第五章.离散时间系统的相位、结构与状态变量描述

1、第五章离散时间系统的相位、结构与状态变量描述1 、离散时间系统的相频响应相位延迟与群延迟离散时间系统的频率响应包含了幅频响应和相频响应两部分。幅频响应反映了信号 x(n ) 通过该系统后各频率成分的衰减情况，而相频响应则反映了 x(n ) 各频率成分通过该系统后在时间上发生的位移情况。H (ej )= H (ej ) ej ? ()其中 H (e j ) 是系统的幅频响应， ? () 是系统的相频响应。一个理想的离散时间系统，除了具有包含希望的幅频响应外，最好还能具有线性相位。1 、离散时间系统的相频响应如果输入为x (n)= Acos(n + )0则系统输出为y(n)= A H (ej 0

2、)cos(n + ? ( )+)00它和输入 x (n) 具有相同的频率，但是增加了一个相位延迟。第五章离散时间系统的相位、结构与状态变量描述内容概要1 、离散时间系统的相频响应2 、FIR 系统的线性相位特性与零点分布3 、全通系统与最小相位系统4 、谱分解与 FIR 系统的结构5 、离散时间系统的 Lattice 结构6 、离散时间系统的内部描述1 、离散时间系统的相频响应设一个离散时间系统的幅频特性为 1 ，而相频特性具有如下的线性相位，即系统相移与频率成正比：arg?H (ej )? = - k当信号 x (n ) 通过该系统后，其输出x(n )的频率特性?X ej ?Y (ej )=

3、 H (ej )X (ej )= e- jk - j argX (ej )e?( )?= X (e j ) e?(j ?)?- j argX e- jk因此y(n)= x (n- k)输出 y(n ) 等于输入在时间上的位移，达到了无失真输出的目的。1 、离散时间系统的相频响应相位延迟定义? ()p () = -为系统的相位延迟（ phase delay ，PD ）。如果输入信号由多个正弦信号组成，且系统的相频响应不是线性的，那么系统的输出将不再是输入信号作线性移位后的组合，假定则A H (e j0 )= 1这时，输出将发生失真。( )(0 (0)( 0 ( 0 )0) )y n = cos

4、n +? += cos n +? /+ ? (0 ) /0 表示输出相对输入的时间延迟。11 、离散时间系统的相频响应例：若 x (n) = cos(n)+ cos(2 n) ，并且 H (ej )= e- jk ，00那么 x (n) 通过该系统后y (n)= cos(0 (n - k)+ cos(20 (n - k )x (n ) ，y(n ) 分别如图（ a）、（ b），二者只是相对时间轴移动了 k 个抽样周期。如果再令H (e j0 ) = 1 ，而令j?- / 4 0 3 / 2arg ?H (e )? = ?030 / 2 < ? - 则输出y (n) = cos (0n -

5、 / 4) + cos(20n - )如图（ c）所示，波形明显发生了失真。1 、离散时间系统的相频响应群延迟定义 = -d? ()g()d为系统的群延迟（ group delay ， GD ）。显然，如果系统具有线性相位，即? () = - k，那么其群延迟为一常数k 。因此，群延迟可作为相频响应是否为线性的一种度量，同时，它也表示了系统输出的延迟。如果 ? () = - k+ ，其中 为一常数，由于其群延迟仍为常数 k ，因此也称其为线性相位。1 、离散时间系统的相频响应零相频响应如果系统的单位抽样响应满足h(n) = h (- n),n = 0,1," , N - 1则N -

6、1N - 1H (ej )= h (n )e- j n= h(0)+ 2h (n)cos(n)n =- (N - 1)n =1始终为实数，所以该系统具有零相频响应。但是该系统是非因果系统，即不是物理可实现系统，因此它不可能用于实时的信号处理。当然，对于非实时信号处理，零相位系统是可用的。1 、离散时间系统的相频响应（ a ） x(n )（ b ）线性相位输出y(n )（ c ）非线性相位输出 y (n )1 、离散时间系统的相频响应例：令一输入信号x n= xn cos n)，其中 xa n)是低( )a ( )( 0(频成分，并且 c0，可证明，信号经过一个线性系统后，其输出为( )(j )

