfxxxf曲线的上凸弧与下凸弧的分界点曲线的上凸弧与下凸弧

16、的分界点的的拐拐点点。是是曲曲线线则则异异号号的的两两侧侧存存在在，若若在在的的某某邻邻域域内内二二阶阶导导数数在在设设)()(,(,)( )()30000 xfxfxxfxxxf的的一一条条水水平平渐渐近近线线。是是则则若若水水平平渐渐近近线线（或或)(,)(lim:)1()xfAyAxfxx 5.曲线的渐近线曲线的渐近线的一条垂直渐近线。的一条垂直渐近线。是是则则若若垂直渐近线垂直渐近线（或（或)(,)(lim:)2(0)00 xfxxxfxxxx 及及若若斜斜渐渐近近线线（或或axxfxx )(lim:)3()则则或或,)(lim)(baxxfxx 的的一一条条斜斜渐渐近近线线。是是)(

17、xfbaxy 且且满满足足条条件件：内内有有定定义义的的某某空空心心邻邻域域在在点点和和设设函函数数,),()()(0 aUaxgxf则则有有或或),()()(lim)3( Axgxfax)()()(lim)()(lim 或或Axgxfxgxfaxax;0)(,)()(,),()2(0 xgxgxfaU且且存存在在和和内内在在 ;0)(lim, 0)(lim)1( xgxfaxax6.罗必达法则7.泰勒公式泰勒公式（1皮亚诺型余项的泰勒公式皮亚诺型余项的泰勒公式有有时时则则当当阶阶导导数数，到到存存在在在在点点假假设设函函数数,1)(00 xxnxxf)()(!1)( ! 21)( )()(0

18、00)(200000nnnxxoxxxfnxxxfxxxfxfxf 2.拉格朗日型余项的泰勒公式拉格朗日型余项的泰勒公式之之间间的的某某个个点点。与与是是介介于于其其中中有有数数，则则阶阶导导到到有有在在点点假假设设函函数数xxxxfnxxxfnxxxfxxxfxfxfbaxnbaxxfnnnn010)1(00)(2000000)()!1(1)(!1)( ! 21)( )()(),(11),()( 3.常用的麦克劳林公式常用的麦克劳林公式)(!1!211)12nnxxoxnxxe )()!12()1(! 5! 3sin)2212153kkkxokxxxxx )()!2()1(! 4! 21co

19、s)32242kkkxokxxxx )0(0，皮皮亚亚诺诺型型余余项项 x)(!)1()1()1(! 2)1(1)1( )52nnxoxnnxxx )()1(32)1ln()4132nnnxonxxxxx )(111)62nnxoxxxx 要求要求方方法法。、结结论论及及证证明明定定理理和和柯柯西西定定理理的的条条件件理理、拉拉格格朗朗日日掌掌握握费费马马定定理理、罗罗尔尔定定)1(用用。必必达达法法则则的的应应掌掌握握求求未未定定型型极极限限的的罗罗)2(件件。值值的的必必要要条条件件和和充充分分条条方方法法和和函函数数极极掌掌握握函函数数增增减减性性的的判判别别)3(式式。性性证证明明某某

20、些些简简单单的的不不等等数数增增减减性性、凸凸会会用用拉拉格格朗朗日日定定理理、函函)7(点点的的判判定定方方法法。函函数数凸凸性性、拐拐掌掌握握函函数数的的凸凸性性概概念念及及)4(。会会求求函函数数的的渐渐近近线线方方程程)5(函函数数作作图图。)6(9)利用泰勒公式求极限、证明不等式利用泰勒公式求极限、证明不等式(8)会用直接展开或间接展开的方法求会用直接展开或间接展开的方法求 函数的泰勒公式函数的泰勒公式例例1的的取取值值范范围围指指明明有有使使得得证证明明存存在在常常数数且且，满满足足设设AAxxfxAffRxexfxxfxxfx,)(, 0, 0)0()0(,1)(3)()(22 证证2)(31)(0 xfxexfxx 时