电子科大MATLAB第14节高斯型积分

1、第五章第五章 数值积分数值积分第二节第二节 高斯型积分高斯型积分高斯积分 梯形插值积分选择被积函数端点构造线性函数，近似被积函数。 高斯积分选择积分区间内的点，构造函数，近似被积函数。高斯积分11212( ) ( )( ) ,. , ,.,nbiiainnf xf x dxc f xR fx xxa bc cc的积分可表示为：高斯积分寻找节点和一组对应系数使得该积分在某种准则下最优。 高斯积分的数学描述：准则：使得积分的代数精度最高。二点高斯积分11122-1123012311122-1111111230123-1-1-1-1-1112-1( )()()3( )( )()()( )1 1112

2、 f x dxc f xc f xf xaa xa xa xf x dxc f xc f xf x dxadxax dxax dxax dxccdx考虑二点情况，即： 给定任意 阶多项式函数：需要满足由于： 则：112-1122212-1133312-10 2/3 0c xc xxdxc xc xx dxc xc xx dx二点高斯积分12121-1- 3311,33- 33 ( )()()33ccxxf x dxff则，则二点高斯积分公式为： 二点高斯公式具有三阶代数精度二点高斯公式具有三阶代数精度二点高斯积分1.511.51.5111.51.51-1.7634072418790199992

3、724699278(1.5-1)1.79214( -1.xxxe dxe dxeeeee dxtx例：计算积分解：方法一、牛顿 莱布尼兹公式： 方法二、梯形插值积分： 方法三、二点高斯积分： 、变量代换：令1.51(5)/41-1- 33(5)/4(5)/41(5)/433-125)14 211 8193076367 1.7633448xtte dxedtedtee 则：、带入二点高斯积分公式：（）n点高斯积分01001 121212121001 11bnabnnabnnnnnnadxcccxdxc xc xc xxdxc xc xc x 若构造的n+1个节点的插值求积公式，则可将 f (x)

4、 = 1, x, x2, , x2n+1 代入求积公式可求解， 得到的公式具有2n+1 次代数精度。这样的节点称为Gauss 点，公式称为Gauss 型求积公式。注意注意: 高斯积分是不等距划分插值型求积公式高斯积分是不等距划分插值型求积公式 不是线性方程组，不是线性方程组，不易求解。不易求解。高斯节点的计算10111( )( -)102( )( )21034( )( )0( ),( )10,nnkknnnnnnxx xnP xx dxnP xx dxP xx是阶多项式、且其数值积分结果为、 是阶多项式、且其数值积分结果为、 根据代数精度的定义：数值积分结果积分真实结果、 ，即、 正交观察：观

5、察：高斯节点的计算0101( )()(0,1, , )( )( -)( ) ( )( )0nbkkkaknnkkbnaf x dxA f xx kL nxx xnP xP xx dx 定理： 求积公式 的节点是高斯点的是以这些点为零点的多项式 与任意次数不超过 的多项式均正交，即充分必要条件高斯节点的计算11101( )( )( )21(0,1,2,., )21,:( )( )()()()0 (0,1nknbnkknkaknkP xnP xxnxknnP xx dxA P xxxk证明：必要性：设为任意次数不超过 的多项式， 则为任意次数不超过的多项式， 若节点 ，是高斯节点，则其代数精度为即

6、 又因为：，1,2,., )( )( )0bnanP xx dx，则有： 高斯节点的计算11( )21( )( ),( ),( ),( )( )( )( )( )( )( )nnf xnxf xp xq xf xp xxq xp xq xnf x d证明：充分性：设为任意次数不超过的多项式， 用去除记商为余项为则有： ， 其中，、为次数不超过 的多项式 则有： 11 ( )( )( )( )( )0( )( )bbnaabnabbaaxp xxq x dxp xx dxf x dxq x dx 由于，则有： 高斯节点的计算001000( ),.,( )()()0()()( )( )()()()

7、2112nnbkkaknkkknnbbkkkkaakknkkkq xnAAq x dxA q xxf xq xf x dxq x dxA q xA f xA f xnnn由于为次数不超过 的多项式 存在一组系数构造积分公式： 由于，所以则有即至少具有阶代数精度，又由于个节点的数值积分公式代数精度最多为121n，所以该公式代数精度为，为高斯性积分公式。充分性证明（续）：充分性证明（续）：高斯节点的计算knxnn 推论： 高斯型求积公式 的节点 是。 证明： 阶勒让德多项式是 阶多项式，且勒让德阶多勒让德项式相多项式的解互正交。3123123113213335-332- 0.600.625/9 0

8、.60.608/90.60.62/35/9xxxxxxcccccccccc例： 求 点高斯插值公式。解：写出 阶勒让德多项式： 计算节点 ， 计算系数：高斯积分1-111111222211( )5 (- 0.6)8 (0)5 ( 0.6)591( )1 5 (0.6)8 (0)5 ( 0.6)2191 ( ) 50.650.60912 ( ) 5 (0.6)5 ( 0.6) 93 f x dxffff xfffdxf xxxdxf xxx dx 证明数值积分公式代数精度为解：133331144441155551666611 ( ) 5 (0.6)5 ( 0.6) 0912 ( ) 5 (0.6

9、)5 ( 0.6) 951 ( ) 5 (0.6)5 ( 0.6) 091 ( ) 5 (0.6)5 ( 0.6) 0.249f xxx dxf xxx dxf xxx dxf xxx dx 127加权高斯节点的计算1( )( ) ( )( )nbiiaif xx f x dxc f x的加权积分可表示为： 加权积分高斯节点计算与前例中计算方法相同，只加权积分高斯节点计算与前例中计算方法相同，只需将需将勒让德多项式改为加权后的正交多项式勒让德多项式改为加权后的正交多项式。22-1,-1,1,1- ,0,- ,-,-xxGauss ChebyshevGauss Lxxxxexxexaguerre

10、Gauss Hermite 例：设权函数（ ）则为即：用切比雪夫多项式替换勒让德多项式。 设权函数为（ ）则为，求积公式求积公 设权函数为式求（ ）则为积公式，高斯积分112-11234 (-1)2 ()3 () ( )3 ( )( )( )( )( )( )112 1 3 1 23 (baff xf xf x dxf x dxw f aw f bw faw fbf xf 例：确定下列数值积分公式中的参数，使代数精度尽可能高。解：第一题：112-12221212-11222212) 123 03 ( ) 1232 332310.8110 -0. 233411xxxxxdxf xxxxx dxx

11、xxxx 或 1-0.71605 1.1165x 或 高斯积分122212342( )1,( )0 1 ( ),( )1 2 ( ),( )2 babaf xfxwwdxbaf xx fxbawaw bwwxdxf xxfxxw解：第二题：3322212343244332231234223 ( ),( )3 334bababaaw bw aw bx dxf xxfxxbawaw bw aw bx dx高斯积分122212343322123444332212342223334wwbabawaw bwwbawaw bw aw bbawaw bw aw b12232422()12()12bawbawbawbaw利用符号计算得：利用符号计算得：高斯积分clear allclose allclc syms a bA = 1, 1, 0, 0; a, b, 1, 1; a * a, b * b, 2 * a, 2 * b; a * a * a, b * b * b, 3 * a * a, 3 * b * bc = b-a; (b * b - a * a) / 2; (b * b * b - a * a * a) / 3; (b * b * b * b -