7、a (g ( 0 )( 0p ( 0 )y n = He 0xn - cos n - 由此可见，群延迟反映了输出信号包络的延迟，相位延迟反映了载波信号的延迟。1 、离散时间系统的相频响应在对信号的滤波方法上采取一些特殊措施也可做到 “零相位”滤波。x(n)u (n) 时间v (n) =w(n)y (n ) =H (z )u (- n )H (z)时间w(- n)反转反转零相位滤波的实现图中最后输出y (n ) 的傅里叶变换为j *(ej?j)H (ej *j )H (e*? ?j ?Y (e)= W)= ?V (e)?= ?U(e)?2=U (ej )H * (ej )= X (ej )H (

8、ej )H* (ej )= X (e j ) H (ej )这种做法缺点是浪费时间。22 、 FIR 系统的线性相位特性与零点分布FIR 系统的线性相位特性FIR 系统是全零点系统，其单位抽样响应为有限长，因此容易实现某种对称性，从而获得线性相位。而 IIR 系统是极零系统，其单位抽样响应为无限长，很难实现线性相位。当FIR 系统的单位抽样响应满足h (n )= ±h (N - 1- n)时，系统具有线性相位。由于 h (n ) 有奇、偶对称，而 N可能取偶数，也可能取奇数，因此上式对应四种情况。 h(n) = h (N - 1 - n ) ，且 N为奇数N - 1H (ej )=

9、h(n)e- jnn =0(N- 3)/2N - 1? N - 1? - j (N - 1)/ 2= h(n)e- jn+- j n h(n)e+ h?2?en = 0n =(N +1)/ 2?2 、 FIR 系统的线性相位特性与零点分布令?N- 1?n = 0?h?2?a (n) = ?N-1?2hn =1,2," ,(N - 1)/ 2?- n?2?则H (ej )- jN - 1(N-1)/2/ 2 a (n)cos(n)= e()n=0显然， H (ej ) 具有线性相位，即arg?H (ej )?= ? ()= - ( N - 1)/ 22 、 FIR 系统的线性相位特性与

10、零点分布 h(n) = h (N - 1 - n ) ，且 N为偶数N - 1N /2-1N - 1H (e j )= h (n )e- jn = h (n )e- j n + h(n)e- j nn =0n=0n =N / 2- j (N - 1)/ 2?N /2- 1?N-1?N -1?= e?- n? ?h (n)?exp ? j? + exp ?- j ?2- n ?n=0? ? 2? ? ? ?- j (N - 1)/ 2N/2-1?N-1? ?= e2 h (n )cos ?- n?n= 0?2? ?令m=N/2-n，然后再将变量换成n，上式可写为H (ej )= e- j (N

11、- 1)/ 2 N / 2- 1?N- n?1 ? ? 2h(n)?2?cos?n -?n =1?2 ?2 、 FIR 系统的线性相位特性与零点分布令m=N-1-n，利用 h (n )的对称性，有(N- 3)/ 2(N- 3)/2- j (N - 1- m)?N-1?- j (N - 1)/ 2H (ej )= h (n )e- j n+ h (N - 1 - m )e+ h ?2?en =0m= 0?= e- j(N - 1)/ 2 ?(N- 3)/2?N-1?N - 1?2 h (m)cos?- m?+ h?2?m=0?2?再令 n=(N-1)/2-m，得H (ej)= e- j (N -

12、 1) / 2 ?(N-1)/2?N-1?N - 1?2 h?- n?cos(n) + h?2?n=1?2?2 、 FIR 系统的线性相位特性与零点分布令(N -1)/2Hg (ej )= a (n)cos(n)n=0为系统的增益，它是的实函数，可以取负值，并有H (ej ) = H g (ej ) 。因此将- j(N- 1)/ 2N-1 /2H (ej )= e () a(n )cos (n)n =0可表示为H (ej )= ej ? () Hg (ej )2 、 FIR 系统的线性相位特性与零点分布令b(n)= 2h?N?n = 1,2,",N /2?2- n?,?则j - j

13、(N - 1 )/ 2N /2?1?H (e)= eb(n)cos?n -?n =1?2?其相频响应为arg ?H (ej )? = ? () = - (N - 1)/ 232 、 FIR 系统的线性相位特性与零点分布 h(n)= - h (N - 1- n)，且 N为奇数?N-1?由于此时 h(n) 以中心 ?为对称，因此必有：?2?h?N- 1?= 0?2?仿照前两种情况，可得?N - 1(N -1)/ 2H (ej-? c(n)sin(n)= exp? j?22?n=1?其中c (n)?N -1- n?n = 1,2," ,(N - 1)/ 2= 2h?2?,其相频响应为?j

14、)?= ? ()= - (N - 1)/ 2+ / 2arg?H (e2 、 FIR 系统的线性相位特性与零点分布结论由前面讨论可知，当FIR DF 的抽样响应满足对称时，该滤波器具有线性相位。显然，前两种情况满足偶对称，后两种情况满足奇对称。当 h(n)奇对称时，通过该滤波器的所有频率成分将产生 90 o 的相移。这相当于将该信号先通过一个 90 o的相移器，然后再做滤波。由于后两种情况下幅频特性是正弦信号的组合，所以后两种情况的FIR 滤波器的幅频特性近似于差分器的幅频特性。希尔伯特变换器和差分器的单位抽样响应一般也为奇对称。因此，当设计一般用途的滤波器时， h(n) 多取偶对称，长度 N

15、 也往往取为奇数。2 、 FIR 系统的线性相位特性与零点分布 当 ? k 0 和 ，且 rk < 1 时， zk在单位圆内；- 1)的零点，即z- 1 = 1 e- j? k此时，H (zkrk也是 H (z )的零点，它和 zk 以单位圆为镜像对称，又因为h (n) 通常都是实数，因此， H ( z) 的复数零点应当成对出现，即z*= rk e- j ? kk也是 H (z)的零点，由于镜像对称，- 1= 1 e j? k(z*k )也是 H (z)的零点。rk2 、 FIR 系统的线性相位特性与零点分布 h (n) = - h(N - 1 - n )，且 N为偶数H (ej? ?

16、N - 1 ?N / 2? 1?)= exp ?j ?-2?d (n)sin ?n -2?2?n =1?其中d (n) = 2h? N?2- n ?, n = 1,2," , N / 2?其相频响应为arg ?H (ej )? = ? () = - (N - 1)/ 2 +/ 22 、 FIR 系统的线性相位特性与零点分布具有线性相位的FIR 系统的零点分布由 h (n) 的对称条件可知N -1N-1H (z)= h(n)z- n = ±h(N - 1- n)z- nn =0n =0令m=N-1-n ，可得H (z) = ±z- (N - 1)H (z- 1 )上

17、式中，正号对应偶对称，负号对应奇对称。由上式可以看出，H (z) 的零点也是 H (z- 1 ) 的零点。若记 H (z) 的一个零点为 zk = rk ej ? k ，则当 rk ，?k 取不同值时， zk 处在不同的位置。2 、 FIR 系统的线性相位特性与零点分布有一个零点 z，那么 z- 1、z*、z*- 1因此，如果H (z )都kkk( k是 H (z ) 的零点。四个零点构成一个四阶系统，记为H k (z)= 1- z- 1rke j?1?1? ?k1- z- 1rk e- jk?1- z- 1e j k ?1 - z- 1e- j k ?()()rk?rk?展开得H k (z)

18、 = 1 - 2? rk2 + 1 ?- 1? 2+1+ 4cos2?- 1?cos ?k z+ ?rk2?k ?z?rk?rk?r2+1?- 3+ z- 4- 2?krk?cos?k z?42 、 FIR 系统的线性相位特性与零点分布 当 ? k= 0 和 ，且 rk < 1时， zk在实轴上；此时， zk = rk ，所以无共轭零点，但有镜像零点z- 1=1k。因此可构成一个二阶系统，记为rk( )(- 1?- 11 ?)?H m z= 1 - z rk ?1 - z?rk ? 当 ? k0 和 ，且 rk = 1时， zk在单位圆上；此时，zk= ej ? k ，它无镜像零点，但有

19、共轭零点z*- j ?k= ek ，因此也可构成一个二阶系统，记为H l (z) = (1- z- 1e j? k )(1 - z- 1e- j? k )2 、 FIR 系统的线性相位特性与零点分布线性相位 FIR 滤波器零点位置示意图如果一个 FIR 系统零点具有上图的对称性或满足H (z) = ±z- (N - 1)H (z- 1 )则称这样的 H (z) 为镜像对称的多项式（ mirror-image polynominal ， MIP ）。3 、全通系统与最小相位系统简单的一阶全通系统：- 1z- 11 - < 1H ap (z) = - 1 ,1-z该系统极点在z =

20、 处，零点在 z = 1/ 处，极点和零点以单位圆为镜像对称。其幅频响应和相频响应分别为2- 1)=- 2H ap (z) = H ap (z)H ap (zj 2- 2H ap (e)或= ?- 1)sin ?arg?Hap (ej- (- )?= arctan?(- 1)?2- + cos?2 、 FIR 系统的线性相位特性与零点分布 当 ?k = 0 和 ，且 rk = 1 时， zk 在实轴和单位圆的交点上。此时， zk 既无镜像零点，也无共轭零点，它构成一阶系统，记为H n ( z) = (1 ±z- 1 )这样，一个具有线性相位的 FIR 数字滤波器，其转移函数可表示为上

21、述各式的级联，即H ( z) =? ? ? ?H k ( z)? ?H m (z)? ?H l ( z)? ?H n (z)?k? ?m? ?l? ? n3 、全通系统与最小相位系统全通系统如果一个因果系统的幅频响应对所有的频率都等于 1 或者一个常数，即有下式成立H ap (ej )= 1,0 < 那么称该系统H ap (z)为全通系统。最简单的全通系统：H ap (z) = z- k经过该系统的输出信号是输入信号的简单延迟。3 、全通系统与最小相位系统5H ap (z) = ±3 、全通系统与最小相位系统一个 N阶全通系统的转移函数可表示为N?- 1*Hzz - ? <

22、; 1= ±k,ap ( )?k- 1?kk =11-z?aN + aN - 1 z- 1- (N- 1)- N+" + a1 z+ z或Hap (z)= ±- 1+ a2 z- 2+ "+ aN z- N1 + a1 z上式中，系数 a1 , a2 ,", aN为实数。若定义上式分母多项式为A(z) ，则z- N A (z- 1 )A (z)因此全通系统的分子分母多项式是互为镜像的多项式。3 、全通系统与最小相位系统最小相位系统如果一个离散系统的H (z) 的极点和零点全都在单位圆内，则称系统为最小相位系统。反之，如果零点全部在单位圆外，则称

23、该系统为最大相位系统；如果在单位圆内外都有零点，则称系统为混合相位系统。最小相位系统的性质：性质 1：在一组具有相同幅频响应的因果的且是稳定的滤波器集合中，最小相位滤波器对于 轴（即零相位）具有最小的相位偏移。3 、全通系统与最小相位系统性质 3：设 H (z)是一个最小相位系统，H (z) 可表示为H ( z) = H ( z) ej arg ?H (z)?令H ( z) = ln H (z) = ln H (z) + j arg?H (z)?= H R (z) + jH I ( z)则 H R (ej )和 H I (e j )构成一对希尔伯特变换，即j1j?- ?H R (e)= H (

24、0)+H I (e)cot ?d- 212?jj? - ?H I (e)= -H R (e)cot?d- 22?3 、全通系统与最小相位系统全通系统的特点： 全通系统是 IIR 系统； 全通系统的极点数和零点数相等； 为保证系统稳定，所有极点都应在单位圆内，因此，所有零点都在单位圆外； 极点和零点以单位圆为镜像对称； 当 由零变到时，相频响应? ()单调递减； 全通系统的群延迟始终为正值。由于 IIR 系统的单位抽样响应为无限长，因此无法使其具有对称性，因此 IIR 系统无法做到线性相位。实际中，可用一个全通系统和已设计好的 IIR 系统级联，在不改变幅频响应的情况下对相频响应做某种矫正，使其

25、尽可能接近线性相位或常数相位。3 、全通系统与最小相位系统性质 2 ：令 h(n)为所有具有相同幅频响应的离散时间系统的单位抽样响应， hmin (n) 是其中最小相位的离散系统的单位抽样响应，并定义为单位抽样响应的累积能量ME(M )2(n), 0 M < = hn =0则MMhmin2 (n )h2 (n)n =0n=0该性质指出，最小相位系统的单位抽样响应的能量集中在n为较小值的范围内，即在所有具有相同幅频响应的离散系统中，最小相位离散系统的单位抽样响应 h(n)具有最小的延迟。因此 hmin (n)也称为最小延迟序列。3 、全通系统与最小相位系统性质 4 ：给定一个稳定的因果系统

26、 H (z)= N (z)/ D (z) ，定义其逆滤波器为H IV (z) = 1/ H (z )= D (z)/ N (z)当且仅当 H (z) 是最小相位系统时， H IV (z) 才是稳定的、因果的，也即是物理可实现的。性质 5 ：任何一个非最小相位的因果系统的转移函数H (z)均可由一个最小相位系统H min (z) 和一个全通系统Hap ( z)级联而成。即H (z) = H min ( z) H ap (z)64 、谱分解与 FIR 系统的结构给定一个 FIR 最小相位系统H min ( z) = (1- az- 1 )(1 - bz- 1 ),0 < a, b <

27、1由该系统可得到一个最大相位系统H max (z) = (1 - az)(1 - bz),0 < a,b < 1还可得到两个混合相位系统H mix 1 (z) = (1- az)(1- bz- 1 ),0 < a,b < 1H mix 2 (z) = (1- az- 1 )(1- bz),0 < a, b < 14 、谱分解与 FIR 系统的结构P (z )= H 0 (z )H 1 (z)此时， H0 (z ) 和 H 1 (z) 的零点不再互为镜像对称，二者幅频响应也不会相同。如果单位圆内的零点都赋给 H 0 (z) ，那么 H 0 (z) 是最小相位的

28、，而 H1 (z) 是最大相位的；如果 H0 (z) 是混合相位的，那么 H1 (z) 也是混合相位的。说明：谱分解的概念同样适用于 IIR 系统，此时，应用领域多是系统辨识及信号的建模问题。4 、谱分解与 FIR 系统的结构FIR 系统的直接实现z- 1z- 1z- 1b0b1b2bM - 1bMM+1 个乘法器， M个延迟器， M个加法器。4 、谱分解与 FIR 系统的结构上面四个系统有相同的幅频响应。即H min (z)H min (z- 1 )= (1- az- 1 )(1 - bz- 1 )(1- az)(1- bz)= H max (z)H max (z- 1 )谱分解一个线性相位

29、系统，如果其在单位圆上没有零点，或者在单位圆上的零点是偶数倍的重零点时，可分解为一对具有相同幅频响应的系统P( z) = H (z)H (z- 1 )在信号处理中，有时需要将线性相位系统分解为4 、谱分解与 FIR 系统的结构FIR 系统的结构FIR 系统的差分方程表示：My (n )= b(r ) x (n - r )r =0转移函数表示：MY (z) = b (r )z- rr=0b(r )分别等于系统的单位抽样响应h (r ) 。4 、谱分解与 FIR 系统的结构当 FIR 具有线性相位时，h(n) 具有对称性，即h(n)=± h(M-n) ，其网络结构可用下列信号流图表示。z

30、- 1z- 1z - 1±1±1±1±1z- 1z - 1z- 1? M? M ?h ?2- 1?h ?2 ?M是偶数，相同系数的共用乘法器，只需M/2+1个乘法器。74 、谱分解与 FIR 系统的结构z- 1z- 1z- 1±1±1±1±1±1z- 1z - 1z - 1z - 1?M-3?M -1?h ?2?h?2?M是奇数，相同系数的共用乘法器，只需（M+1 ） /2 个乘法器。4 、谱分解与 FIR 系统的结构FIR 系统的频率抽样实现FIR 系统的单位抽样响应为h(n)，其转移函数为N - 1H

31、 (z) = h (n) z- nn =0单位抽样响应的 DFT 为N - 1H (k )= h(n)WNnkk =0可以用 H(k) 来表示 H (z) ：4 、谱分解与 FIR 系统的结构H c (e j )2/ NN - 1则H (z) = H1 (z)H 2, k (z)k =0整个系统是由 N个 H 2,k (z)个并联后再和 H1 (z ) 相级联的结果。H1 (z ) 有 N个零点，分别抵消掉 H2, k (z) 的一个极点，因此，总的转移函数是 N个（ N-1 ）阶 z- 1 多项式的和，仍是一个 FIR 系统。信号流图如图所示：4 、谱分解与 FIR 系统的结构FIR 系统的

32、级联实现以 M为偶数情况为例，系统可分为二阶FIR 系统的级联形式：LH (z ) = h(0)(1 + 1k z - 1 + 2k z- 2 )k =1z- 1z- 1z- 111121Lz- 121z- 122z- 12 L此时共有 2L=M个延迟器， 2L+1=M+1个乘法器， 2L=M个加法器。如果M 为奇数，还将有一个一阶系统。特点：可以分别控制每个子系统的零点4 、谱分解与 FIR 系统的结构H (z) =N-1? 1N - 1H- nk ? - n?(k)WN? z ?n =0? N k =0=1 N-11 - z- NH (k )?2 ?N k =0- 11 - exp ? j

33、k ?z?N?1 - NN - 1H (k )=zN?2 ? - 1k=01- exp ? jk?z?N?令1 - z- NH 2,k(z)H(k)?2 ? - 1H1 ( z) =N1- exp ? jk ?z?N ?FIR 子系统 梳状滤波器一阶 IIR 子系统4 、谱分解与 FIR 系统的结构z- NWN0z - 1WN-1z - 1WN-( N -1)z - 1FIR 系统的频率抽样实现84 、谱分解与 FIR 系统的结构频率抽样结构分析用硬件实现 FIR 系统的频率抽样结构时，由于存在误差，H1 (z)的零点和 H 2,k (z) 的极点不一定能完全抵消，这样，在单位圆上存在的极点将

34、使系统不稳定。为了克服可能存在的不稳定问题，可通过在半径r （ r<1，但 r 接近于 1 ）的圆上对 H (z )进行抽样来实现，即用rz- 1来代替z- 1 ，得H (z) = (1- rN - N1N - 1H (k )z)Nn=01 - rWN- k z- 14 、谱分解与 FIR 系统的结构实系数频率抽样结构利用 H(k) 和旋转因子的对称性，可将二个复系数 IIR 一阶子系统合并成一个实系数二阶子系统。4 、谱分解与 FIR 系统的结构j Im zr- 110Rez4 、谱分解与 FIR 系统的结构例：设计一 M 阶实系数 FIR ，已知 H(0)=1 ，H(1)=1，画出其

35、频率抽样型结构。解：频率抽样点数N=M+1N为偶数H ( z) = 1-N?H0 H(N / 2N 2-1?z?(- )1+- 1 )+ 2 H (k) Hk (z) ?N?1- z1 + zk =1?N为奇数H ( z) = 1 - z- N? H0(N -1) 2?(- 1)+ 2 H (k ) H k ( z)?N?1- zk =1?cos (? (k )-1?2k ?其中zcos? (k )-N?Hk( z) =?- 1?2k ?- 21 - 2 zcos? + z?N ?H ( z) = 1 - z- ( M+1)?1?- 1M + 1?1- z由H(N-1)= H(1)=1 ，和?H ( z) = 1 - z-(M+1)?1 - 1?M + 1?1- z?+1- 1 +1?- 1- (N -1)z- 1 ?1- WM +1 z1- WM +1?WN-( N-1) = WN12 - 2cos(2 ) z- 1?+M + 1?1- 2co